- Definição
é o conjuntos dos minimizadores de f em D, locais e globais.
- Definição
Dizer que
significa que o conjuntos dos minimizadores de f em D possui um mínimo e ele é global.
- Definição
Seja
, onde
é chamado valor ótimo do problema e é um mínimo global.
Seja
contínua em D compacto.
Então
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Suponha que f é ilimitada inferiormente, então
. Por outro lado, D é compacto e
. Como D é limitado, logo a
é limitada. Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. Assim
possui uma subsequência convergênte
, tal que
. Assim
. Absurdo.
, pela definição de ínfimo, dado
tal que
.
Curva de nível
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- Definição
Seja 
Sejam
contínua em D. Se
é compacto.
Então
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Prova: Pelo Teorema de Weierstrass
, isto é,
).
Mas se
. Assim
, isto é,
.
- Definição

é fechado.
Então
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Tome
. É facil ver que
. Agora dado
. Assim
é contínua.
Por outro lado,
. Visto que
são fechados, temos que
é também fechado. Além disso, sendo
limitado, segue que
é também limitado e conseqüentemente compacto. Como
é compacto.
Vimos que
é contínua e
é compacto.. Tomando-se
suficientemente grande, de tal forma que
. Pelo corolário da curva de nível,
.
Mas
Seja
e
Mostrar que
.[editar | editar código-fonte]
Suponhamos que
é ilimitado para um
tal que
. Se
, isto é, dado
. (...)