Mecânica dos fluidos/Equações básicas em forma adimensional

Equações em forma adimensional

Equação de continuidade

A equação de continuidade em forma diferencial

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;+\;(\nabla \cdot (\rho {\vec {v}}))\;=\;0$

tem dimensão [D{ρ}·D{t}^-1] = M·L^-3·T^-1. Para obter uma equação correspondente adimensional, substituímos a densidade ρ por ρ^*·ρ_r e a velocidade v por v^*·v_r, onde ρ_r e v_r são valores de referência e ρ^* e v^* são números puros. Aplicamos um procedimento equivalente também aos comprimentos; por exemplo, substituímos x por x^*·L_r, onde L_r é um comprimento de referência. Assim:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;{\frac {\partial (\rho ^{*}\cdot \rho _{r})}{\partial (t^{*}\cdot t_{r})}}\;=\;{\frac {\rho _{r}}{t_{r}}}\;{\frac {\partial \rho ^{*}}{\partial t^{*}}}$

$\nabla \cdot (\rho {\vec {v}})\;=\;{\frac {\partial (\rho v_{x})}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial (\rho v_{y})}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial (\rho v_{z})}{\partial z}}\;=\;{\frac {\partial [(\rho ^{*}\cdot \rho _{r})(v_{x}^{*}\cdot v_{r})]}{\partial (x^{*}\cdot L_{r})}}\;+\;{\frac {\partial [(\rho ^{*}\cdot \rho _{r})(v_{y}^{*}\cdot v_{r})]}{\partial (y^{*}\cdot L_{r})}}\;+\;{\frac {\partial [(\rho ^{*}\cdot \rho _{r})(v_{z}^{*}\cdot v_{r})]}{\partial (z^{*}\cdot L_{r})}}$

$\;=\;{\frac {\rho _{r}v_{r}}{L_{r}}}\;\left({\frac {\partial (\rho ^{*}v_{x}^{*})}{\partial x^{*}}}\;+\;{\frac {\partial (\rho ^{*}v_{y}^{*})}{\partial y^{*}}}\;+\;{\frac {\partial (\rho ^{*}v_{z}^{*})}{\partial z^{*}}}\right)$

Se escolhermos t_r tal que $t_{r}\;=\;{\frac {L_{r}}{v_{r}}}$, a equação se torna

${\frac {\partial \rho ^{*}}{\partial t^{*}}}\;+\;{\frac {\partial (\rho ^{*}v_{x}^{*})}{\partial x^{*}}}\;+\;{\frac {\partial (\rho ^{*}v_{y}^{*})}{\partial y^{*}}}\;+\;{\frac {\partial (\rho ^{*}v_{z}^{*})}{\partial z^{*}}}\;=\;0$

ou

${\frac {\partial \rho ^{*}}{\partial t^{*}}}\;+\;(\nabla \;^{*}\cdot (\rho ^{*}{\vec {v}}\;^{*}))\;=\;0$, onde $\nabla \;^{*}\cdot F={\dfrac {\partial F}{\partial x^{*}}}+{\dfrac {\partial F}{\partial y^{*}}}+{\dfrac {\partial F}{\partial z^{*}}}$.

Equação de Bernoulli

Para escrever a equação de Bernoulli em forma adimensional, a pressão p deve ser substituída por p^*·p_r, com p_r = ρv_r² = ρ^*·ρ_r·v_r². Assim, se fizermos $v_{r}\;=\;{\sqrt {gL_{r}}}\;$,

${\frac {p}{\rho }}\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\;+\;\ gz\;=\;constante$

${\frac {p^{*}\cdot p_{r}}{\rho ^{*}\cdot \rho _{r}}}\;+\;{\frac {(v^{*}\cdot v_{r})^{2}}{2}}\;+\;\ gz^{*}\cdot L_{r}\;=\;constante$

${\frac {p^{*}(\rho ^{*}\cdot \rho _{r}\cdot v_{r}^{2})}{\rho ^{*}\cdot \rho _{r}}}\;+\;v_{r}^{2}\;{\frac {(v^{*})^{2}}{2}}\;+\;\ v_{r}^{2}\cdot z^{*}\;=\;constante$

