Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E4

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Enunciado

Deduzir o perfil de velocidades para escoamento laminar de um líquido Newtoniano em um tubo cilíndrico horizontal de diâmetro D.

Solução

Aqui, não podemos modelar as paredes do tubo como duas placas paralelas, e será preciso empregar as equações em coordenadas cilíndricas.

${\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\;(rv_{r})\;+\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial \theta }}\;(v_{\theta })\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;(v_{z})\;=\;0$

$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\;-\;{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}\right)\;=\;$

$\;=\;\rho _{0}g_{r}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{r})\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial \theta ^{2}}}\;-\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial z^{2}}}\right]$

$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {v_{r}v_{\theta }}{r}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}\right)\;=\;$

$\;=\;\rho _{0}g_{\theta }\;-\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial z^{2}}}\right]$

$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;=\;$

$\;=\;\rho _{0}g_{z}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right]$

Por simetria, para qualquer propriedade η, ${\frac {\partial \eta }{\partial \theta }}\;=\;0$. O movimento é unidimensional, portanto $v_{r}\;=\;v_{\theta }\;=\;0$. Em regime estacionário, ${\frac {\partial \eta }{\partial t}}\;=\;0$. Assim, as equações se tornam

$0\;+\;0\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;(v_{z})\;=\;0\;\;\;\Rightarrow {\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;=\;0$

$\rho _{0}\left(0\;+\;0\;-\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho _{0}g_{r}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;-\;0\;+\;0\right]\;\;\;\Rightarrow {\frac {\partial p}{\partial r}}\;=\;\rho _{0}g_{r}$

$\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho _{0}g_{\theta }\;-\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right]\;\;\;\Rightarrow {\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;=\;\rho _{0}g_{\theta }$

$\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;=\;0\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;+\;0\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right]$

${\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;=\;0\;\;\;\Rightarrow {\frac {\mu _{0}}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;=\;{\frac {\partial p}{\partial z}}$

As três primeiras equações nos trazem informação trivial: o fluxo deve ser constante ao longo do eixo Z (horizontal) e a distribuição de pressões ao longo de cada seção circular é hidrostática. Integrando a última equação, teremos

${\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;=\;{\frac {1}{\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\;r\;\;\;\Rightarrow r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;=\;k_{1}r^{2}\;+\;k_{2}\qquad \left(k_{1}\;=\;{\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\right)$

${\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;=\;k_{1}r\;+\;k_{2}\;{\frac {1}{r}}$

mas k₂ deve ser nulo, caso contrário a velocidade seria infinita em r = 0 (centro do tubo). Assim,

${\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;=\;k_{1}r\;\;\;\Rightarrow v_{z}\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}r^{2}\;+\;k_{3}$

Como v_z(R) = 0, temos

$v_{z}(R)\;=\;0\;\;\;\Rightarrow {\frac {k_{1}}{2}}R^{2}\;+\;k_{3}\;=\;0\;\;\;\Rightarrow k_{3}\;=\;-\;{\frac {k_{1}}{2}}R^{2}$

Assim

$v_{z}\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}\left(r^{2}\;-\;R^{2}\right)\;=\;{\frac {1}{4\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\;(r^{2}\;-\;R^{2})$

Finalmente, é bom lembrar que, para saber se o escoamento é laminar, é preciso examinar o número de Reynolds, que aqui tem a forma:

$N_{Re}\;=\;{\frac {\rho \;{\bar {v}}\;D}{\mu _{0}}}$

Por isso, é importante determinar a velocidade média. Para isso, calcula-se primeiro a vazão na seção circular A

$\Phi \;=\;\int _{A}v_{z}dA\;=\;\int _{0}^{R}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\;(r^{2}\;-\;R^{2})(2\pi r\;dr)\;=\;{\frac {\pi }{2\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\int _{0}^{R}(r^{3}\;-\;R^{2}r)\;dr$

$\Phi \;=\;{\frac {\pi }{2\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\left.\left({\frac {r^{4}}{4}}\;-\;{\frac {R^{2}r^{2}}{2}})\right)\right|_{0}^{R}$

$\Phi \;=\;-\;{\frac {\pi R^{4}}{8\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}$

${\bar {v}}\;=\;{\frac {Phi}{A}}\;=\;-\;{\frac {\pi R^{4}}{8\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}\;{\frac {1}{\pi R^{2}}}\;=\;-\;{\frac {R^{2}}{8\mu _{0}}}\;{\frac {\Delta p}{L}}$

Os valores negativos de vazão e velocidade média devem-se ao fato de o fluxo ocorrer do ponto de maior pressão para o ponto de menor pressão (Δp < 0).