Análise real/Limites

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Índice

1 Definição
- 1.1 Limite em um ponto de acumulação
- 1.2 Teorema (Unicidade do limite)
  - 1.2.1 Prova
2 Teorema ( do Confronto aplicado no limite)
- 2.1 Prova
3 Limite Sequencial
4 Comportamento de uma Função Composta sendo aplicado a um limite
5 Teorema (função composta aplicado no Limite)
6 Limites Laterais
7 Limites no infinito
8 Valor de aderência de uma função
9 Ver Também

[editar] Definição

Lembrar que uma função de um conjunto X para um conjunto Y é uma aplicação $f:X \mapsto Y$ tais que f(x) é o único elemento de Y para cada $x\in X$ . Na análise, temos tendência para falar de funções a partir de subconjuntos $A \subseteq \mathbb{R}$ para $\mathbb{R}$ .

A definição para o limite de uma função é quase a mesma que a definição de uma seqüência. De fato, como veremos mais adiante, é possível definir limites funcionais, em termos de limites seqüenciais. Para o momento, porém, vamos apenas dar a definição:

Dado um subconjunto $A \subset \mathbb{R}$ e uma função $f:A\mapsto \mathbb{R}$ , nós dizemos que o $\lim_{x \rightarrow c}f(x) = L, \; se \; \forall \; \epsilon > 0, \exists \delta > 0; \forall x \in D_f, 0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

A exigência $0<|x-c| \;$ é um pouco técnico. É uma expressão que da a idéia de que o comportamento de uma função perto de um ponto não deve ser prejudicado pelo seu comportamento no ponto. Desta forma f(x) não precisa ser definida em c para ter um limite aí.

Esta definição dá um monte de problemas para um monte de gente, por isso é melhor passar algum tempo intrigante com isso, exemplos de trabalho, etc. Uma forma de conceituar a definição é esta: $\lim_{x \rightarrow c}f(x) = L$ significa que nós podemos fazer f(x) tão próximo quanto gostarmos de L, fazendo x perto de c.

[editar] Limite em um ponto de acumulação

Sejam $f:A\to\mathbb{R}\;$ uma função definida em um conjunto $A\subseteq\mathbb{R}\;$ e $x_0\in A' \;$ . Diz-se que existe o limite de $f(x)\,$ quando $x\,$ tende a $x_0\,$ e denota-se por:

$\lim_{x\to x_0}f(x)\,$

quando existe um $L\in\mathbb{R}\,$ com a propriedade de que, para todo $\varepsilon>0\,$ , existe um $\delta>0\,$ tal que:

$0 < \left|x-x_0\right| \leq \delta \Longrightarrow \left|f(x)-L\right|<\varepsilon \,$

Observe cuidadosamente que $f(x_0)\,$ não precisa estar definido e, quando está, não necessariamente vale

$f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)\,$ .

[editar] Teorema (Unicidade do limite)

Seja $A \subseteq \mathbb{Q}, f:A\mapsto\mathbb{R}, x_0 \in A'$ .
Se $\lim_{x\to x_0}f(x)=L_1 \; e \; \lim_{x\to x_0}f(x)=L_2$ , então $L_1=L_2 \;$

[editar] Prova

Pela definição de limite temos

(1) $\forall \; \epsilon > 0, \exists \; \delta >0; \; x \in A; |x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L_1|<{\epsilon \over 2}$
(2) $\forall \; \epsilon > 0, \exists \; \delta >0; \; x \in A; |x-x_0|<\delta_2 \implies |f(x)-L_2|<{\epsilon \over 2}$

Seja $\delta = min \{ \delta_1,\delta_2 \} \;$ . Como $x_0 \in A'$ logo $\exists \; x_\delta \in (x-\delta, x+\delta)$
De fato $x_0 \in (x-\delta, x+\delta)$ .
$|L_1 - L_2| < |L_1 - f(x) + f(x)- L_2| < |L_1 - f(x)| + |f(x)- L_2| < \epsilon \;$

$\;$

[editar] Teorema ( do Confronto aplicado no limite)

Sejam $D \subseteq \mathbb{Q}, f,g,h:D\mapsto\mathbb{R}, x_0 \in D'$ .

$Se \; f(x)<g(x)<h(x), \forall x \in D - \{a\} \; e \; \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0}h(x)= L$ , então $\lim_{x\to x_0}g(x)= L$

[editar] Prova

[editar] Limite Sequencial

Poderíamos muito bem ter dado a seguinte definição do limite:

Dado um subconjunto $A \subset \mathbb{R}$ e uma função $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ , dizemos que o $\lim_{x \rightarrow c}f(x) = L$ se $\forall (x_n)_{n=1}^{\infty}$ tal que $x_n \not= c, \lim_{n \rightarrow \infty}(x_n) = c$ , e $\lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_n)) = L$

Note-se que o requisito $x_n \not= c$ corresponde com a exigência $| x - c | > 0$ .

Como um exercício para testar sua compreensão, prove que estas duas definições são equivalentes. Note-se que tendo o contrapositive dá um bom critério para determinar se ou não uma função diverge:

Se $\exists (x_n), (y_n): (x_n)\rightarrow c, (y_n)\rightarrow c$ , e $\lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_n)) \not= \lim_{n \rightarrow \infty}(f(y_n))$ , então $\lim_{x \rightarrow c}f(x)$ não existe.