$p^{*}\;+\;{\frac {(v^{*})^{2}}{2}}\;+\;\ z^{*}\;=\;constante$

Equações de Navier-Stokes para um líquido Newtoniano

Considerando-se o eixo Z como apontando para cima e desprezando-se um dos eixos horizontais, o que é válido para a maioria das situações, as equações de Navier-Stokes para um líquido Newtoniano (densidade e viscosidade constantes), têm a forma seguinte:

$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)\;=\;-\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\right)$

$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;=\;-\;\rho _{0}\;g\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right)$

Essas equações têm dimensão [D[p]·D[z]^-1] = [[M·L^-1·T^-2]·L^-1] = [M·L^-2·T^-2]. Em forma adimensional, teremos

$\rho ^{*}\rho _{r}\left({\frac {\partial (v_{x}^{*}v_{r})}{\partial (t^{*}t_{r})}}+(v_{x}^{*}v_{r}){\frac {\partial (v_{x}^{*}v_{r})}{\partial (x^{*}L_{r})}}\;+\;(v_{z}^{*}v_{r}){\frac {\partial (v_{x}^{*}v_{r})}{\partial (z^{*}L_{r})}}\right)\;=\;-\;{\frac {\partial (p^{*}p_{r})}{\partial (x^{*}L_{r})}}\;+\;\mu ^{*}\mu _{r}\left({\frac {\partial ^{2}(v_{x}^{*}v_{r})}{\partial (x^{*}L_{r})^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}(v_{x}^{*}v_{r})}{\partial (z^{*}L_{r})^{2}}}\right)$

$\rho ^{*}\rho _{r}\left({\frac {\partial (v_{z}^{*}v_{r})}{\partial (t^{*}t_{r})}}+(v_{x}^{*}v_{r}){\frac {\partial (v_{z}^{*}v_{r})}{\partial (x^{*}L_{r})}}\;+\;(v_{z}^{*}v_{r}){\frac {\partial (v_{z}^{*}v_{r})}{\partial (z^{*}L_{r})}}\right)\;=\;-\;\rho ^{*}\rho _{r}g\;-\;{\frac {\partial (p^{*}p_{r})}{\partial (z^{*}L_{r})}}\;+\;\mu ^{*}\mu _{r}\left({\frac {\partial ^{2}(v_{z}^{*}v_{r})}{\partial (x^{*}L_{r})^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}(v_{z}^{*}v_{r})}{\partial (z^{*}L_{r})^{2}}}\right)$

Como

${\frac {\partial f(x)}{\partial g(x)}}\;=\;{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\;{\frac {\partial x}{\partial g(x)}}\;=\;{\frac {\frac {\partial f(x)}{\partial x}}{\frac {\partial g(x)}{\partial x}}}\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial f(x)}{\partial (kx)}}\;=\;{\frac {1}{k}}\;{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}$e

${\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial g(x)^{2}}}={\frac {\partial }{\partial g(x)}}\left({\frac {\partial f(x)}{\partial g(x)}}\right)={\frac {\partial }{\partial g(x)}}\left({\frac {1}{k}}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\right)={\frac {1}{k}}{\frac {\partial }{\partial (kx)}}\left({\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\right)={\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\partial }{\partial (x)}}\left({\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\right)={\frac {1}{k^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\right)$

Temos

${\frac {\rho _{r}v_{r}}{t_{r}}}\rho ^{*}{\frac {\partial v_{x}^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\rho _{r}v_{r}^{2}}{L_{r}}}\rho ^{*}\left(v_{x}^{*}{\frac {\partial v_{x}*}{\partial x^{*}}}\;+\;v_{z}^{*}{\frac {\partial v_{x}^{*}}{\partial z^{*}}}\right)\;=\;-\;{\frac {p_{r}}{L_{r}}}\;{\frac {\partial p^{*}}{\partial x^{*}}}\;+\;{\frac {\mu _{r}v_{r}}{L_{r}^{2}}}\mu ^{*}\left({\frac {\partial ^{2}v_{x}^{*}}{\partial x^{*2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}^{*}}{\partial z^{*2}}}\right)$

