Análise real/Variação total

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Índice

1 Oscilação
- 1.1 Propriedades
2 Variação em uma partição
- 2.1 Propriedades
3 Variação total
- 3.1 Propriedades
4 Função de variação limitada
- 4.1 Teorema
- 4.2 Teorema
5 Existência de uma função contínua que não é de variação limitada

[editar] Oscilação

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real. Definimos a oscilação de $f\,$ em um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:

$\hbox{osc}_{[a,b]}(f):=\sup_{[a,b]}f(x)-\inf_{[a,b]}f(x)\,$

[editar] Propriedades

Se $f\,$ é um função não decrescente, então:

$\hbox{osc}_{[a,b]}(f)=f(b)-f(a)\,$

Se $f\,$ é um função não crescente, então:

$\hbox{osc}_{[a,b]}(f)=f(a)-f(b)\,$

[editar] Variação em uma partição

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real. Definimos a variação de $f\,$ em um partição $P:=\left\{x_0:=a,x_1,x_2,\ldots,x_{n-1},x_n:=b\right\}\,$ de um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:

$\hbox{var}_{P}(f):=\sum_{i=1}^n \left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,$

[editar] Propriedades

1. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a\,$ and $x_n=b\,$ e seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real definida em um domínio $D\supset[a,b]\,$ então:

$\hbox{var}_{P}(\alpha f)=|\alpha|\hbox{var}_{P}(f),~~ \forall \alpha\in\mathbb{R}\,$
Demonstração

Imediato da definição.

2. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a\,$ and $x_n=b\,$ e seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função monótona definida em um domínio $D\supset[a,b]\,$ então:

$\hbox{var}_{P}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$
Demonstração

Considere, sem perda de generalidade, que $f\,$ é uma função crescente, da definição de variação temos:

$\hbox{var}_{P}(f):=\sum_{i=1}^n \left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\,$

Como $x_i\geq x_{i-1}\,$ , temos que $\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|=f(x_i)-f(x_{i-1})\geq 0\,$ , logo:

$\hbox{var}_{P}(f):=\sum_{i=1}^n f(x_i)-f(x_{i-1})=f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

3. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a\,$ and $x_n=b\,$ e sejam $f:D\to\mathbb{R}\,$ e $g:D\to\mathbb{R}\,$ funções reais definidas em um domínio $D\supset[a,b]\,$ então:

$\hbox{var}_{P}(f+g)\leq \hbox{var}_{P}(f)+\hbox{var}_{P}(g)\,$
Demonstração: $\begin{array}{rcl} \hbox{var}_{P}(f+g)&:=&\sum_{i=1}^n \left|f(x_i)+g(x_1)-f(x_{i-1})-g(x_{i-1)}\right|\\ &\leq& \sum_{i=1}^n\left(\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|+\left|g(x_i)-g(x_{i-1})\right|\right)\\ &=&\hbox{var}_{P}(f)+\hbox{var}_{P}(g) \end{array} \,$

4. Seja P uma partição cujos extremos são $x_0=a\,$ and $x_n=b\,$ e $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real definida em um domínio $D\supset[a,b]\,$ então, se P' é um refinamento de P

$\hbox{var}_{P}f\leq \hbox{var}_{P'}(f)\,$
Demonstração

Sem perda de generalidade, considere que P' é um refinamento de P pela inclusão de um único ponto $x_{k-1}\leq x'\leq x_{k}\,$ . Como a seguinte desigualdade é válida:

$\left|f(x_{k-1})-f(x_{k})\right|\leq \left|f(x_{k-1})-f(x')\right|+\left|f(x')-f(x_{k})\right|\,$

o resultado segue.

[editar] Variação total

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função real. Definimos a variação de $f\,$ em um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:

$\hbox{var}_{[a,b]}(f):=\sup_{P\in\mathbb{P}}\hbox{var}_P(f)\,$

O supremo é tomado em $\mathbb{P}\,$ , o conjunto de todas as possíveis partições de $[a,b]\,$ .

[editar] Propriedades

As seguintes propriedades são de demonstração imediata, aparir da definição de supremo e das propriedades já demonstradas para a variação em uma partição.

1. Se $f\,$ é um função monótona, então:

$\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

2. Se $f\,$ uma função real, então:

$\hbox{var}_{[a,b]}(f)\geq \hbox{var}_{[c,d]}(f)\,$ , sempre que $a\leq c\leq d\leq b\,$ .

