Teoria de números/Equações diofantinas

Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.

Considere o seguinte problema:

Se existem notas de 2 e de 5 reais, quais são os valores que podem ser obtidos combinando algumas dessas notas?

Matematicamente, o que se quer saber é:

Quais os valores de  $n,$  para os quais a solução  $2x+5y=n$  possui alguma solução inteira?

Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como equação diofantina.

As equações diofantinas lineares

A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: $ax+by=n.$ Aqui, os inteiros $a$ e $b$ são fixados.

Quando é que tal equação possui solução?

O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.

Teorema

Dados $a,b\in \mathbb {Z} ,$ existem $x,y\in \mathbb {Z}$ tais que $ax+by=n$ se, e somente se, $d=(a,b)|n.$ Além disso, se $(x_{0},y_{0})$ é solução, então todas as soluções são da forma: $x=x_{0}-b't$ e $y=y_{0}+a't,$ onde $a=a'd$ e $b=b'd.$

Demonstração

Primeiramente, observe que se

(x,y)

é uma solução, então

d|ax+by=n

(pela linearidade da divisibilidade).

Reciprocamente, se $d|n,$ então $n=n'd.$

Mas pelo teorema de Bézout, existem inteiros $r,s$ tais que $ar+bs=d.$ Logo, multiplicando cada membro por $n',$ tem-se:

n'(ar+bs)=n'd=n

ou seja, basta tomar $x=n'r$ e $y=n's,$ e $(x,y)$ será uma solução.

Resta determinar a forma geral de todas as soluções.

Se $(x_{0},y_{0})$ for uma solução conhecida, qualquer outra solução $(x,y)$ satizfaz:

n=ax+by=ax_{0}+by_{0}

Então $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0,$ ou seja, $a(x-x_{0})=-b(y-y_{0}).$

Tomando $d=(a,b)$ é possível escrever

$a=a'd$
$b=b'd$

Donde:

a'(x-x_{0})=-b'(y-y_{0})

Claramente $(a',b')=1$ e $a'|-b'(y-y_{0}).$

Logo

a'|(y-y_{0})

ou seja, existe $t\in \mathbb {Z}$ tal que

a't=y-y_{0}

Portanto, $y=y_{0}+a't$

Usando essa expressão em

a'(x-x_{0})=-b'(y-y_{0})

resulta

a'(x-x_{0})=-b'(y_{0}+a't-y_{0})=-b'a't

Disto se conclui que $x=x_{0}-b't.$

Assim como acontece em problemas que envolvem equações diferenciais, para determinar o conjunto solução de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso, $ax+by=0$ )

Agora é possível resolver o problema proposto no início.

Aplicação

Será que existem números inteiros $x,y,n$ que verificam $2x+5y=n?$

Conforme o teorema indica, para que exista uma solução (e portanto infinitas) é preciso que $,mdc(2,5)|n.$

Pelo algoritmo de Euclides obtem-se $mdc(2,5)=1,$ além de $2\cdot (-2)+5\cdot 1=1.$ Multiplicando ambos os membros por $n,$ segue que:

2\cdot (-2n)+5\cdot n=n

Assim, as demais soluções são da forma:

$x=-2n+5t$
$y=n-2t$

No contexto em que o problema foi colocado, é exigido que as soluções não sejam números negativos. Disto seguem as seguintes restrições:

$-2n+5t\geq 0$
$n-2t\geq 0$

que são equivalentes a

{\frac {2}{5}}n\leq t\leq {\frac {n}{2}}

Para que exista algum valor inteiro $t$ nesse intervalo, é suficiente que ${\frac {n}{2}}-{\frac {2}{5}}n\geq 1,$ ou seja,

n=5n-4n\geq 10

Note que a condição anterior é suficiente, mas não necessária, pois para alguns valores de $n<10$ também há soluções:

$4=2+2$
$5=5+0$
$6=2+2+2$
$7=5+2$
$8=2+2+2+2$
$9=5+2+2$

A conclusão final é que, utilizando apenas notas de $2$ e de $5$ é possível obter qualquer valor inteiro maior que ou igual a $4.$

Interpretação geométrica

Sabe-se que o conjunto dos pontos $(x,y)$ (com coordenadas reais) que verificam a equação $d=ax+by$ é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da equação diofantina $d=ax+by,$ são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Incluir figura mostrando uma reta

ax+by=d,

que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.

Diferença de quadrados

Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:

n=x^{2}-y^{2}

Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro $n$ que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos. Se a resposta for afirmativa, será interessante saber exatamente quais são os números inteiros $n$ que são soma de quadrados.

Estes são alguns exemplos desse tipo de problema:

$x^{2}-y^{2}=30$ tem soluções inteiras?
$x^{2}-y^{2}=32$ tem soluções inteiras?

Para poder entender a estratégia para a resolução desse tipo de problema, considere que a segunda equação tenha alguma solução $x,y:$

32=x^{2}-y^{2}

O que se pode afirmar sobre esses dois números inteiros?

