Cálculo (Volume 2)/Geometria tridimensional/Vetores e produtos

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III

Produtos

Produto escalar

O produto escalar, também denominado produto interno, é o produto de dois vetores que resulta em um escalar, a operação que define o seu valor definimos abaixo.

Consideremos dois vetores ${\vec {v}},{\vec {u}}\,\!$, cujos componentes são notados por $v_{d}\,\!$ e $u_{d}\,\!$ respectivamente, sendo $d\,\!$ uma das dimensões: $\{x,y,z\}\,\!$, então o produto escalar é definido como:

${\vec {v}}\ \cdot \ {\vec {u}}=v_{x}u_{x}+v_{y}u_{y}+v_{z}u_{z}\,\!$

Propriedades do produto escalar

As propriedades do produto escalar são facilmente demonstráveis e estão na tabela abaixo, na mesma convencionamos que:

• ${\vec {v}},{\vec {u}},{\vec {w}}\,\!$ são vetores em $\mathbb {R} ^{3}$;
• $c\,\!$ é um escalar.

Propriedade	Operação
Produto nulo	$0\cdot {\vec {v}}=0\,\!$
Comutativa do produto escalar	${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\,\!$
Associativa entre produto escalar e produto por escalares	$c({\vec {v}}\cdot {\vec {u}})=(c{\vec {v}})\cdot {\vec {u}}\,\!$
Distributiva	$({\vec {v}}+{\vec {u}})\cdot {\vec {w}}={\vec {v}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\,\!$
Escalar quadrado	${\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {v}}|^{2}\,\!$

A demonstração das propriedades acima fica como exercício, uma vez que todas são intuitivas, não será difícil conseguir demonstrar cada uma delas, para isto basta efetuar a operação do produto escalar e utilizar regras básicas de operações algébricas.

T45 - Ângulo entre dois vetores

Observemos o gráfico:

Relação entre o ângulo e o produto escalar de dois vetores
Dados dois vetores ${\vec {A}},{\vec {B}}\,\!$, é possível demonstrar que o cosseno do ângulo entre os dois vetores é proporcional ao produto interno (escalar), relacionado-se da seguinte forma:
${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|\cos(\theta )\,\!$

Demonstração

Observemos o gráfico abaixo:

Calculando o produto escalar

. .

O gráfico mostra dois vetores relacionados pelo ângulo $\theta \,\!$, é importante notar que temos um triângulo, que pode ser generalizado pela lei dos cossenos, o que nos permite fazer a relação entre o ângulo e os dois vetores.

Considerando os vetores na ilustração acima, podemos fazer o cálculo do módulo de sua diferença, utilizando a conhecida relação da lei dos cossenos para o triângulo:

$|{\vec {v}}-{\vec {u}}|^{2}=|{\vec {v}}|^{2}+|{\vec {u}}|^{2}-2|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos(\theta )$

$({\vec {v}}-{\vec {u}})\cdot ({\vec {v}}-{\vec {u}})=|{\vec {v}}|^{2}+|{\vec {u}}|^{2}-2|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos(\theta )$

${\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-2{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {v}}|^{2}+|{\vec {u}}|^{2}-2|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos(\theta )$

$|{\vec {v}}|^{2}+|{\vec {u}}|^{2}-2{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {v}}|^{2}+|{\vec {u}}|^{2}-2|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos(\theta )$

$-2{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=-2|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos(\theta )$

Portanto:

${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos(\theta )$

Interpretação do produto escalar

O significado gráfico do produto escalar é fundamental para nos dar horizontes de utilização dos conceitos nos cálculos que podemos desenvolver. Observemos alguns fatos algébricos para que possamos visualizar conceitos úteis.

