Cálculo (Volume 2)/Geometria tridimensional/Vetores no espaço

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Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III


Definição[editar | editar código-fonte]

Seja um representante do conjunto de números reais enumerados de forma a identificar um dos valores em uma das dimensões do espaço, chamamos cada um destes elementos de componente.

Definimos o vetor como o conjunto de componentes que definem um ponto em um sistema de coordenadas cartesianas tais que sejam identificados por , até n dimensões que possam ser expressas.

Representação[editar | editar código-fonte]

OrderedLineSegment.png

A representação de um vetor é comumente feita através de um segmento de reta com uma seta em uma das extremidades, o que indica o sentido em que o vetor evolui. A distância entre as duas extremidades é dada como a quantidade, amplitude, módulo que o vetor apresenta, enquanto que a sua inclinação informa a direção do mesmo.

Apresentação de valores[editar | editar código-fonte]

Dados dois pontos no espaço, e , representados por e podemos representá-los sob a forma de um vetor efetuando a seguinte operação:


Conceituação

Considerando que o ponto seja um vetor com relação à origem e o ponto esteja unidades distantes do anterior, podemos dizer que os componenetes dos vetores são e os de são , temos que:


e

Sendo e vetores, também é a representação de um vetor, resultante da operação dos dois primeiros.


Norma

O vetor se apresenta como um conjunto de coordenadas que definem-se nos eixos como triângulos retângulos, podendo ser operados de forma a encontrar parâmetros que nos sejam úteis, um deles é a norma. Se queremos fazer uso do valor numérico associado à magnitude da grandeza expressa pelo vetor podemos calcular a norma ou módulo, que constitui um valor absoluto desta grandeza, para isto usamos a relação quadrática:


O versor

Cada vetor tem sua propriedade fundamental de informação sobre direção e sentido como algo particular, por isso se quisermos obter um vetor que contenha apenas a informação sobre estas duas propriedades devemos calcular o versor do vetor.

O versor é um vetor unitário que contém a informação relativa espacial das propriedades de direção e sentido, ele pode ser calculado da seguinte forma:

Se é o versor de , então:


Isto se evidencia por:


Versores primários

Os versores são úteis para diversas operações que veremos mais adiante, alguns versores específicos têm um papel fundamental para o sistema de coordenadas e para a representação de vetores no espaço. Os versores primários são três vetores especificamente alocados nos eixos, o que nos permite uma forma particular de referenciar vetores num sistema tridimensional, são eles:

Operando os vetores de forma a separar cada componente, podemos dizer que o vetor , pode ser referenciado e operado na forma:


O que poderemos constatar futuramente que é muito conveniente para certas operações algébricas.

Adição[editar | editar código-fonte]

Vector addition.png

Acima apresentamos uma síntese do que já conhecemos acerca da adição de dois vetores, o que nos resta é provar que isto é verdadeiro... A decomposição dos vetores em seus componentes horizontais e verticais, nos revela componentes de triângulos retângulos, nos quais podemos observar claramente a propriedade da adição dos vetores.

Observemos o gráfico:

Adição de vetores
. . Podemos verificar que:

e que:

assim como:

.

Logo temos que, dados dois vetores:

a sua adição resulta em:

 

Expandindo para a forma tridimensional temos:


Subtração[editar | editar código-fonte]

Vector subtraction.png

Da mesma forma que no caso anterior temos a subtração como já aprendemos, também podemos demonstrar esta propriedade usando a decomposição em triângulos retângulos:

Observemos o gráfico:

Subtração de vetores
. . Podemos verificar que:

e que:

assim como:

.

Logo temos que, dados dois vetores:

a sua subtração resulta em:

 

Expandindo para a forma tridimensional temos:


Multiplicação por escalares[editar | editar código-fonte]

Definimos que se expressando apenas valor numérico, então o denominamos escalar.

O produto de um escalar por um vetor é encontrado pela notação:

que operamos:

onde:

  • é o vetor resultante;
  • é o vetor parâmetro original;
  • é o escalar.

Esta operação pode ser observada graficamente como abaixo podemos observar abaixo:

Scalar multiplication of vectors.png

Note que todos os vetores gerados pela multiplicação por escalares são paralelos ao original, quando multiplicamos um vetor por temos uma inversão de sentido e qualquer valor de escalar diferente de altera a magnitude do vetor.


Propriedades do produto por escalares[editar | editar código-fonte]

Nas operações abaixo notamos: vetores em além de escalares.

Propriedade Operação
Elemento neutro da adição
Comutativa da adição
Associativa da adição
Elemento oposto da adição
Associativa da multiplicação por escalares
Distributiva (escalar para vetores)
Distributiva (vetor para escalares)
Elemento neutro da multiplicação por escalares