Cálculo (Volume 1)/Aplicações das integrais

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo II

A integração na prática

Neste capítulo finalizamos o primeiro livro desta série do estudo do Cálculo, teremos agora a noção da quase infinita gama de utilizações que podemos fazer com a integração, que é uma das ferramentas de estudo algébrico e numérico mais frutíferas dentro da matemática, a integração fornece meios de calcular e avaliar diversos problemas complexos. Das aplicações da integração teremos uma amostra das mais obviamente concebíveis, iniciaremos o estudo de áreas em superfícies planas delimitadas por curvas, depois calcularemos volumes de objetos curvos, determinar a pressão que um líquido exerce sobre objetos curvos nele mergulhados e poderemos também, calcular comprimentos de curvas definidas for funções em um gráfico de coordenadas cartesianas.

Áreas

Talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais, mas faremos algumas considerações sobre o estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante o processo de análise dos valores.

Como conseqüência direta da definição da integral temos a área sob da curva a ser integrada e o eixo das abscissas $x\,\!$ , seja a função $f(x)\,\!$ , considerando que a mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato de este sinal ser determinante para o processo de somatórias consecutivas, próprio da integral definida, devemos considerar no cálculo a possibilidade da diminuição de valores no caso de haver áreas com valores negativos.

Sinais

Da definição da integral de Riemann temos:

$\int _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x=\lim _{\left\|\Delta \right\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_{i}){\Delta }_{i}x\,\!$

Obviamente, ${\Delta }_{i}x\,\!$ pode ser estabelecido e pode ser tomado como positivo se fizermos $b>a\,\!$ , logo nos resta:

$\lim _{\left\|\Delta \right\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_{i})\,\!$

Que é arbitrário pois depende da função $f({\xi }_{i})\,\!$ , o que nos leva a concluir que o sinal da função determina o sinal da integral, ou seja, embora o módulo da integral represente a área delimitada pela curva e o eixo das abscissas, o seu valor relativo pode não expressar apenas valores positivos, o que nos indica que temos que analisar o sinal da função antes de calcular qualquer área através da integração.

Calculando as áreas

Consideremos o caso da função:

$f(x)=sen(x)\,\!$

Os valores do seno entre $0\,\!$ e $\pi \,\!$ são positivos e entre $\pi \,\!$ e $2\pi \,\!$ são negativos! Isto causa uma situação interessante, uma vez que as áreas entre a curva e o eixo $x\,\!$ dos dois intervalos, quando observadas no plano cartesiano, são identicas, a área das duas deveria ser o dobro de uma delas, entretanto a integral calculada no intervalo entre $0\,\!$ e $2\pi \,\!$ é nula! Esta é a razão pela qual devemos fazer o módulo das integrais em cada intevalo de mudança de sinal, para que os valores das áreas nestes intervalos não se subtraiam, provocando erro no cálculo.

Devemos verificar os intervalos onde a função se torna negativa e inverter o sinal antes de efetuar a soma de áreas em cada intervalo, assegurando assim o correto valor do total de unidades quadradas de área, delimitadas pela curva e o eixo $x\,\!$ .

No caso da função acima, teremos:

$A=\left|\int _{0}^{\pi }sen(x)dx\right|+\left|\int _{\pi }^{2\pi }sen(x)dx\right|\,\!$

Sob diversas situações devemos verificar o comportamento do gráfico, para que possamos determinar a melhor maneira de calcular a área, no caso de áreas delimitadas por duas curvas podemos determinar a área de cada curva em relação ao eixo e verificar o comportamento das curvas no gráfico para determinar a forma de calcular. Na seção subseqüente veremos como determinar a área delimitada por duas curvas.

Exemplo 1

Sejam duas funções:

$y_{1}=x^{2}\,\!$

$y_{2}=3x\,\!$

Vamos calcular a área da região delimitada pelas curvas entre as suas interseções. O gráfico abaixo representa as funções e a área que desejamos calcular, a qual chamamos de A:

Inicialmente verifiquemos os pontos onde as funções se encontram, ou seja, os pontos onde $y_{1}=y_{2}\,\!$ :

$x^{2}=3x\,\!$

Se $x\neq 0\Longrightarrow x=3\,\!$

Se $x=0\,\!$ em ambas as funções $y=0\,\!$ .

