- Definição
é o conjuntos dos minimizadores de f em D, locais e globais.
- Definição
Dizer que
significa que o conjuntos dos minimizadores de f em D possui um mínimo e ele é global.
- Definição
Seja
, onde
é chamado valor ótimo do problema e é um mínimo global.
Seja
contínua em D compacto.
Suponha que f é ilimitada inferiormente, então
. Por outro lado, D é compacto e
. Como D é limitado, logo a
é limitada. Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. Assim
possui uma subsequência convergênte
, tal que
. Assim
. Absurdo.
, pela definição de ínfimo, dado
tal que
.
- Definição
Seja ![{\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} ,c\in \mathbb {R} ,L_{f,D}(c)=\{x\in D;f(x)\leq c\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56721058327a6b8b277f95eed64d1b7d8560459a)
Sejam
contínua em D. Se
é compacto.
Prova: Pelo Teorema de Weierstrass
, isto é,
).
Mas se
. Assim
, isto é,
.
- Definição
![{\displaystyle P_{D}(y)={\bar {x}}\Leftrightarrow \inf _{x\in D}\|x-y\|=\|{\bar {x}}-y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ececabb06cced0b3dba0a3ba09610e034fbd2b)
é fechado.
Então ![{\displaystyle P_{D}(y)\not =\emptyset ,\forall \;y\in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2a779b8b40a65877946e9718cd29439dbb64cc)
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Tome
. É facil ver que
. Agora dado
. Assim
é contínua.
Por outro lado,
. Visto que
são fechados, temos que
é também fechado. Além disso, sendo
limitado, segue que
é também limitado e conseqüentemente compacto. Como
é compacto.
Vimos que
é contínua e
é compacto.. Tomando-se
suficientemente grande, de tal forma que
. Pelo corolário da curva de nível,
.
Mas
Seja
e
Suponhamos que
é ilimitado para um
tal que
. Se
, isto é, dado
. (...)