Matemática elementar/Conjuntos/Números reais

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Potenciação[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma x^{n}, onde n é o expoente e x é a base.

A potência 4^{3}, por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64. Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (7^1 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 (16^0 = 1).

Propriedades da potenciação[editar | editar código-fonte]

Primeira propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

x^a \cdot x^b = x^{a + b}

Segunda propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

\frac{x^a}{x^b} = x^{a - b}

Terceira propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(x^a)^b = x^{ab}

Quarta propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente.

(xy)^a = x^a \cdot y^a
\left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{x^a}{y^a}

Equivalência entre bases[editar | editar código-fonte]

É importante perceber que, mesmo com bases diferentes, podemos torná-las iguais para efetuar uma operação. Exemplo:

2^{-3} \times 4^3

Podemos substituir 4 por 22:

2^{-3} \times (2^2)^3 = 2^{-3} \times 2^6 = 2^{-3 + 6} = 2^3

Expoentes negativos[editar | editar código-fonte]

Quando temos um número elevado a n em que n < 0, podemos dizer que:

 \left( \frac {x} {y} \right)^n = \frac {y^{-n}} {x^{-n}}

Observe que a fração foi invertida e o sinal negativo do expoente desapareceu. Exemplo:

 \left( \frac {2} {3} \right)^{-2} = \frac {3^{2}} {2^{2}} = \frac 9 4

Tópicos

  1. Definição de Potência
  2. Operações com potências
    1. Multiplicação
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
    2. Divisão
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
  3. Equações envolvendo potências
  4. Inequações envolvendo potências
  5. Gráficos de funções exponenciais

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios

Radiciação[editar | editar código-fonte]

Propriedades da radiciação[editar | editar código-fonte]

Racionalização de denominadores[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Números reais/Exercícios

Intervalos reais[editar | editar código-fonte]

Intuitivamente, um intervalo real é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se I é um intervalo, a e b são elementos deste intervalo com a < b, então todo número entre a e b também pertence ao intervalo.

Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado.

Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior.

Costuma-se representar o limite inferior por:

  • ] -\infty\, - ilimitado
  • ] a \, - limitado e aberto
  • [ a \, - limitado e fechado

Sendo o limite superior representado por:

  • \infty [ \, - ilimitado
  • b [ \, - limitado e aberto
  • b ] \, - limitado e fechado

Por exemplo:

  • ] -\infty , 0 ]\, - é o conjunto dos números reais não-positivos
  • [1, 2[\, - é o conjuntos dos números reais x em que x ≥ 1 e x < 2

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios

Veja também[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]