Condições que nos revela o intervalo entre:

$(0,0)\,\!$ e $(3,9)\,\!$

Obviamente devemos proceder a subtração entre a área delimitada pela reta e a área delimitada pela parábola, no caso da reta poderíamos ainda fazer a área do triângulo formado pela mesma e o eixo das abscissas, porém façamos todo o processo utilizando integração para que possamos ter um processo universal para o cálculo de áreas desse tipo.

Calculemos as integrais:

$A_{1}=\int _{0}^{3}y_{1}dx\,\!$

$A_{1}=\int _{0}^{3}x^{2}dx\,\!$

$A_{1}=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{3}\,\!$

$A_{1}=\left[{\frac {(3)^{3}}{3}}-{\frac {(0)^{3}}{3}}\right]\,\!$

$A_{1}=9\,\!$

e

$A_{2}=\int _{0}^{3}y_{2}dx\,\!$

$A_{2}=\int _{0}^{3}3xdx\,\!$

$A_{2}=\left[{\frac {3x^{2}}{2}}\right]_{0}^{3}\,\!$

$A_{2}=\left[{\frac {3(3)^{2}}{2}}-{\frac {3(0)^{2}}{2}}\right]\,\!$

$A_{2}=13,5\,\!$

A área que queremos encontrar é:

$A=A_{2}-A_{1}\,\!$

logo:

 $A=4,5\,\!$  unidades quadradas.

Volumes

Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos verificar que muito poucas têm formas regulares, dificilmente poderíamos encontrar o volume de um corpo sólido encontrado comumente na natureza por meio da geometria euclidiana, as curvas são comuns no nosso mundo, muitas delas podem ser determinadas por equações, porém antes que a teoria do Cálculo fosse elaborada os volumes eram calculados por aproximações. Hoje podemos obter muitos dos volumes de corpos sinuosos pelo Cálculo, os métodos descritos a seguir são os mais básicos para curvas que podem ser determinadas matematicamente, no decorrer dos próximos volumes aprenderemos a calcular formas mais complexas. Por hora, os cálculos que aqui serão apresentados já fornecem uma gama de aplicações bem ampla no nosso mundo onde a indústria usa cada vez mais curvas em seus produtos, obviamente teremos curvas matematicamente determináveis para estes casos, uma vez que o homem geralmente usa métodos de computação para criar seus produtos hoje em dia.

Curvas rotacionadas

Imaginemos que tenhamos uma curva matematicamente determinável, uma parábola, por exemplo, e tenhamos a área delimitada pela mesma e o eixo x, se fizermos com que o eixo y servisse de mastro e girassemos a parábola em torno do mesmo, o que teríamos? Teríamos um sólido formado pelas infinitas lâminas em forma de parábola.

O efeito da rotação de uma parabola pode ser visualizada pelo gráfico tridimensional, o que vemos é o que chamados de parabolóide, um sólido semelhante ao recipiente de líquido de uma taça. Considerando a parte interna preenchida teremos um volume a ser calculado, o que podemos fazer utilizando o "Cálculo".

O efeito da rotação de uma elipse pode ser visualizada da mesma forma, o que nos possibilita ver o que chamados de elipsóide, um sólido semelhante a um ovo de réptil. O volume a ser calculado também pode ser conseguido através do "Cálculo".

Sólidos delimitados por uma curva

O método para cálculo de volumes delimitados por curvas rotacionadas, como expostas acima, consiste na divisão do sólido em discos com raio igual ao valor da função que está sendo rotacionada, ou seja, para cada ponto da função teremos um disco de raio determinado pela mesma, o que nos permite fazer uma somatória de discos que acompanham o contorno da curva, vejamos o desenho abaixo:

Temos a função variando ao longo do eixo x, o que nos permite dizer que uma reta perpendicular ao eixo que passa por um ponto do gráfico é um raio de um disco... Em um intervalo $[a,b]\,\!$ onde $a\leq x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq x_{4}\leq x_{5}\dots \leq b\,\!$ , no qual $f(x_{n})\geq 0\,\!$ , agrupemos pares de valores nas abscissas, de forma que o valor médio da função seja $f(\xi _{n})\,\!$ . Tomando cada disco com um volume aproximado de:

