Otimização/Elementos de análise convexa

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Convexo

Definição

Dizemos que um conjunto $D\in \mathbb {R} ^{n}$ é convexo quando $z(\alpha )=(1-\alpha )x+\alpha y\in D,\forall \;x,y\in D,\forall \;\alpha \in [0,1]$, onde $z(\alpha )\;$ é a combinação convexa de $x,y\;$.

Teorema

Sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n},f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ um conjunto convexo e uma função diferenciável em ${\bar {x}}\in D$. Seja também ${\bar {x}}\in$ $M(f,D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}))\;$.

Função Convexa

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,D\subset \mathbb {R} ^{n}$

Definição

Dizemos que uma função f é convexa se $f((1-\alpha )x+\alpha y)\leq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y),\forall \;x,y\in D,\forall \;\alpha \in [0,1]$.

Definição

Dizemos que uma função f é estritamente convexa se $f((1-\alpha )x+\alpha y)<(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y),\forall \;x,y\in D,x\not =y,\forall \;\alpha \in \;]0,1[$.

Definição

Dizemos que uma função f é $\lambda \;-$ fortemente convexa se $f((1-\alpha )x+\alpha y)\leq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)-\lambda \alpha (1-\alpha )\|x-y\|^{2},\forall \;x,y\in D,\forall \;\alpha \in [0,1]$.

Definição

Dizemos que o epígrafo da função f é $E_{f}=\{(x,c)/x\in D,c\in \mathbb {R} ,f(x)\leq c\}$ .

Teorema

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,D\in \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto convexo.

Teorema da minimização convexa

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,D\in \mathbb {R} ^{n}$ ambos convexos.

Função Concava

Definição

Uma função $f\;$ é chamada concava se $(-f)\;$ é convexa em $D\;$ convexa, onde $f:D\rightarrow \mathbb {R} \;{\mbox{e}}\;D\subset \mathbb {R} ^{n}$