Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
[edição não verificada] | [edição não verificada] |
+resolução do problema proposto |
+ conteúdo: soma de quadrados |
||
Linha 101: | Linha 101: | ||
Sabe-se que o conjunto dos pontos <math>(x,y)\,\!</math> (com coordenadas reais) que verificam a equação <math>d = ax+by\,\!</math> é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da [[w:Equação diofantina|equação diofantina]] <math>d = ax+by\,\!</math>, são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras. |
Sabe-se que o conjunto dos pontos <math>(x,y)\,\!</math> (com coordenadas reais) que verificam a equação <math>d = ax+by\,\!</math> é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da [[w:Equação diofantina|equação diofantina]] <math>d = ax+by\,\!</math>, são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras. |
||
O curioso é que o ponto desta reta que é obtido pelo algoritmo de Euclides, na busca pelo <math>(a,b)\,\!</math> é justamente aquele que está mais próximo da origem (entre os que possuem coordenadas inteiras). |
|||
{{Tarefa|Incluir figura mostrando uma reta <math>ax+by=d\,\!</math>, que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.}} |
{{Tarefa|Incluir figura mostrando uma reta <math>ax+by=d\,\!</math>, que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.}} |
||
== Diferênca de quadrados == |
|||
Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação: |
|||
:<math>n = x^2 + y^2\,\!</math> |
|||
Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro <math>n\,\!</math> que pode ser escrito como soma de dois [[w:Quadrado perfeito|quadrados perfeitos]]. Se a resposta for afirmativa, será interessante saber ''exatamente'' quais são os números inteiros <math>n\,\!</math> que são soma de quadrados. |
|||
Estes são alguns exemplos desse tipo de problema: |
|||
*<math>x^2 + y^2 = 30\,\!</math> tem soluções inteiras? |
|||
*<math>x^2 + y^2 = 32\,\!</math> tem soluções inteiras? |
|||
Para poder responder essas perguntas, considere que exista uma solução da equação |
|||
:<math>n = x^2 + y^2\,\!</math> |
|||
No caso, a solução é <math>x,y\,\!</math>. |
|||
O que se pode afirmar sobre os inteiros <math>x,y\,\!</math>? |
Revisão das 13h58min de 1 de fevereiro de 2008
Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.
Considere o seguinte problema:
Se existem notas de 2 e de 5 reais, quais são os valores que podem ser obtidos combinando algumas dessas notas?
Matemáticamente, o que se quer saber é:
Quais os valores de , para os quais a solução possui alguma solução inteira?
Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como equação diofantina.
As equações diofantinas lineares
A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: . Aqui, os inteiros e são fixados.
Quando é que tal equação possui solução?
O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.
- Teorema
Insira o enunciado do teorema.
Demonstração |
---|
Primeiramente, observe que se é uma solução, então (pela linearidade da divisibilidade). Reciprocamente, se , então . Mas pelo teorema de Bézout, existem inteiros tais que . Logo, multiplicando cada membro por , tem-se: ou seja, basta tomar e , e será uma solução.
Se for uma solução conhecida, qualquer outra solução satizfaz: Então , ou seja, . Tomando é possível escrever Donde: Claramente e . Logo ou seja, existe tal que Portanto, Usando essa expressão em resulta Disto se conclui que . |
Assim como acontece em problemas que envolvem equações diferenciais, para determinar o conjunto solução de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso, )
Agora é possível resolver o problema proposto no início.
Aplicação
Será que existem números inteiros que verificam ?
Conforme o teorema indica, para que exista uma solução (e portant infinitas) é preciso que .
Pelo algoritmo de Euclides obtem-se , além de . Multiplicando ambos os membros por , segue que:
Assim, as demais soluções são da forma:
No contexto em que o problema foi colocado, é exigido que as soluções não sejam números negativos. Disto seguem as seguintes restrições:
que são equivalentes a
Para que exista algum valor inteiro nesse intervalo, é suficiente que , ou seja,
Note que a condição anterior é suficiente, mas não necessária, pois para alguns valores de também há soluções:
A conclusão final é que, utilizando apenas notas de e de é possível obter qualquer valor inteiro maior que ou igual a .
Interpretação geométrica
Sabe-se que o conjunto dos pontos (com coordenadas reais) que verificam a equação é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da equação diofantina , são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.
Diferênca de quadrados
Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:
Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos. Se a resposta for afirmativa, será interessante saber exatamente quais são os números inteiros que são soma de quadrados.
Estes são alguns exemplos desse tipo de problema:
- tem soluções inteiras?
- tem soluções inteiras?
Para poder responder essas perguntas, considere que exista uma solução da equação
No caso, a solução é .
O que se pode afirmar sobre os inteiros ?