$V_{d}(\xi _{i})=\pi [f(\xi _{i})]^{2}\Delta _{i}x\,\!$

Considerando que a precisão do cálculo aumenta quando os discos se tornam menos espessos, temos que admitir que existe uma norma de partição que pode ser definida para o intervalo que pretendemos calcular, portanto podemos fazer:

$V=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}V_{d}(\xi _{i})\,\!$

Onde temos um volume de disco para cada ponto da curva e a norma pode ser inversamente proporcional ao número n. Logo, verificamos que:

$V=\int _{a}^{b}\pi [f(x)]^{2}dx\,\!$

ou

$V=\pi \int _{a}^{b}[f(x)]^{2}dx\,\!$

O intervalo $[a,b]\,\!$ refere-se a uma parte do sólido, da qual queremos calcular o volume.

Exemplo 2

Calcular o volume do sólido de revolução criado pela rotação da parábola $y=x^{2}\,\!$ em torno do eixo das abscissas, no intervalo $[0,3]\,\!$ .

Aplicando a fórmula anteriormente vista temos:

$V=\pi \int _{0}^{3}\left(x^{2}\right)^{2}dx\,\!$

$V=\pi \int _{0}^{3}x^{4}dx\,\!$

$V=\pi \left.{\frac {x^{5}}{5}}\right|_{0}^{3}\,\!$

$V=\pi \left({\frac {3^{5}}{5}}\right)\,\!$

O volume é:

 $V\approx 152,68\,\!$  unidades cúbicas.

Sólidos delimitados por duas curvas

Agora podemos definir um sólido "oco", ou seja, para que um sólido tenha uma abertura devemos delimitar uma face externa e outra interna, o que nos pede que tenhamos uma curva para cada face.

Para a determinação das duas faces considere as duas funções $f(x)\,\!$ e $g(x)\,\!$ sendo que, para determinar o sólido de forma regular, estabelecemos o seguinte conjunto de regras:

$f(x)\quad \geq \quad 0\,\!$
$g(x)\quad \geq \quad 0\,\!$
$f(x)\quad >\quad g(x)\,\!$

Observemos a ilustração a seguir:

Consideremos um corte que nos permita observar uma fatia do sólido, como podemos ver o retângulo que tomamos no centro do desenho representa uma fatia de um disco "oco".

Agora podemos encontrar o volume ocupado pelo sólido, no espaço delimitado pelas duas funções, considerando que as duas sofrem rotação, mantendo o eixo $x\,\!$ como base de rotação, conforme fizemos no caso do tópico anterior com uma função, a única diferença é que temos um volume que deverá ser subtraido do outro.

Segundo o mesmo raciocínio da análise anterior, verificamos que o volume de um disco de seção do sólido no intervalo $[a,b]\,\!$ pode ser determinada como seque:

$V_{d}(\xi _{i})=\pi \{[f(\xi _{i})]^{2}-[g(\xi _{i})]^{2}\}\Delta _{i}x\,\!$

Inevitavelmente vemos a correspondência entre os dois casos, simplesmente há uma subtração de volumes, que veremos refletida no resultado final... Prosseguindo, façamos a somatória dos valores das seções dentro do intervalo $[a,b]\,\!$ quando as parcelas diminuem infinitesimalmente:

$V=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}V_{d}(\xi _{i})\,\!$

Finalmente encontramos o volume:

$V=\int _{a}^{b}\pi \{[f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}\}dx\,\!$

ou

$V=\pi \int _{a}^{b}\{[f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}\}dx\,\!$

Exemplo 3

Calcular o volume do sólido gerado pela rotação das curvas $f(x)=32{\sqrt {x}}\,\!$ e $g(x)=x^{3}\,\!$ em relação ao eixo das abscissas, considerando o intervalo entre $x=0\,\!$ e o ponto de encontro das duas curvas.