3. Se $f\,$ e $g\,$ são funções reais, vale

$\hbox{var}_{[a,b]}(f+g)\leq \hbox{var}_{[a,b]}(f)+\hbox{var}_{[a,b]}(g)\,$ ,

4. Se $f\,$ uma função real, então:

$\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)= |\alpha|\hbox{var}_{[a,b]}(f),~~\forall~\alpha\in\mathbb{R}\,$ ,

5. Se $f\,$ uma função real, então:

$\hbox{var}_{[a,c]}(f)= \hbox{var}_{[c,b]}(f)+\hbox{var}_{[b,c]}(f),~~\forall~c\in[a,b]\,$ ,

[editar] Função de variação limitada

Diz-se que uma função real $f:D\to\mathbb{R}\,$ é de variação limitada em um intervalo $[a,b]\,$ se e somente se:

$\hbox{var}_{[a,b]}(\alpha f)\leq \infty\,$

[editar] Teorema

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função de classe $C^1[a,b]\,$ , então:

$\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\int_a^b |f'(x)|dx\,$
Demontração

Primeiro observamos que se $P\,$ é uma partição do intervalo $[a,b]\,$ , podemos escrever, usando o teorema do valor médio:

$\hbox{var}_{P}{f}=\sum_{i=1}^n\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|=\sum_{i=1}^n\left|f'(x_i^*)\right|(x_i-x_{i-1}),~~~x_i^*\in (x_{i-1},x_i)\,$

Da definição de variação total, podemos inferir a existência de uma seqüência de partições $P_k=\left(x_0^k,x_1^k,\ldots,x_{n_k}^k\right),\,$ tal que:

$0\leq \hbox{var}_{[a,b]}(f)-\hbox{var}_{P_k}(f)\leq 1/k\,$

Como a variação não decresce com o refino da partição, pode supor que comprimento das partições $P_k\,$ está convergindo para zero. Assim:

$\hbox{var}_{[a,b]}(f)=\lim_{k\to\infty}\hbox{var}_{P_k}(f)=\lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}^{n_k}\left|f'(x_i^k*)\right|(x_i^k-x_{i-1}^k)=\int_{a}^b |f'(x)|dx\,$

[editar] Teorema

Uma função é de variação limitada se e somente se pode ser escrita como a diferença de duas funções não decrescentes.

Demontração

a.Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função de variação limitada em $D\,$ . Define-se a função $F:D^2\to\mathbb{R}\,$ da seguinte forma:

$F(x_0,x)=\left\{ \begin{array}{ll} \hbox{var}_{[x_0,x]}(f),&x_0\leq x\\ -\hbox{var}_{[x_0,x]}(f),&x_0> x\\ \end{array} \right. \,$

Fixando um $x_0\in D\,$ é uma função não decrescente em $x\,$ .

Agora define-se:

$\begin{array}{l} p(x)=\frac{1}{2}\left[F(x_0,x)+f(x)\right]\\~\\ q(x)=\frac{1}{2}\left[F(x_0,x)-f(x)\right] \end{array}$ .

É fácil ver que $f(x)=p(x)-q(x)\,$ . Resta-nos provar que tanto $p(x)\,$ como $q(x)\,$ são funções não decrescentes. Para tal, seja $y>x\,$ e fazemos a seguinte estimativa:

$\begin{array}{rcl} p(y)-p(x)&=&\frac{1}{2}\left[F(x_0,y)+f(y)\right]-\frac{1}{2}\left[F(x_0,x)+f(x)\right]\\ &=&\frac{1}{2}\left[F(x_0,y)-F(x_0,x)\right]+\frac{1}{2}\left[f(y)-f(x)\right]\\ &=&\frac{1}{2}\left[\hbox{var}_{[y,x](f)}\right]+\frac{1}{2}\left[f(y)-f(x)\right]\geq 0 \end{array}$

Da penúltipla para a última linha usamos $F(x_0,y)-F(x_0,x)=\hbox{var}_{[x_0,y](f)}-\hbox{var}_{[x_0,x](f)}=\hbox{var}_{[x,y](f)}$ e depois observamos que $\hbox{var}_{[x,y](f)}\geq \left|f(x)-f(y)\right|$ .