Primeiramente, deve valer $32=x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y),$ ou seja, a soma e a diferença das soluções devem ser divisores de $32.$ Sabe-se, por exemplo, que $32=8\cdot 4.$ Será que existem inteiros $x,y$ tais que

$x+y=8$
$x-y=4$

Por inspeção, percebe-se que $x=6$ e $y=2$ servem, logo $32=6^{2}-2^{2}=36-4.$

E quanto ao outro problema?

É possível encontrar um par de divisores de $30$ (por exemplo, $d$ e ${\frac {30}{d}}$ ) tais que um seja a soma, e outro a diferença das soluções?

Observe:

Divisores de $30$
$d$	${\frac {30}{d}}$
$1$	$30$
$2$	$15$
$3$	$10$
$5$	$6$

Você é capaz de encontrar alguma linha dessa tabela contendo a soma e a diferença de dois números inteiros? Justifique.

Em vez de continuar tratando o problema baseando-se em exemplos particulares, considere que existem $x,y$ satisfazeno a equação em sua forma geral:

n=x^{2}-y^{2}

Conforme anteriormente, conclui-se que, para alguma escolha de $u,v,$ tais que $n=u\cdot v,$ tem-se $u=x+y$ e $v=x-y,$ ou seja, para tais divisores de $n$ existe uma solução $x,y$ para o sistema:

\left\{{\begin{matrix}x+y&=&u\\x-y&=&v\\\end{matrix}}\right.

Equivalentemente, tais inteiros $x,y$ são também solução do sistema:

\left\{{\begin{matrix}2x&=&u+v\\2y&=&u-v\\\end{matrix}}\right.

Se você interpretar essas equações adequadamente, concluirá que $u,v$ devem ter a mesma paridade (ser ambos pares ou ambos ímpares). De fato, se um deles for par e o outro for ímpar, sua soma será um número ímpar, e consequentemente não poderá ser escrita como $2x,$ para nenhum valor inteiro $x.$

Na verdade, com pouca ou nenhuma argumentação extra, prova-se a validade do seguinte teorema

Teorema

Teorema

Um número inteiro $n$ pode ser escrito como a diferença de dois quadrados perfeitos, $n=x^{2}-y^{2},$ se e somente se $n$ é ímpar ou múltiplo de $4.$

Demonstração

A argumentação precedente mostrou que se

n=x^{2}-y^{2}

então

n=u\cdot v,

sendo que

u,v

têm a mesma paridade.

Reciprocamente, se $u,v$ têm a mesma paridade, então sua soma e sua diferença são números pares, significando que o sistema

\left\{{\begin{matrix}2x&=&u+v\\2y&=&u-v\\\end{matrix}}\right.

possui uma solução. Mas o conjunto solução deste sistema coincide com o de:

\left\{{\begin{matrix}x+y&=&u\\x-y&=&v\\\end{matrix}}\right.

Logo, $n=u\cdot v=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}.$

Para finalizar a demonstração, note que as paridades de $u,v$ são iguais se, e somente se:

$u,v$ são ímpares ou
$u,v$ são pares

Mas $u,v$ são ímpares se, e somente se, $n$ é ímpar. Além disso, para que $u,v$ sejam pares, é necessário e suficiente que $u=2r$ e $v=2s.$ Neste caso, $n=u\cdot v=(2r)\cdot (2s)=4(rs),$ ou seja, $n$ é múltiplo de $4.$

Uma forma direta de obter a representação de $n$ como diferença de quadrados é a seguinte:

Se $n$ é múltiplo de $4.$

Nessa situação,

n=4k=(k+1)^{2}-(k-1)^{2}.

Se $n$ é ímpar.

Nesse caso,

n=2k+1=(k+1)^{2}-k^{2}.

Exemplo

Com esse resultado, conclúi-se que não há solução para o problema dado em um exemplo anterior:

$x^{2}-y^{2}=30$

De fato, $30$ não é ímpar e nem múltiplo de $4.$

Por outro lado, usando a fórmula anterior, fica fácil resolver:

$x^{2}-y^{2}=32$

Como $32=4\cdot 8,$ segue que $32=(8+1)^{2}-(8-1)^{2}=81-49$

Ternos pitagóricos

Um pouco de história

Pitágoras foi um matemático e filósofo grego nascido por volta de 570 a.C., na ilha de Samos. Ele é creditado pela demonstração de uma importante relação entre os lados de um triangulo retângulo, hoje conhecida como o teorema de Pitágoras, cujo enunciado é geralmente resumido da seguinte forma:

O quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os outros dois lados.

Um terno pitagórico é uma tripla de números inteiros $x,y,z$ que satisfazem a equação:

x^{2}+y^{2}=z^{2}

Por exemplo, $3^{2}+4^{2}=5^{2},$ então $3,4,5$ é um terno pitagórico. Obviamente, $0,0,0$ também é um terno pitagórico, mas este último caso é trivial e sem interesse, portanto não será considerado na discussão que segue. O objetivo dessa seção é determinar em que circunstâncias a equação $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ tem solução $x,y,z$ não trivial (não todos nulos).