Antes de tudo vamos encontrar o ponto de encontro das curvas, ou seja:

$f(x)=g(x)\,\!$

$32{\sqrt {x}}=x^{3}\,\!$

As curvas se encontram quando:

$x=4\,\!$

Devemos encontrar o volume entre as duas curvas no intervalo $[0,4]\,\!$ :

$V=\pi \int _{0}^{4}\left[\left(32{\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{3}\right)^{2}\right]dx\,\!$

$V=\pi \int _{0}^{4}\left(1024x-x^{6}\right)dx\,\!$

$V=\pi \left(512x^{2}-{\frac {x^{7}}{7}}\right)_{0}^{4}\,\!$

$V=\pi \left[512\cdot (4)^{2}-{\frac {(4)^{7}}{7}}\right]\,\!$

Que nos fornece um volume aproximado de:

 $V\approx 18382,81\,\!$  unidades cúbicas.

Cilindros concêntricos

Agora imaginemos um sólido cujo eixo se encontra nas ordenadas, ou seja, para cada ponto da função teremos uma circunferência, se traçarmos uma reta até o eixo das abscissas para cada ponto teremos cilindros concêntricos ao eixo das ordenadas.

Para definir o volume do cilindro consideremos:

O intervalo $[a,b]\,\!$ para a espessura do cilindro em $x\,\!$ ;
Chamamos de $\Delta \,\!$ a partição: $a\leq x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq x_{4}\leq \quad \dots \quad \leq x_{n-1}\leq b\,\!$ ;
Dentro de $\Delta \,\!$ há sempre uma subpartição que é a maior, a qual chamamos de norma, identifincando-a como: $\|\Delta \|\,\!$
Existindo os números $\xi _{i}\,\!$ de forma que $x_{i}\leq \xi _{i}\leq x_{i+1}\,\!$ ;

O volume de um pequeno segmento do cilindro é:

$V(x_{i})=2\pi xf(\xi _{i})\Delta x_{i}\,\!$

Somamos todos os segmentos para encontrar o volume total:

$V=\sum _{i=1}^{n}V(x_{i})\,\!$

Se levarmos os subintervalos entre os valores de $x\,\!$ a números cada vez menores teremos:

$V=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}V(x_{i})\,\!$

ou seja:

$V=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}2\pi xf(\xi _{i})\Delta x_{i}\,\!$

Como podemos fazer:

$n={\frac {b-a}{i}}\,\!$

Concluimos que:

$V=\int _{a}^{b}2\pi xf(x)dx\,\!$

ou

$V=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)dx\,\!$

Exemplo 4

Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da curva $f(x)={\sqrt {x-3}}\,\!$ , cujo eixo de revolução é o eixo das ordenadas, no intervalo $[3,6]\,\!$ das abscissas:

Da fórmula do cálculo temos:

$V=2\pi \int _{3}^{6}x{\sqrt {x-3}}dx\,\!$

Podemos usar a integração por partes e chegar a:

$V=2\pi \left[{\frac {2x}{3}}(x-3)^{\frac {3}{2}}\right]_{3}^{6}-{\frac {2}{3}}\int _{3}^{6}(x-3)^{\frac {3}{2}}dx\,\!$

$V=2\pi \left[{\frac {2x}{3}}(x-3)^{\frac {3}{2}}-{\frac {4}{15}}(x-3)^{\frac {5}{2}}\right]_{3}^{6}\,\!$

$V=2\pi \left[{\frac {2(6)}{3}}(6-3)^{\frac {3}{2}}-{\frac {4}{15}}(6-3)^{\frac {5}{2}}\right]\,\!$

Temos um volume aproximado de:

 $V\approx 104,475\,\!$  unidades cúbicas.

Lâminas paralelas

Os métodos anteriormente utilizados para o cálculo de volumes podem ser englobados em um conceito geral, no qual podemos fazer a soma de pequenos segmentos de um sólido encontrando o volume total, uma forma de fazer isso é utilizar o secionamento de forma a relacionar a área de cada seção à variável independente, ou seja, se temos seções trasversais perpendiculares ao eixo da variável independente e podemos relacionar a área de cada "lâmina" ao valor da variável, temos um meio de integrar todas as lâminas e encontrar o volume do sólido com uma somatória das mesmas.

