Cálculo (Volume 2)/Geometria tridimensional/Sistemas de coordenadas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III

Coordenadas retangulares

Um sistema de referência consiste em um ponto de orígem, direção e sentido, isto pode ser obtido de diversas formas, como já tivemos oportunidade de estudar anteriormente, porém, o sistema de coordenadas cartesianas é o mais próximo do mundo real, ele nos permite observar as formas da maneira mais aproximada possível do nosso modo de ver o universo.

Com base nestes princípios, imaginemos que o nosso universo é uma linha, ou seja, imagine se não pudéssemos enxergar mais que uma direção e dois sentidos, então nessa linha teríamos um ponto de partida, ao qual chamamos de orígem, ao passo que temos dois lados para ir, adotamos a convenção em que o sinal nos informa o sentido em que caminhamos, para a direita -> +, para a esquerda -> -, cada ponto sobre a reta tem uma distância da orígem, à qual chamamos amplitude, ou módulo... desta forma, temos o nosso sistema bem caracterizado. Um sistema de referência como tal é chamado de sistema em uma dimensão, porém não é algo muito útil, no entanto se adicionarmos mais uma reta na orígem, formando um ângulo reto com a reta anterior, poderemos referenciar uma segunda direção, agora temos um sistema em duas dimensões, que nos permite localizar um ponto acima e abaixo, além da direita ou esquerda... Se fizermos a mesma analogia e colocarmos uma terceira reta sobre a orígem do sistema anterior, fazendo um ângulo reto com ambas as retas anteriores, poderemos localizar um objeto para frente ou para trás, além de acima ou abaixo e além da direita e esquerda, então teremos um sistema em três dimensões.

A convenção mais usada nos sistemas de referência, estabelece que os sentidos: Para frente, para a direita e para cima são positivos e os seus opostos são negativos.

Um sistema de coordenadas tridimensionais pode ser obtido através desta estrutura de três eixos que se interceptam em um único ponto, ao qual chamamos de orígem e que também marca uma distinção angular entre os eixos, fazendo com que cada um seja reto em relação aos vizinhos. Nos sentidos positivos coloca-se uma seta para indicar a progressão crescente dos valores. Num sistema como este cada eixo recebe o nome associado a variável que é expressa, ou seja, $(x,y,z)\,\!$, que representam as três direções do sistema.

Localização de pontos

Agora observe o sistema acima, nele podemos observar a distribuição das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à altura é convencionado como eixo $z\,\!$, o horizontal, correspondente à largura é convencionalmente chamado de eixo $x\,\!$, enquanto que o último, na diagonal, correspondente à profundidade, é chamado de eixo $y\,\!$, cada segmento de eixo partindo da orígem gera um octante, visto que o sistema tem oito subplanos partindo da origem.

A tripla ordenada no formato $(x,y,z)\,\!$, corresponde a um único ponto no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos eixos, da seguinte forma:

Se desejarmos encontrar o ponto $(3,0,5)\,\!$ localizamos o valor 3 no eixo $x\,\!$, depois o zero no eixo $y\,\!$, estes dois valores determinam uma linha sobre o eixo $x\,\!$, depois localizamos o valor 5 no eixo $z\,\!$ e traçamos uma subreta paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, no lado oposto ao eixo $z\,\!$ na direção da subreta está o ponto.

Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto $(-5,-5,7)\,\!$ localizamos o valor -5 no eixo $x\,\!$, depois o -5 no eixo $y\,\!$, estes dois valores determinam um plano sobre os eixos $x\,\!$ e $y\,\!$, depois localizamos o valor 7 no eixo $z\,\!$ e traçamos um subplano paralelo ao plano anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo $z\,\!$, na direção do encontro das duas subretas que definem o plano, está o ponto.

Planos primários

Definimos planos primários como o conjunto de pontos sobre o gráfico que estão eqüidistantes dos planos formados por qualquer combinação de dois eixos.

Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por exemplo:

• $(a,y,z)\,\!$ ou,
• $(x,a,z)\,\!$ ou,
• $(x,y,a)\,\!$.

Onde $a\,\!$ é uma constante.

Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi definido.

