Análise real/Continuidade

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Agora que definimos o limite de uma função, estamos prontos para definir o que significa para uma função ser contínua. A noção de Continuidade captura a intuitiva imagem de uma função "sem oscilações bruscas ou saltos". Veremos alguns exemplos de funções descontínuas que ilustram o significado da definição. A idéia de funções contínuas é encontrada em várias áreas da matemática, além de análise real.

Índice

[editar] Definição (Continuidade em um Ponto)

Seja A\subseteq\mathbb{R}; f:A\to\mathbb{R}; c\in A; Dizemos que f(x) \; é contínua em c \; se, e somente se, para todo \epsilon > 0\,, existe um \delta > 0\, tal que:

  • x \in A, |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon

[editar] Definição (Continuidade em um Conjunto)

Seja A\subset D\subseteq\mathbb{R}; f:A\to\mathbb{R}; c\in A;. Dizemos que f é contínua em A \; se f é contínua em c \; , para todo c \in A.

Dizemos que f \; em si é contínua, se esta condição vale para todos os pontos em A.

Se A \; é uma união de intervalos, a declaração é equivalente a dizer que \lim_{x\to c}f(x)=f(c).

[editar] Exemplos

  • A função identidade f(x) = x é contínua em toda a reta. De fato, dado ε > 0 e x0 real, tomando δ = ε, temos que, se | x − x0 | < δ = ε.
  • A função quadrado f(x) = x2 também é contínua em toda a reta.

Demonstração

Dado ε > 0, e x0 real, temos

| x2 − (x0)2 | = | x + x0 | | x − x0 | .

Como estamos trabalhando com x próximo de x0, temos

| x + x0 | < C, para algum C real.

Definindo δ = ε / C, se

|x - x_0| < \delta \Rightarrow |x - x_0| < \epsilon/C \Rightarrow |x + x_0||x - x_0| < C|x - x_0| < \epsilon.

Portanto f é contínua em x0, para todo x0 real.


  • A função f(x)= x^n\, é contínua em toda a reta para qualquer natural n.

Demonstração

Fixemos um ponto x_0\in\mathbb{R}\, e \varepsilon>0\,, e procedemos com a fatoração da potência:

f(x)-f(x_0) = x^n-x_0^n = (x-x_0)\sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-k-1}

Definamos, agora,

\delta=\min\left[\frac{\varepsilon}{ n(|x_0|+1)^{n-1}},1\right]

Por definição, \delta\leq 1\,, portanto, se \left|x-x_0\right|<\delta\,, temos:

|x|= |x_0 + (x-x_0)|\leq |x_0|+|x-x_0|\leq |x_0|+\delta \leq |x_0|+1\,

Assim:

\left|f(x)-f(x_0)\right| = \left|(x-x_0)\sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-k-1}\right| \leq \delta \sum_{k=0}^{n-1} |x^k|\cdot |x_0|^{n-k-1}\leq \varepsilon

[editar] Proposição (Operações com funções Contínuas)

Sejam f,g:D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} funções contínuas e λ um número real, então valem as seguintes propriedades:

  • f + g \; é contínua;
  • fg \; é contínua;
  • \lambda f \; é contínua;
  • f/g \; é contínua em todos os pontos onde g \; não se anula.

[editar] Descontinuidade

Podemos usar limites seqüenciais para provar que funções são descontínuas da seguinte forma:

  • f(x) é descontínua em c \; se, e somente se, houver duas seqüências (x_n)\rightarrow c e (y_n)\rightarrow c tal que \lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_n)) \not= \lim_{n \rightarrow \infty}(f(y_n)).

[editar] Composição

Outro resultado que nos permitirá construir muitos exemplos de funções contínuas é que qualquer composição de funções contínuas em si é contínuo:

[editar] Teorema

Se f:B\rightarrow \mathbb{R} e g:A\mapsto B são contínuas, então a composição (f \circ g)(x) = f(g(x)) é contínua sobre A.

[editar] Prova

Seja ε > 0; c \in A.

Uma vez que f é contínua, \exists \delta_1 > 0: |x-c|<\delta_1 \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon.

Desde que g é contínua, \exists \delta_2 > 0: |x-c|<\delta_2 \implies |g(x)-g(c)|<\delta_1.

Assim |x-c|<\delta_2 \implies |g(x)-g(c)|<\delta_1 \implies |f(g(x))-f(g(c))|<\epsilon, por isso (f \circ g)(x) é contínua sobre A.


[editar] O Teorema do Valor Intermediário

Este é o grande teorema sobre continuidade. Basicamente ele diz que funções contínuas não tem interrupções bruscas ou saltos.