${\frac {\rho _{r}v_{r}}{t_{r}}}\rho ^{*}{\frac {\partial v_{z}^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\rho _{r}v_{r}^{2}}{L_{r}}}\rho ^{*}\left(v_{x}^{*}{\frac {\partial v_{z}*}{\partial x^{*}}}\;+\;v_{z}^{*}{\frac {\partial v_{z}^{*}}{\partial z^{*}}}\right)\;=\;-\;\rho ^{*}\rho _{r}g\;-\;{\frac {p_{r}}{L_{r}}}\;{\frac {\partial p^{*}}{\partial z^{*}}}\;+\;{\frac {\mu _{r}v_{r}}{L_{r}^{2}}}\mu ^{*}\left({\frac {\partial ^{2}v_{z}^{*}}{\partial x^{*2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}^{*}}{\partial z^{*2}}}\right)$

Com as substituições usuais $(p_{r}\;=\;\rho ^{*}\rho _{r}v_{r}^{2}\;\;\;e\;\;\;v_{r}\;=\;{\sqrt {gL_{r}}})$ e ainda $\mu _{r}\;=\;\rho _{r}L_{r}v_{r}$e tomando $t_{r}={\frac {L_{r}}{v_{r}}}$ teremos,

${\frac {\rho _{r}v_{r}^{2}}{L_{r}}}\rho ^{*}{\frac {\partial v_{x}^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\rho _{r}v_{r}^{2}}{L_{r}}}\rho ^{*}\left(v_{x}^{*}{\frac {\partial v_{x}*}{\partial x^{*}}}\;+\;v_{z}^{*}{\frac {\partial v_{x}^{*}}{\partial z^{*}}}\right)\;=\;-\;{\frac {\rho ^{*}\rho _{r}v_{r}^{2}}{L_{r}}}\;{\frac {\partial p^{*}}{\partial x^{*}}}\;+\;{\frac {\rho _{r}L_{r}v_{r}^{2}}{L_{r}^{2}}}\mu ^{*}\left({\frac {\partial ^{2}v_{x}^{*}}{\partial (x^{*})^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}^{*}}{\partial (z^{*})^{2}}}\right)$

${\frac {\partial v_{x}^{*}}{\partial t^{*}}}+v_{x}^{*}{\frac {\partial v_{x}*}{\partial x^{*}}}\;+\;v_{z}^{*}{\frac {\partial v_{x}^{*}}{\partial z^{*}}}\;=\;-\;{\frac {\partial p^{*}}{\partial x^{*}}}\;+\;{\frac {\mu ^{*}}{\rho ^{*}}}\left({\frac {\partial ^{2}v_{x}^{*}}{\partial (x^{*})^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}^{*}}{\partial (z^{*})^{2}}}\right)$

Similarmente,

${\frac {\partial v_{z}^{*}}{\partial t^{*}}}+v_{x}^{*}{\frac {\partial v_{z}*}{\partial x^{*}}}\;+\;v_{z}^{*}{\frac {\partial v_{z}^{*}}{\partial z^{*}}}\;=\;-1\;-\;{\frac {\partial p^{*}}{\partial z^{*}}}\;+\;{\frac {\mu ^{*}}{\rho ^{*}}}\left({\frac {\partial ^{2}v_{z}^{*}}{\partial (x^{*})^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}^{*}}{\partial (z^{*})^{2}}}\right)$

Também é comum escolher v_r tal que coincida com a velocidade do fluxo na superfície livre. Esse valor é indicado usualmente também como v_∞. Tal substituição implica que a pressão de referência p_r e a velocidade de referência sejam relacionadas da mesma forma $(p_{r}\;=\;\rho ^{*}\rho _{r}v_{r}^{2})$, mas a identidade $v_{r}\;=\;{\sqrt {gL_{r}}}$ não pode ser empregada. Neste caso, a primeira equação se mantém inalterada, mas a segunda se torna:

${\frac {\partial v_{z}^{*}}{\partial t^{*}}}+v_{x}^{*}{\frac {\partial v_{z}*}{\partial x^{*}}}\;+\;v_{z}^{*}{\frac {\partial v_{z}^{*}}{\partial z^{*}}}\;=\;-\;{\frac {gL_{r}}{v_{\infty }^{2}}}\;-\;{\frac {\partial p^{*}}{\partial z^{*}}}\;+\;{\frac {\mu ^{*}}{\rho ^{*}}}\left({\frac {\partial ^{2}v_{z}^{*}}{\partial (x^{*})^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}^{*}}{\partial (z^{*})^{2}}}\right)$