Considerando:

$A(\xi _{i})\,\!$ área da seção.

O volume é:

$V=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}A(\xi _{i})\Delta x_{i}\,\!$

Uma vez que quando $\|\Delta \|\to 0\,\!$ temos $\Delta x\to 0\,\!$ e que temos seções dentro do intervalo $[a,b]\,\!$ , onde a maior é a norma, podemos concluir que a somatória é levada, no limite, a ser a integral:

$\int _{a}^{b}A(x)dx\,\!$

Ou seja, para que possamos encontra a área nestes casos basta encontrar a integral definida da função área; sempre que for possível encontrar uma função contínua da área da seção em relação a variável independente, poderemos encontrar o volume do sólido integrando esta função área.

Exemplo 5

Calcular o volume do sólido formado por um cilindro circular reto, cuja base tem centro na orígem dos eixos cartesianos e é paralela ao plano $(x,y,0)\,\!$ dentro de um raio de 4 unidades, sendo secionado por um plano que passa pelos pontos $(4,0,0)\,\!$ e $(0,0,3)\,\!$ equidistante do eixo $y\,\!$ :

Retiramos as informações do problema proposto, que nos diz que:

A altura do cilindro para cada valor de $x\,\!$ é igual a da reta determinada

pelos pontos que pertencem ao plano, uma vez que o plano é perpendicular ao plano $(x,0,z)\,\!$ :

logo:

$m={\frac {3}{4}}\,\!$

que define a reta:

$z={\frac {3}{4}}x\,\!$

Seções do cilindro perpendiculares ao eixo $x\,\!$ tem bases que crescem a medida

que o valor de $x\,\!$ aumenta, cujo valor pode ser obtido por:

$B=2{\sqrt {16-x^{2}}}\,\!$

Diante disto podemos verificar que o sólido pode ser definido por seções trangulares, perpendiculares ao eixo $x\,\!$ , portanto fazemos:

$V=\left|\int _{-4}^{0}{\frac {B\cdot z}{2}}dx\right|+\left|\int _{0}^{4}{\frac {B\cdot z}{2}}dx\right|\,\!$

Pois há faixas onde $V_{x}<0\,\!$ o que nos obriga a aplicar a correção. Agora vamos calcular a integral indefinida:

$V_{x}=\int {\frac {2{\sqrt {|16-x^{2}|}}\cdot {\frac {3}{4}}x}{2}}dx\,\!$

$V_{x}=\int {\sqrt {|16-x^{2}|}}\cdot {\frac {3}{4}}xdx\,\!$

Se tivermos:

$u=16-x^{2}\,\!$

$du=-2xdx\,\!$

$xdx=-{\frac {du}{2}}\,\!$

Substituimos:

$V_{u}=\int {\sqrt {u}}\cdot {\frac {3}{8}}du\,\!$

$V_{u}={\frac {3}{8}}\int {\sqrt {u}}\cdot du\,\!$

$V_{u}={\frac {3}{8}}\left({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)\,\!$

$V_{u}={\frac {1}{4}}\left(u^{\frac {3}{2}}\right)\,\!$

Redefinindo:

$V_{x}={\frac {1}{4}}\left(16-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\,\!$

Ou seja:

$V={\frac {1}{4}}\left|(16-x^{2})^{\frac {3}{2}}\right|_{-4}^{0}+{\frac {1}{4}}\left|(16-x^{2})^{\frac {3}{2}}\right|_{0}^{4}\,\!$

logo:

$V={\frac {1}{4}}\left|(16)^{\frac {3}{2}}\right|+{\frac {1}{4}}\left|(16)^{\frac {3}{2}}\right|\,\!$

O volume é:

 $v=32\,\!$  unidades cúbicas.

Pressão dos líquidos

Esta é uma aplicação bastante interessante... Considere que tenhamos que calcular a pressão que um líquido exerce sobre um objeto imerso em algum líquido, se o objeto é plano o cálculo dessa pressão e conseqüentemente a força total sobre a superfície é fácil de ser calculada, porém se o objeto é curvo e a força se distribui ao longo do corpo temos um problema complexo nas mãos. Investigaremos agora uma aplicação da integral para solução deste problema.

