Cálculo (Volume 2)/Geometria tridimensional/Vetores no espaço
Definição
[editar | editar código-fonte]Seja um representante do conjunto de números reais enumerados de forma a identificar um dos valores em uma das dimensões do espaço, chamamos cada um destes elementos de componente.
Definimos o vetor como o conjunto de componentes que definem um ponto em um sistema de coordenadas cartesianas tais que sejam identificados por , até n dimensões que possam ser expressas.
Representação
[editar | editar código-fonte]A representação de um vetor é comumente feita através de um segmento de reta com uma seta em uma das extremidades, o que indica o sentido em que o vetor evolui. A distância entre as duas extremidades é dada como a quantidade, amplitude, módulo que o vetor apresenta, enquanto que a sua inclinação informa a direção do mesmo. |
Apresentação de valores
[editar | editar código-fonte]Dados dois pontos no espaço, e , representados por e podemos representá-los sob a forma de um vetor efetuando a seguinte operação:
- Conceituação
Considerando que o ponto seja um vetor com relação à origem e o ponto esteja unidades distantes do anterior, podemos dizer que os componenetes dos vetores são e os de são , temos que:
e
Sendo e vetores, também é a representação de um vetor, resultante da operação dos dois primeiros.
- Norma
O vetor se apresenta como um conjunto de coordenadas que definem-se nos eixos como triângulos retângulos, podendo ser operados de forma a encontrar parâmetros que nos sejam úteis, um deles é a norma. Se queremos fazer uso do valor numérico associado à magnitude da grandeza expressa pelo vetor podemos calcular a norma ou módulo, que constitui um valor absoluto desta grandeza, para isto usamos a relação quadrática:
- O versor
Cada vetor tem sua propriedade fundamental de informação sobre direção e sentido como algo particular, por isso se quisermos obter um vetor que contenha apenas a informação sobre estas duas propriedades devemos calcular o versor do vetor.
O versor é um vetor unitário que contém a informação relativa espacial das propriedades de direção e sentido, ele pode ser calculado da seguinte forma:
Se é o versor de , então:
Isto se evidencia por:
- Versores primários
Os versores são úteis para diversas operações que veremos mais adiante, alguns versores específicos têm um papel fundamental para o sistema de coordenadas e para a representação de vetores no espaço. Os versores primários são três vetores especificamente alocados nos eixos, o que nos permite uma forma particular de referenciar vetores num sistema tridimensional, são eles:
Operando os vetores de forma a separar cada componente, podemos dizer que o vetor , pode ser referenciado e operado na forma:
O que poderemos constatar futuramente que é muito conveniente para certas operações algébricas.
Adição
[editar | editar código-fonte]Acima apresentamos uma síntese do que já conhecemos acerca da adição de dois vetores, o que nos resta é provar que isto é verdadeiro... A decomposição dos vetores em seus componentes horizontais e verticais, nos revela componentes de triângulos retângulos, nos quais podemos observar claramente a propriedade da adição dos vetores.
Observemos o gráfico:
. . | Podemos verificar que:
e que:
assim como: . |
Logo temos que, dados dois vetores:
a sua adição resulta em:
Expandindo para a forma tridimensional temos:
Subtração
[editar | editar código-fonte]Da mesma forma que no caso anterior temos a subtração como já aprendemos, também podemos demonstrar esta propriedade usando a decomposição em triângulos retângulos:
Observemos o gráfico:
. . | Podemos verificar que:
e que:
assim como: . |
Logo temos que, dados dois vetores:
a sua subtração resulta em:
Expandindo para a forma tridimensional temos:
Multiplicação por escalares
[editar | editar código-fonte]Definimos que se expressando apenas valor numérico, então o denominamos escalar.
O produto de um escalar por um vetor é encontrado pela notação:
que operamos:
onde:
- é o vetor resultante;
- é o vetor parâmetro original;
- é o escalar.
Esta operação pode ser observada graficamente como abaixo podemos observar abaixo:
Note que todos os vetores gerados pela multiplicação por escalares são paralelos ao original, quando multiplicamos um vetor por temos uma inversão de sentido e qualquer valor de escalar diferente de altera a magnitude do vetor.
Propriedades do produto por escalares
[editar | editar código-fonte]Nas operações abaixo notamos: vetores em além de escalares.
Propriedade | Operação |
---|---|
Elemento neutro da adição | |
Comutativa da adição | |
Associativa da adição | |
Elemento oposto da adição | |
Associativa da multiplicação por escalares | |
Distributiva (escalar para vetores) | |
Distributiva (vetor para escalares) | |
Elemento neutro da multiplicação por escalares |