Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido Newtoniano

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Quando o fluido não pode ser aproximado pelo modelo do fluido ideal, e sim pelo modelo do líquido Newtoniano, devem ser usadas as as equações de Navier-Stokes. Em algumas situações onde a geometria do problema é simples e o fluxo é laminar, existe uma solução analítica para essas equações. O fluxo laminar é caracterizado pela sua espessura h0.

Fluxo plenamente desenvolvido entre duas placas planas[editar | editar código-fonte]

A configuração geométrica mais simples possível de um escoamento ocorre quando o líquido flui entre duas placas paralelas infinitas. Por exemplo, em muitas situações práticas, óleo lubrificante flui por um intervalo entre um cilindro e um pistão; como o intervalo de escoamento é muito pequeno, com relação às demais dimensões, o problema pode ser modelado como um fluxo entre duas placas planas infinitas. Nesses casos, h0 é a espessura do intervalo. A escolha natural é o eixo X na direção do fluxo e o eixo Z na vertical. Como sabemos, a velocidade é nula nas paredes. Assim,



Além disso, como o escoamento está plenamente desenvolvido,



e, por simetria,




Além disso, o escoamento está em regime estacionário, ou seja, nenhuma propriedade varia no tempo



A equação da continuidade, nessas condições, se torna



A equação de Navier-Stokes referente ao eixo X simplifica-se para





Na igualdade acima, o lado esquerdo é uma função de z, somente, e o lado direito, uma função somente de x. Para que isso seja verdadeiro para todo x e z, é preciso que ambos sejam iguais a uma constante. Assim





Assim



As equações para os demais eixos simplificam-se da seguinte forma:







As equações de Navier-Stokes, uma vez resolvidas, nos informam que:

  1. a pressão varia de forma hidrostática no sentido do eixo Z;
  2. a pressão varia de forma contínua no sentido do eixo X;
  3. o perfil de velocidades ao longo do eixo Z assume a forma de uma parábola;

A variação da pressão ao longo do eixo X se dá porque a viscosidade do fluido provoca uma perda de carga devido ao atrito com as paredes. Curiosamente, a variação da velocidade ao longo desse eixo não faz com que a pressão varie de forma similar; a variação de pressão nesse sentido deve-se apenas ao efeito da gravidade. É a variação da velocidade ao longo do eixo Z que está relacionada com a variação da pressão ao longo do eixo X.

Uma vez obtidas as velocidades, podemos calcular as tensões a partir das relações








As equações acima mostram que só estão presentes tensões no sentido do eixo X, devidas à pressão exercida no eixo Z. A tensão é nula no centro do fluxo, onde . Nesse ponto, a velocidade é máxima



A velocidade é positiva, porque é negativa (a pressão vai diminuindo no sentido do fluxo).


A vazão é dada por



onde W é a largura das placas. Assim,




A vazão é positiva, porque é negativa. A velocidade média será



que também é positiva. Verifica-se, assim, que a velocidade máxima é 50% superior à velocidade média.

De acordo com resultados experimentais, nesse tipo de problema, o escoamento se mantém laminar somente até valores muito limitados do número de Reynolds (tipicamente, 1400). O valor constante de pode ser obtido facilmente medindo-se a perda de carga ao longo de um trecho de comprimento L e fazendo

Fluxo livre em um plano inclinado[editar | editar código-fonte]

A expressão fluxo livre significa que a única ação externa a que o fluido está sujeito é aquela devida ao seu próprio peso. A melhor escolha do eixo X é na direção do fluxo, ou seja, paralelo ao plano, com o eixo Z perpendicular a este e apontando para baixo. O eixo Y, em consequência, ficará também paralelo ao plano. Considerando-se um plano de inclinação Θ, esse peso terá componentes no eixo X e no eixo Z, mas não no eixo Y; chamemos gx e gz essas componentes. A hipótese de fluxo laminar implica, obviamente, em vz = vy = 0. Finalmente, devido à simetria, para uma propriedade η qualquer,



Neste caso, a equação de continuidade nos dá



A equação de Navier-Stokes referente ao eixo X, neste caso, simplifica-se para




A variação da pressão ao longo do eixo X é nula, porque o líquido tem uma superfície livre e, portanto, à pressão atmosférica. Em outras palavras, p(x,y,0) = constante para todos os valores de x e de y.

Similarmente, para o eixo Y




E, para o eixo Z




Integrando a primeira equação, teremos



Mas não pode haver fluxo em z = 0 (adjacente ao plano), nem tensões em z = - h0 (superfície do fluido), portanto




Portanto



A equação que descreve o campo de tensões é, então, a seguinte



A tensão nos pontos ajdacentes ao plano inclinado será



o valor negativo indicando que ela aponta na direção negativa do eixo X, ou seja, é contrária ao fluxo. A vazão volumétrica será



onde W é a largura do plano. Assim,




Podemos calcular também a velocidade média



Quanto à segunda equação



Ela nos fornece informação a respeito do campo de pressões, informação esta que coincide com aquela derivável da análise estática.

Fluxo livre entre dois cilindros concêntricos girantes[editar | editar código-fonte]

Consideremos agora dois cilindros verticais concêntricos, com o cilindro exterior girando a uma velocidade constante ω0 e com um fluido Newtoniano no espaço entre eles. Dessa maneira, o fluido se movimenta em relação ao cilindro exterior. Chamemos R ao raio do cilindro interior e R + h0 ao raio do cilindro exterior. A geometria do problema pede o uso de coordenadas colindricas; para que o eixo Z aponte para baixo, a regra da mão direita exige que o ângulo Θ seja medido no sentido horário. Suponhamos que o giro do cilindro maior esteja nesse mesmo sentido, o que fará com que ω0 seja positiva.

Como vimos anteriormente, as equações básicas em coordenadas cilíndricas são as seguintes:









A geometria do problema implica em



para qualquer propriedade η. O movimento é unidimensional, portanto vr = vz = 0. Como vΘ = f(r), teremos



Assim, as equações se simplificam para






Novamente, a última equação traz informação a respeito da variação de pressão que coincide com a proporcionada pela análise estática. A equação de continuidade nos diz simplesmente que a velocidade deve ser constante ao longo do fluxo. Resolvendo a segunda equação:




No ponto adjacente ao cilindro menor (r = R), vΘ = 0, portanto



No ponto adjacente ao cilindro maior (r = R + h0), vΘ = ω0r , portanto




E assim



Logo, a expressão para a velocidade vΘ é a seguinte:



A partir dessa expressão, podemos encontrar o valor da tensão cisalhante τ




o valor positivo indicando uma tensão na direção do movimento (o cilindro externo arrasta o fluido). Sabemos que a tensão será máxima quando r = R (velocidade nula)


Exercícios resolvidos[editar | editar código-fonte]