Adotemos as sequintes nomenclaturas para as definições que se seguem:

$P_{v}\,\!$ - Pressão volumétrica;
$P_{s}\,\!$ - Pressão superficial;
$F\,\!$ - Força;
$A\,\!$ - Área;
$V\,\!$ - Volume;
$h\,\!$ - Altura;

Então, da definição de Física, a pressão em um líquido contido num recipiente de volume $V\,\!$ é:

$P_{v}={\frac {F}{V}}\,\!$

Ou seja, se o volume do corpo for unitário, a força que atua sobre ele é igual a presão volumétrica, porém se quisermos saber a pressão exercida pelo líquido sobre uma superfície fazemos:

$P_{s}={\frac {F}{V}}h\,\!$

ou

$P_{s}={\frac {F}{A}}\,\!$

Porém, imaginemos que o corpo é uma lâmina mergulhada verticalmente e desejamos obter a força total exercída pelo líquido sobre o mesmo... Inevitavelmente veremos que a força aumenta com a altura e sua somatória não será algo convencional se a área da superfície do objeto for curva.

Consideremos que a largura do objeto ao longo da linha vertical que define a altura seja $f(x)\,\!$ e a altura seja $x\,\!$ , se tomarmos uma partição $\Delta \,\!$ onde tivervos diversos $\Delta x_{i}\,\!$ dentro de um intervalo $[a,b]\,\!$ . Ainda temos que, pelo princípio de Pascal, a pressão é a mesma em todas as direções em algum ponto do líquido, o que nos leva a concluir que:

$F_{x}=P_{v}xA\,\!$

logo:

$F\approx \sum _{i=1}^{n}P_{v}\xi _{i}f(\xi _{i})\Delta x_{i}\,\!$

É uma boa aproximação do valor da força, porém se fizermos com que n seja cada vez maior até valores que tendam a infinito, podemos fazer:

$F=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}P_{v}\xi _{i}f(\xi _{i})\Delta x_{i}\,\!$

ou

$F=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}P_{v}\xi _{i}f(\xi _{i})\Delta x_{i}\,\!$

O que nos leva a:

 $F=\int _{a}^{b}P_{v}xf(x)dx\,\!$

Exemplo 6

Comprimentos de curvas

Esta é mais uma interessante aplicação das integrais, com elas podemos calcular o comprimento de curvas utilizando uma generalização da regra do cálculo da distância entre dois pontos, a qual já conhecemos da matemática de nível médio.

Sabemos que a distância entre dois pontos é:

$D_{ab}={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}\,\!$

Se existe uma curva entre os pontos $a\,\!$ e $b\,\!$ podemos subdividir o intervalo entre os dois pontos de forma que tenhamos:

$\Delta x={\frac {x_{b}-x_{a}}{n}}\,\!$

e

$\Delta y={\frac {y_{b}-y_{a}}{n}}\,\!$

Propomos um índice para que tenhamos:

$\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}\,\!$

e

$\Delta y_{i}=y_{i}-y_{i-1}\,\!$

Para cada subintervalo dentro de

$x_{a},x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{b}\,\!$ e

$y_{a},y_{1},y_{2},\dots y_{n-1},y_{b}\,\!$

Se defirmos o ponto médio para cada subintervalo, como sendo:

$\left[\xi _{i},f(\xi _{i})\right]\,\!$

A distância entre dois pontos dentro desse subintervalo é:

$D_{i}={\sqrt {(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}}\,\!$

Uma boa aproximação do comprimento da curva pode ser encontrada fazendo-se:

$C\approx \sum _{i=0}^{n}{\sqrt {(\Delta x_{i})^{2}+(\Delta y_{i})^{2}}}\,\!$

$C\approx \sum _{i=0}^{n}{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)^{2}}}\Delta x_{i}\,\!$

Definindo uma norma para a partição $\Delta \,\!$ no intervalo, teremos:

$C=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=0}^{n}{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)^{2}}}\Delta x_{i}\,\!$

logo:

 $C=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx\,\!$

Exemplo 7