O problema

Em um trapézio, cujas bases medem a e b, os pontos M e N pertencem aos lados não-paralelos. Se MN divide em dois outros trapézios equivalentes, calcule a medida de MN em função de a e b.

Uma solução

Para melhor visualização do problema e da solução, eis uma imagem ilustrativa:

Bom, o enunciado informou que os trapézios obtidos serão equivalentes. Se isso ocorre, os trapézios obtidos possuem a mesma área, ou seja, metade da área do trapézio inicial. Podemos notar ainda que a altura do trapézio inicial será dada pela soma das alturas dos trapézios obtidos com o seccionamento. Então, vamos encontrar o valor dessas alturas!

$\left(I\right)A={\frac {\left(a+b\right).H}{2}}\longrightarrow {\frac {1}{A}}={\frac {2}{\left(a+b\right).H}}\longrightarrow H={\frac {2A}{a+b}}$

$\left(II\right){\frac {A}{2}}={\frac {\left(b+{\overline {MN}}\right).h_{1}}{2}}\longrightarrow {\frac {2}{A}}={\frac {2}{\left(b+{\overline {MN}}\right).h_{1}}}\longrightarrow h_{1}={\frac {A}{b+{\overline {MN}}}}$

$\left(III\right){\frac {A}{2}}={\frac {\left(a+{\overline {MN}}\right).h_{2}}{2}}\longrightarrow {\frac {2}{A}}={\frac {2}{\left(a+{\overline {MN}}\right).h_{2}}}\longrightarrow h_{2}={\frac {A}{a+{\overline {MN}}}}$

Agora, como a soma das alturas dos trapézios menores resultará na altura do trapézio maior:

$H=h_{1}+h_{2}$

${\frac {2A}{a+b}}={\frac {A}{{\overline {MN}}+a}}+{\frac {A}{{\overline {MN}}+b}}$

Pronto. Agora todos os fatores A podem ser "cortados". Note também que, do lado direito da igualdade, o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) será (MN + a).(MN + b):

${\frac {2}{a+b}}={\frac {a+b+2{\overline {MN}}}{{\overline {MN}}^{2}+\left(a+b\right){\overline {MN}}+ab}}\longrightarrow \left(a+b\right)^{2}+2{\overline {MN}}.\left(a+b\right)=2{\overline {MN}}^{2}+2{\overline {MN}}.\left(a+b\right)+2ab$

$2{\overline {MN}}^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-2ab\longrightarrow {\overline {MN}}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\longrightarrow {\overline {MN}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}$

E assim terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.