Guia de problemas matemáticos/Matrizes e determinantes

Problema 1

Determine todos os valores de $x$ e $y$ para os quais é válida a seguinte igualdade entre matrizes:

${\begin{pmatrix}x^{2}&4\\3&y^{2}-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16&4\\3&24\end{pmatrix}}$

Solução

Para que duas matrizes sejam iguais, é necessário que cada entrada de uma delas seja igual a entrada correspondente na outra. No caso das matrizes quadradas acima, é preciso que se verifiquem quatro igualdades, das quais duas são claramente verdadeiras:

$4=4$

$3=3$

Para que as outras duas igualdades sejam válidas, é necessário e suficiente que $x$ e $y$ satisfaçam as seguintes equações:

$x^{2}=16$

$y^{2}-1=24$

A primeira delas só é possível quando $x=4$ ou $x=-4$. Enquanto a segunda implica que $y$ deve ser igual a $-5$, ou a $5$.

Assim, o conjunto contendo todos os pares de números $x$ e $y$ para os quais as duas matrizes apresentadas são idênticas, é:

$S=\{(-4,-5),(-4,5),(4,-5),(4,5)\}$

Ver também

O conceito de matrizes é abordado em dois livros:

• Matemática elementar/Matrizes - nível elementar (ensino médio ou secundário)
• Álgebra linear/Matrizes - nível avançado (universitário)

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