Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E3

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Enunciado

Um sistema hidráulico opera a uma pressão de 20M Pa e a uma temperatura de 55 °C, usando óleo SAE 10W. O sistema empurra um pistão de 25 mm de diâmetro e 15 mm de comprimento, que corre ajustado a um cilindro, com um espaço de 0.005 mm entre as paredes de ambos. Sabendo que a pressão manométrica no ponto de saída é igual a 1M Pa, calcule a vazão de óleo entre o cilindro e o pistão.

Dados do problema

h0	0.005 mm
T	55°
P1	20M Pa
P2	1M Pa
L	15 mm
D	25 mm
Φ	A calcular

Outras informações:

Viscosidade do óleo (μ) - 0.018 kg·m^-1·s^-1

Densidade do óleo (ρ) - 920 kg/m³

Solução

Como h₀ << D, podemos modelar as paredes como duas placas paralelas de comprimento πD, evitando a necessidade de usar coordenadas cilíndricas. A queda de pressão entre as faces do pistão será

${\frac {\Delta p}{L}}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;=\;{\frac {P_{2}\;-\;P_{1}}{L}}$

Primeiramente, para saber se o escoamento é laminar, é preciso examinar o número de Reynolds:

$N_{Re}\;=\;{\frac {\rho \;{\bar {v}}\;h_{0}}{\mu _{0}}}$

Aqui usaremos a velocidade média do fluido e a distância entre as placas para tipificar a situação. Assim, usando a expressão vista anteriormente:

$N_{Re}\;=\;{\frac {\rho \;h_{0}^{3}}{12\mu _{0}}}\cdot {\frac {P_{1}\;-\;P_{2}}{L}}\;=\;{\frac {920\;kg/m^{3}\cdot (0.005\;mm)^{3}}{12\cdot 0.018kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}}\cdot {\frac {20M\;Pa\;-\;1.0M\;Pa}{15\;mm}}\;=\;0.0067$

Como o valor é muito menor que o limite (1400), o escoamento é certamente laminar. A vazão, então, será

$\Phi \;=\;-\;{\frac {W\;h_{0}^{3}}{12\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;=\;-\;{\frac {\pi \;D\;h_{0}^{3}}{12\mu _{0}}}\;{\frac {P_{2}\;-\;P_{1}}{L}}$

$\;=\;{\frac {3.1\cdot 25\;mm\cdot (0.005\;mm)^{3}}{12\cdot 0.018kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}}\cdot {\frac {20M\;Pa\;-\;1.0M\;Pa}{15\;mm}}\;=\;57\;\times 10^{-9}\;m^{3}/s\;=\;57\;mm^{3}/s$