Distância entre pontos

Em um sistema bidimensional temos a distância entre dois pontos definida como:

$D2_{ab}={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}\,\!$

Para um sistema tridimensional a analogia segue o mesmo raciocínio, o que nos revela a seguinte fórmula:

$D3_{ab}={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}+(z_{b}-z_{a})^{2}}}\,\!$

Comprovação:

No plano $xy\,\!$ a distância entre os dois pontos do subplano $(x,y,0)\,\!$ é $D2_{ab}\,\!$, para obter a distância no espaço, precisamos encontrar a distância $xy\to z\,\!$., mais precisamente a distância do ponto extremo, resultante do encontro dos valores de $x\,\!$ e $y\,\!$, com o valor em $z\,\!$. Esta distância $xy\,\!$ corresponde a $D2_{ab}\,\!$, logo:

$D3_{ab}={\sqrt {\left(D2_{ab}\right)^{2}+(z_{b}-z_{a})^{2}}}\,\!$

O que define o seu valor após a substituição de $D2_{ab}\,\!$, resultando na fórmula definida anteriormente.

A esfera

Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos centro. Considerando que as coordenadas de qualquer ponto são $(x,y,z)\,\!$ e que podemos especificar um ponto de coordenadas $(h,k,l)\,\!$, a distância entre os pontos é:

$D3_{ab}={\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}}}\,\!$

Definimos $D3_{ab}=R\,\!$, que é o raio da esfera, conseqüentemente:

$R^{2}=(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}\,\!$

Quaisquer conjuntos de pontos que constituem uma esfera também são delimitadores de um espaço no interior da mesma que gera um volume, o qual pode ser calculado pelo cálculo de volumes com a técnica de secionamento por lâminas paralelas que vimos no livro Cálculo (Volume 1).

Coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas será importantes nos estudos adiante, ele pode ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração múltipla. Este sistema foi concebido a partir da definição das coordenadas polares, em segunda instância, pode-se pensar nele como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço tridimensional.

Basicamente o sistema é composto por um subsistema polar na base de um cilindro circular, as coordenada são: $(\rho ,\phi ,z)\,\!$

Basicamente, a distância da orígem a projeção do ponto $P\,\!$ sobre a base, que aparece como $Q\,\!$, é $\rho \,\!$, enquanto que a altura relativa do ponto à base, que aparece como ${\overline {QP}}\,\!$, podemos verificar que é $z\,\!$.

Definimos um ponto no espaço através da relação polar da base do cilindro, o que nos fornece as duas primeiras ordenadas, depois adicionamos a altura do ponto em relação a base que é a terceira ordenada. O sentido de rotação do ângulo na base é o mesmo usado para coordenadas polares, o que determina o sinal do ângulo.

Podemos fazer a transformação de uma coordenada retangular em cilindrica através das relações:

• $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}\,\!$
• $\phi =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}$
• $z=z\,\!$

Da mesma forma, podemos definir as relações inversas, que nos dão os parâmetros de uma coordenada retangular a partir de uma coordenada cilíndrica:

• $x=\rho \cos(\phi )\,\!$
• $y=\rho \ {\mbox{sen}}(\phi )\,\!$
• $z=z\,\!$

Coordenadas esféricas

Mais uma versão adaptada do modelo de coordenadas polares, definido em termos mais globais como a medida de um raio de uma esfera e dos ângulos internos deste raio em relação aos eixos. As coordenadas são compostas pela tripla ordenada $(r,\theta ,\varphi )\,\!$

O sistema representa a coordenada através do raio esférico da membrana que virtualmente conteria o ponto no espaço e de dois ângulos, suficientes para identificar a posição do mesmo em relação aos eixos principais.

O espaço pode ser visto como um conjunto de esferas concêntricas, onde o raio serve como delimitador máximo da superfície de cada esfera e os ângulos determinam a localização exata dos pontos sobre a superfície.

A regra de transformação de coordenadas esféricas em retangulares pode ser descrita desta forma:

• $x=r\ {\mbox{sen}}(\varphi )\cos(\theta )$
• $y=r\ {\mbox{sen}}(\varphi )\ {\mbox{sen}}(\theta )$
• $z=r\ \cos(\varphi )$

Para encontrar as coordenadas esféricas a partir das suas correspondentes retangulares usamos as seguintes fórmulas:

• $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,\!$
• $\theta ={\mbox{arctg}}\left({\frac {y}{x}}\right)$
• $\varphi ={\mbox{arctg}}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)$