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Mecânica dos fluidos/Equações básicas em forma adimensional

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Equações em forma adimensional[editar | editar código-fonte]

Equação de continuidade[editar | editar código-fonte]

A equação de continuidade em forma diferencial



tem dimensão [D{ρ}·D{t}-1] = M·L-3·T-1. Para obter uma equação correspondente adimensional, substituímos a densidade ρ por ρ*·ρr e a velocidade v por v*·vr, onde ρr e vr são valores de referência e ρ* e v* são números puros. Aplicamos um procedimento equivalente também aos comprimentos; por exemplo, substituímos x por x*·Lr, onde Lr é um comprimento de referência. Assim:





Se escolhermos tr tal que , a equação se torna



ou


, onde .

Equação de Bernoulli[editar | editar código-fonte]

Para escrever a equação de Bernoulli em forma adimensional, a pressão p deve ser substituída por p*·pr, com p_r = ρvr2 = ρ*·ρr·vr2. Assim, se fizermos ,






Equações de Navier-Stokes para um líquido Newtoniano[editar | editar código-fonte]

Considerando-se o eixo Z como apontando para cima e desprezando-se um dos eixos horizontais, o que é válido para a maioria das situações, as equações de Navier-Stokes para um líquido Newtoniano (densidade e viscosidade constantes), têm a forma seguinte:




Essas equações têm dimensão [D[p]·D[z]-1] = [[M·L-1·T-2]·L-1] = [M·L-2·T-2]. Em forma adimensional, teremos




Como


e


Temos




Com as substituições usuais e ainda e tomando teremos,




Similarmente,



Também é comum escolher vr tal que coincida com a velocidade do fluxo na superfície livre. Esse valor é indicado usualmente também como v. Tal substituição implica que a pressão de referência pr e a velocidade de referência sejam relacionadas da mesma forma , mas a identidade não pode ser empregada. Neste caso, a primeira equação se mantém inalterada, mas a segunda se torna: