Medida e integração/Notações

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No decorrer deste texto algumas notações serão usadas com bastante frequência. Por este motivo, este capítulo é destinado a esclarecer tais notações:

[editar] Conjuntos numéricos

Os conjuntos de números mais conhecidos serão denotados de maneira usual:

$\mathbb{N}$ é o conjunto formado pelos números que se usa para contar, ou seja, os números naturais: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots \};$
$\mathbb{Z}$ é o conjunto que contém todos os números inteiros, ou seja, os números naturais e seus opostos: $\mathbb{Z} = \{0, \pm1, \pm2, \pm3, \ldots \};$
$\mathbb{Q}$ é o conjunto formado pelos números racionais, ou seja, as frações positivas e negativas com numerador e denominador inteiros: $\mathbb{Z} = \{\frac{p}{q}: p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \not = 0 \};$
$\mathbb{R}$ denota o conjunto dos números reais, que é formado pela união dos números racionais com os números irracionais;
$\mathbb{C}$ denota o corpo dos números complexos;

Adicionalmente, quando for mencionada uma propriedade que vale tanto para o corpo $\mathbb{R}$ quanto para o corpo $\mathbb{C},$ será usada a notação $\mathbb{K}$ para não ser necessário mencionar ambos os conjuntos. Sendo assim, sempre que você encontrar $\mathbb{K}$ ao longo do texto, lembre-se que o mesmo pode ser trocado por $\mathbb{R}$ ou por $\mathbb{C},$ sem prejuízo algum.

[editar] Operações entre conjuntos

Às vezes, ao se definir um conjunto A (ou um conceito qualquer A) em termos de uma expressão B, é conveniente abreviar a afirmação "A é definido como sendo B" denotando-a simplesmente como:

A := B.

Em alguns livros, você pode encontrar também as notações $A \dot= B$ e $A \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} B,$ mas neste texto elas não serão utilizadas.

Se $Λ$ for qualquer um dos conjuntos $\mathbb{N},$ $\mathbb{Z},$ $\mathbb{Q},$ $\mathbb{R},$ ou $\mathbb{C},$ indica-se que o zero foi removido de tal conjunto usando-se a notação $Λ * .$ Em símbolos, isto se expressa como:

$\Lambda^*: = \Lambda \smallsetminus \{0\} = \{ x \in \Lambda: x \not = 0\}.$

Se $A$ e $B$ são conjuntos, então:

$| A |$ denota a cardinalidade do conjunto $\mathbf{A}$ (ou a quantidade de elementos em $\mathbf{A}$ ). Quando $A$ é finito, escreve-se $|A| < \infty$ ;
$A \cap B : = \{x \in A \text{ e } x \in B\}$ é a interseção dos conjuntos $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B};$
$A \cup B : = \{x \in A \text{ ou } x \in B\}$ é a união dos conjuntos $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B};$
$B \smallsetminus A = B - A := \{x \in B: x \not \in A \}$ denota a diferença entre os conjuntos $\mathbf{B}$ e $\mathbf{A};$
Se $A \subset B,$ o conjunto $B \smallsetminus A$ é chamado de complementar de $\mathbf{A}$ em relação a $\mathbf{B}$ e passa a ser denotado por $A_B^c.$ No entanto, alguns autores preferem manter a notação $B \smallsetminus A.$ ^[1]
Quando ficar claro pelo contexto qual é o conjunto $B,$ pode-se omiti-lo na notação $A_B^c.$ Nesses casos, escreve-se apenas $A c$ (o complementar de $\mathbf{A}$ ). Com esta notação, tem-se $B \smallsetminus A = B \cap A^c.$ Em alguns livros, encontram-se também as notações $A\complement,$ ou ainda $\tilde{A}.$ ^[2]
$A \Delta B := (A\smallsetminus B)\cup(B\smallsetminus A) = (A \cup B)\smallsetminus (A\cap A)$ é a diferença simétrica entre $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B};$
$\mathcal{P}(A) := \{Y : Y \subset A\}$ é o conjunto das partes de $\mathbf{A},,$ ou seja, o conjunto dos subconjuntos de $A;$
$\mathcal{P}_f(A) := \{Y \in \mathcal{P}(A): |Y| < \infty \}$ é o conjunto das partes finitas de $\mathbf{A};$

Se $Λ$ e $X$ são conjuntos não-vazios, então uma família em $\mathbf{X}$ indexada por $\boldsymbol{\Lambda}$ é simplesmente qualquer aplicação $x: \lambda \in \Lambda \mapsto x_\lambda \in X.$ Os elementos de $Λ$ são chamados de índices e conjunto $Λ$ é então um conjunto de índices. A família é denotada por $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ ou, quando o conjunto de índices ficar claro pelo contexto, simplesmente por $(x λ).$

Alguns autores preferem usar $I$ ou $Γ$ no lugar de $Λ.$ Ocasionalmente isto poderá acontecer ao longo deste wikilivro.

Se $Λ$ é enumerável, ou seja, se existe uma correspondência biunívoca de $Λ$ com $\mathbb{N},$ a família $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ é chamada de sequência em $\mathbf{X}$ indexada por $\boldsymbol{\Lambda}$ . Se $Λ$ é finito, a família $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ é chamada de sequência finita em $\mathbf{X}$ indexada por $\boldsymbol{\Lambda}.$

Se $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ é uma família em $X$ indexada por $Λ,$ enumerável ou não, então:

A união arbitrária dos $\mathbf{X}_\boldsymbol{\lambda}$ quando $\boldsymbol{\lambda}$ percorre $\boldsymbol{\Lambda}$ é o conjunto

$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda := \{ x: x \in X_{\lambda_0}, \text{ para algum }\ \lambda_0 \in \Lambda\};$

A intereseção arbitrária dos $\mathbf{X}_\boldsymbol{\lambda}$ quando $\boldsymbol{\lambda}$ percorre $\boldsymbol{\Lambda}$ é o conjunto

$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda := \{ x: x \in X_{\lambda}, \forall i \in \Lambda\}.$

Se $\Lambda = \mathbb{N}$ , a união arbitrária dos $X λ$ quando $λ$ percorre $Λ$ é

$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \bigcup_{\lambda = 0}^{\infty} X_\lambda,$

e a intereseção arbitrária dos $X λ$ quando $λ$ percorre $Λ$ é

$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \bigcap_{\lambda = 0}^{\infty} X_\lambda.$

Analogamente, se $\Lambda = \left\{0, \ldots, k\right\}$ , então:

$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \bigcup_{\lambda = 0}^{k} X_\lambda = \bigcup_{0 \le \lambda \le k} X_\lambda = X_0 \bigcup \ldots \bigcup X_k.$

Do mesmo modo, escreve-se

$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \bigcap_{\lambda = 0}^{k} X_\lambda = \bigcap_{0 \le \lambda \le k} X_\lambda = X_0 \bigcap \ldots \bigcap X_k.$