É possível simplificar a investigação, considerando somento o caso em que $x,y,z$ são primos entre si. De fato, se $x=dx',y=dy',z=dz'$ então:

(dx')^{2}+(dy')^{2}=(dz')^{2}\Leftrightarrow x'^{2}+y'^{2}=z'^{2}

Na verdade, se $x,y,z$ for uma solução, então o máximo divisor comum destes números verifica as seguintes igualdades:

(x,y,z)=(x,y)=(x,z)=(y,z)

Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa neste módulo.

Em particular, não pode haver $x,y$ não podem ser ambos pares.

Por outro lado, os inteiros $x,y$ também não podem ser ambos ímpares.

De fato, se assim ocorresse, valeria:

$x=2a+1,$ para algum inteiro $a$
$y=2b+1,$ para algum inteiro $b$

Deste modo, elevando cada um destes números ao quadrado, resultaria:

$x^{2}=(2a+1)^{2}=4a^{2}+4a+1$ e
$x^{2}=(2b+1)^{2}=4b^{2}+4b+1$

Donde:

$x^{2}+y^{2}=(2b+1)^{2}=(4a^{2}+4a+1)+(4b^{2}+4b+1)=4k+2$

Ou seja, a soma dos quadrados de

x

e

y

seria par, mas não pertenceria a

4\mathbb {Z} .

No entanto, sempre que

z^{2}

é par, tem-se

z

par e consequentemente

z^{2}\in 4\mathbb {Z} .

Logo, quando

x,y

são ambos ímpares, a soma de seus quadrados não pode ser um quadrado perfeito.

Segue que dos inteiros $x,y,$ um é ímpar e outro é par. Sem perda de generalidade, pode-se supor que $x$ é par e $y$ é ímpar.

Uma outra forma de escrever a equação original é:

x^{2}=z^{2}-y^{2}=(z+y)(z-y)

A partir daí, pode-se deduzir outras informações sobre os inteiros que a satisfazem. Por exemplo, $(z+y,z-y)=1,$ pois:

d|z+y,z-y\Rightarrow d|2z,2y\Rightarrow d|2

A segunda implicação vale pois $(z,y)=1.$ Logo, $d\leq 2.$

Mas não pode ocorrer $d=2,$ senão:

2|z+y

e como $y$ é par, $z$ também seria, coisa que não é possível já que $(z,y)=1.$

Assim, o quadrado perfeito $x^{2}$ é o produto de dois números primos entre si. Disso decorre que cada um deles deve ser um quadrado perfeito (veja o exercício 1), ou seja:

\left\{{\begin{matrix}z+y&=&u^{2}\\z-y&=&v^{2}\end{matrix}}\right.

que equivale a:

\left\{{\begin{matrix}2z&=&u^{2}+v^{2}\\2y&=&u^{2}-v^{2}\end{matrix}}\right.

Portanto, quando três números inteiros primos entre si (e não todos nulos) satizfazem a equação:

x^{2}+y^{2}=z^{2}

devem existir inteiros $u,v,$ ímpares e primos entre si, tais que $u>v$ e:

\left\{{\begin{matrix}x&=&uv\\y&=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2}}\\z&=&{\frac {u^{2}+v^{2}}{2}}\end{matrix}}\right.

Claramente, para quaisquer inteiros $u,v,$ os valores de $x,y,z$ obtidos pelas fórmulas acima são ternos pitagóricos, pois:

(uv)^{2}+({\frac {u^{2}-v^{2}}{2}})^{2}={\frac {2u^{2}v^{2}+(u^{2}-v^{2})^{2}}{2}}={\frac {u^{2}+v^{2}}{2}}

Exemplos

Pode-se obter facilmente uma dezena de ternos pitagóricos utilizando as fórmulas:

\left\{{\begin{matrix}x&=&uv\\y&=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2}}\\z&=&{\frac {u^{2}+v^{2}}{2}}\end{matrix}}\right.

Alguns deles são listados na tabela a seguir:

parâmetros		ternos pitagóricos
$u$	$v$	$x$	$y$	$z$
3	1	3	4	5
5	1	5	12	13
7	1	7	24	25
9	1	9	40	41
5	3	15	8	17
7	3	21	20	29

Note ainda que toda solução é da forma:

4UV+(U-V)=(U+V)^{2}

onde:

\left\{{\begin{matrix}U&=&u^{2}\\V&=&v^{2}\\\end{matrix}}\right.

Observações

Wikipedia

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:

Terno pitagórico

A fórmula clássica para a obtenção de ternos pitagóricos é conhecida como Fórmula de Euclides, por ter sido apresentada nos Elementos de Euclides é a seguinte: