Matemática elementar/Conjuntos

Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.

Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

Representação

O conjunto A e seus 4 elementos

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

$A = \{ v,x,y,z \}$

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

$S = \{A, B, C, D \}$

Especificando conjuntos

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

$P = \{ 6,28,496 \}$

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

$Z_{100} = \{ 0, 1, 2, ..., 99 \}$

$N = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \}$

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

$T = \{ \{1,6\}, \{5,8\} \}$

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

$A = \{x|P(x)\}$

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

$A = \{ x \in \mathbb{R} | x^2 - 6x = -8 \}$

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, $A = \{ 2,4 \}$.

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia

Conjunto unitário

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por $\{\}$, $\empty$, $\varnothing$ ou $\phi$. Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Conjuntos numéricos

Existem também os conjuntos numéricos, que em consideração especial em matemática. Os principais conjuntos númericos são listados a seguir.

Conjunto dos números naturais

Os números naturais são usados para contar. O símbolo $\mathbb{N}$ usualmente representa este conjunto.

O capítulo sobre números naturais oferece informações detalhadas sobre os seguintes assuntos: Tópicos:

• Definição
• Divisão em $\mathbb{N}$
• Critérios de divisibilidade
• Números primos
• Decomposição em fatores primos (fatoração)
• Máximo Divisor Comum (MDC)
  • Fatoração disjunta
  • Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)
• Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
• Propriedade do MDC e do MMC

Conjunto dos números inteiros

O conjunto dos números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo $\mathbb{Z}$ usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).

Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser representados por frações (e são expressos tanto na forma fracionária quanto na forma decimal - por exemplo 3/4 e 0,75). Eles aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo $\mathbb{Q}$ usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).

Tópicos

• Números racionais e frações
• Definições
• Decimais
• Tipos de frações
• Operações

Conjunto dos números irracionais

O conjunto dos números irracionais contém todos os números que não podem ser representados por frações do tipo p/q, onde p e q são números inteiros, com q diferente de zero. Estes números podem, no entanto, ser associados a pontos numa reta, a reta real. O símbolo $\mathbb{I}$ usualmente representa este conjunto.

Conjunto dos números reais

O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real.

Tópicos

• Potenciação
  • Definição
  • Propriedades da potenciação
• Radiciação
  • Propriedades da radiciação
  • Racionalização de denominadores
  • Intervalos reais
  • Exercícios

Conjunto dos números complexos

O conjunto dos números complexos inclui os números, que resultam de qualquer radiciação possível, tendo uma parte imaginária e uma parte real. O símbolo $\mathbb{C}$ usualmente representa este conjunto.

Cada número complexo é a soma dos números reais e dos imaginários: $r + s\imath$. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos.

Tópicos

• Introdução
• O número imáginario
• Formas de representar os complexos
• Operações com os complexos
  • Soma e subtração
  • Multiplicação
  • Divisão

Conjunto dos números imaginários

O conjunto dos números imaginários puros inclui os números que aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0.

Outros conjuntos numéricos

Há outros conjuntos numéricos definidos na matemática, mas que não interessam nesse nível de estudo.

Exemplo: O conjunto dos números algébricos inclui os números, que aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo $\mathbb{A}$ ou $\bar{\mathbb{Q}}$ usualmente representa este conjunto.

Subconjuntos

A é um subconjunto de B

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5,6 }

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se $A \subset B$. Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.

Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou potência

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, $\mathcal{P}(A)$, como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar $\mathcal{P}(A)$ é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então $\mathcal{P}(A)$ = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto $\mathcal{P}(A)$ terá 2ⁿ elementos. Ou seja:

$\#\mathcal{P}(A) = 2^{\#A}$.

Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.

Se A = $\varnothing$ → P(A) = {$\varnothing$} → n(P(A)) = 2^0 = 1

Se A = {a} → P(A) = {$\varnothing$,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2

Se A = {a,b} → P(A) = {$\varnothing$,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4

Se A = {a,b,c} → P(A) = {$\varnothing$,a,b,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8

...

P(A) é formado por $\varnothing$ somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).

Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por $\varnothing$).

n(P(A)) = ${n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}+...+{n\choose n} + 1 = \sum_{k=1}^{n} {n! \over (n-k)!k!} +1$

Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:

$C^0_n\,\! + C^1_n\,\! + C^2_n\,\! + C^3_n\,\! + ... + C^n_n\,\! = \sum_{k=0}^{n} {n! \over (n-k)!k!} = 2^n$

→ n(P(A)) = $2^n - C^0_n\,\! + 1$

Mas, $C^0_n\,\! = {n!\over (n-0)!0!} = {n!\over n!} = 1$

→ n(P(A))$= 2^n - C^0_n\,\! + 1 = 2^n -1+1 = 2^n$

Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.

Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que $|A| < |P(A)|$.

Conjunto Universo

Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.

Relações entre conjuntos

Relação de inclusão

Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.

Exemplo: Se considerarmos o conjunto $A$ formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto $V$ formado pelas vogais, podemos dizer que $A \supset V$ (A contém V) ou $V \subset A$ (V está contido em A)

Relação de pertinência

Se $\,\! a$ é um elemento de $A$, nós podemos dizer que o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \in A$. Se $a$ não é um elemento de $A$, nós podemos dizer que o elemento $a$ não pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \not\in A$.

Exemplos:

• $-16 \in \mathbb{Z}$
• $c \in \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$

• $c\ \not\in \ \{a,e,i,o,u\}$
• $\frac{4}{9}\ \not\in \ \mathbb{Z}$

Subconjuntos próprios e impróprios

Se $A$ e $B$ são conjuntos e todo o elemento $x$ pertencente a $A$ também pertence a $B$, então o conjunto $A$ é dito um subconjunto do conjunto $B$, denotado por $A \subseteq B$. Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ($A=B$). Se $A \subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B$ não pertence a $A$, então $A$ é chamado de subconjunto próprio de $B$, denotado por $A \subset B$. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é $A = B$. Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo $\ne$.

Simetria de conjuntos

Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.

Operações com conjuntos

União

União de A e B (em azul mais escuro)

A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:

$A \cup B = \{ x \in U | x \in A \or x \in B \}$

Por exemplo:

$A = \{a,e,i\}$

$B = \{o,u\}$

$A \cup B = \{a,e,i,o,u\}$

$A = \{2,3,4,5\}$

$B = \{1,3,5\}$

$A \cup B = \{1,2,3,4,5\}$

Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.

• A união de um conjunto $A$, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto $A$, $A \cup \{\} = A$.

• Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C = (A \cup C) \cup B$.

Intersecção

Intersecção de A e B (em azul mais escuro)

A intersecção de dois conjuntos $A$ e $B$, é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos $A$ e $B$, pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a $A$ quanto a $B$. Matematicamente:

$A \cap B = \{ x \in U | x \in A \and x \in B \}$

Por exemplo:

$A = \{1,2,3\}$

$B = \{3,4,5\}$

$A \cap B = \{3\}$

$C = \{a,e,i,o,u,y\}$

$D = \{b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,z\}$

$C \cap D = \{\}$

Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.

Diferença

Diferença A menos B (em azul mais escuro)

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:

$A - B = \{x \in U | x \in A \and x \not\in B\}$

$B - A = \{x \in U | x \in B \and x \not\in A\}$

Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z_- (números inteiros não-positivos):

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}

N = {1,2,3,4,5,...}

$\mathbb{Z} - \mathbb{N} = \mathbb{Z}_{-} = \{...,-2,-1,0\}$

• A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, $A - \{ \} = A$.

Complementar

Complementar de B em relação a A (em azul mais escuro)

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo $\complement$. Matematicamente:

$\complement B_A = \{ x \in A | x \not\in B \}$

Exemplo:

A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }

D = { {10,12} }

$\complement D_A = \{ 3,4,9,\{25,27\} \}$

Cardinalidade

A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é

Exemplos:

Se A = { 7, 8, 9 }, então A = 3

Se A = { }, então A = 0.

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph_0$ (aleph zero), $\aleph_1, \aleph_2 ...$.

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $|A|$ ou por $\#A$. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então $|A|=|B|$.

Problemas matemáticos sobre cardinalidade

Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:

• É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
• É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.

Um problema típico simples do primeiro caso é:

• Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?

Um problema típico simples do segundo caso é:

• Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?

A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.

Exercícios

• Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesioano é $\times$. Matematicamente:

$A \times B = \{(x,y) | x \in A \and y \in B \}$

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

$A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}$

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

$A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}$.

• O produto cartesiano é não-comutativo: $A \times B \ne B \times A$.
• Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.

Par ordenado

Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,

$(a,b) \ne (b,a)$

Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:

$(a,b) = \{ \{a\}, \{a,b\} \}$

$(b,a) = \{ \{b\}, \{b,a\} \}$

Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

Relações

Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)

Ver também

Wikilivros

1. Teoria dos conjuntos - texto mais avançado

Wikipédia

1. Conjunto
2. Complementar
3. Diagrama de Venn
4. Diagrama de Euler
5. Teoria dos conjuntos

Ligações externas

• Números Naturais: Primeira parte
• Números Naturais: Segunda parte
• Critérios de Divisibilidade
• Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores
• Números Inteiros
• Frações
• Frações e Números Decimais
• Números Racionais
• Frações e Números decimais (Exercícios)