[editar] Teorema (do Valor Intermediário)

Seja f(x) uma função contínua. Se a<b \; e f(a)<m<f(b) \;, então \exists c \in (a,b): f(c) = M.

[editar] Prova

Seja S = \{x \in (a,b): f(x) < m\}, e seja c = \sup S.

Seja ε = | f(c) − m | . Pela continuidade, \exists \delta: |x-c|< \delta \implies |f(x)-f(c)|< \epsilon .

Se f(c) < m, então |f(c+\frac{\delta}{2}) - f(c)| < \epsilon, por isso f(c+\frac{\delta}{2}) < f(c) + \epsilon = m . Mas então c + \frac{\delta}{2} \in S, o que implica que c não é um limite superior para S, uma contradição.

Se f(c) > m, desde então c = \sup S, \exists x: x \in S, c>x>c-\delta. Mas desde que |x-c|<\delta, \; |f(x)-f(c)|<\epsilon, por isso f(x) > f(c) − ε = m, o que implica que x \notin S, uma contradição. \Box

Iremos provar agora o Teorema Mínimo-Máximo, que é um outro resultado importante que está relacionada com a continuidade. Essencialmente, ela diz que qualquer imagem contínua de um intervalo fechado é limitada, e também que ele atinge esses limites.

[editar] Teorema Mínimo-Máximo

Seja f:[a,b]\to\mathbb{R} contínuo

Então
(i)f([a,b]) é limitado

(ii)Se M,m são respectivamente o limite superior e inferior do f([a,b]), então existem c,d\in [a,b] tais que f(c) = M,f(d) = m

[editar] Prova

(i)Suponhamos que, se possível f é ilimitado.

Seja x_1=\tfrac{a+b}{2}. Em seguida, f \; é ilimitado em pelo menos um dos intervalos fechados [a,x1] e [x_1,b] \; (para outra, f \; seria ilimitada sobre [a,b] contradizendo a hipótese). Chamar este intervalo I1.

Similarmente, partindo I1 em dois intervalos fechados e deixar I2 ser um dos quais f é ilimitado.

Assim sendo, temos uma seqüência de intervalos fechados adjacentes [a,b]\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\ldots tais que f \; é ilimitada sobre cada um deles.

Sabemos que a intersecção de uma seqüência de intervalos fechados adjacentes é não vazio. Daí, seja x_0\in I_1\cap I_2\cap\ldots

Como f(x) \; é contínua em x = x0, existe δ > 0 tal que x\in V_{\delta}(x_0)\implies f(x)\in (f(x_0)-1,f(x_0)+1) Mas, por definição, existe sempre k\in\mathbb{N} tal que I_k\subseteq V_{\delta}(x_0), contradizendo a hipótese de que f \; é ilimitado sobre Ik. Assim, f \; é limitada sobre [a,b]

(ii) Considere-se, se possível, M=\sup (f([a,b])) mas M\notin f([a,b]).

Considere a função g(x)=\frac{1}{M-f(x)}. Pela propriedade algébricas de continuidade, g:[a,b]\to\mathbb{R} é contínuo. No entanto, M \; sendo um ponto relativo de f([a,b]), g(x) \; é ilimitado sobre [a,b], contradizendo (i). Daí, M\in f([a,b]). Da mesma forma, podemos mostrar que m\in f([a,b]).

[editar] Uso Geral

Como se referiu, a ideia de funções contínuas é utilizado em várias áreas da matemática, mais notavelmente na Topologia. A caracterização diferente de continuidade é útil em tais situações.

[editar] Teorema

Seja A\subseteq\mathbb{R}
Seja f:A\to\mathbb{R}

f(x) é contínua em x=c \; se, e somente se, para cada vizinhança aberta V de f(x) \;, existe uma vizinhança aberta U de x tal que U\subseteq f^{-1}(V)

Deve ser mencionado aqui que o termo "Conjunto aberto" pode ser definido em geral muito mais do que o conjunto de definições reais ou mesmo espaços métricos, e daí a utilidade desta caracterização.

[editar] Continuidade uniforme

Seja A\subseteq\mathbb{R}
Seja f:A\to\mathbb{R}

Dizemos que f \; é uniformemente contínua sobre A \; se, e somente se, para cada \varepsilon>0 existe δ > 0 tal que, se x,y\in A e | x − y | < δ então |f(x)-f(y)|<\varepsilon

[editar] Ver também

Continudade no wiki em inglês

Obtido em "http://pt.wikibooks.org/wiki/An%C3%A1lise_real/Continuidade"