Como já sabemos, os vetores ${\vec {v}},{\vec {u}}\,\!$ que mantêm um ângulo $\theta \,\!$ entre eles são relacionados desta forma:

${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos(\theta )\,\!$

Considere a seguinte separação:

${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {v}}|\ \underbrace {|{\vec {u}}|\cos(\theta )} \,\!$

${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {v}}|\cdot \quad \gamma \,\!$

Se o fator $\gamma \,\!$ é um cosseno, significa que o mesmo é uma fração do módulo do vetor $|{\vec {u}}|\,\!$, deste modo, o produto escalar é a multiplicação do módulo da projeção deste vetor sobre o eixo de orientação do vetor ${\vec {v}}\,\!$ pelo módulo do mesmo. Para melhor entendimento observemos os gráficos abaixo:

-	${\overline {\mbox{AB}}}={\vec {v}},{\overline {\mbox{AC}}}={\vec {u}}\,\!$
${\overline {\mbox{AH}}}=\gamma \,\!$	${\overline {\mbox{AH}}}=\gamma \,\!$

Ou seja, o produto escalar é, sinteticamente, a multiplicação de dois segmentos de reta.

Ângulos diretores

A relação entre produto escalar e cosseno do ângulo entre os vetores nos fornece uma outra possibilidade de referenciar os vetores aos eixos do sistema cartesiano, uma vez que temos versores primários para os eixos, podemos verificar qual o resultado do produto escalar entre estes e um vetor qualquer no espaço. Seja o vetor ${\vec {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle \,\!$, calculemos o produto escalar entre ele e os vetores relacionados aos eixos: $i,j,k\,\!$:

${\vec {v}}\cdot i=|{\vec {v}}||i|\cos(\theta )\,\!$

$v_{x}=|{\vec {v}}|\cos(\theta )\,\!$

${\frac {v_{x}}{|{\vec {v}}|}}=\cos(\theta )\,\!$

Para este caso inicialmente façamos uma breve reflexão:

Se para cada vetor de módulo unitário for feita a mesma operação acima, teremos três ângulos para $\theta \,\!$, os quais são os ângulos do vetor no espaço em relação aos eixos, por esta razão convencionou-se chamá-los de nomes especiais, que são $\alpha ,\beta ,\gamma \,\!$ respectivamente, para os vetores $i,j,k\,\!$. Observemos, também, que a operação será sempre a mesma para cada eixo e o resultado será o valor da componente do vetor para o eixo dividido pela norma do mesmo, o que nos fornece três cossenos:

• ${\frac {v_{x}}{|{\vec {v}}|}}=\cos(\alpha )\,\!$
• ${\frac {v_{y}}{|{\vec {v}}|}}=\cos(\beta )\,\!$
• ${\frac {v_{z}}{|{\vec {v}}|}}=\cos(\gamma )\,\!$

Os quais chamamos de cossenos diretores, pois direcionam o vetor no espaço sob a referência dos eixos. Em consequência disto, também chamamos os ângulos de ângulos diretores.

Em conseqüência do que já vimos nas seções anteriores, temos a seguinte equação:

$\cos ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\beta )+\cos ^{2}(\gamma )=1\,\!$

Também temos outra forma de referenciar o vetor, usando os cossenos diretores:

${\vec {v}}=\langle |{\vec {v}}|\cos(\alpha ),|{\vec {v}}|\cos(\beta ),|{\vec {v}}|\cos(\gamma )\rangle \,\!$

Que será útil em determinadas análises, inclusive quando parâmetros polares forem considerados.

Projeções sobre vetores

O produto escalar nos dá a possibilidade de encontrar a projeção de um vetor sobre o outro sem a necessidade de sabermos qual o ângulo entre os dois, isto é possível devido à equivalência algébrica do produto escalar com o cosseno do ângulo entre os dois vetores como vimos anteriormente.

Sejam os vetores ${\vec {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle ,{\vec {u}}=\langle u_{x},u_{y},u_{z}\rangle \,\!$, o produto escalar dos mesmos é:

${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos(\theta )\,\!$

de onde concluimos que:

${\frac {1}{|{\vec {v}}|}}{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {u}}|\cos(\theta )\,\!$

$\left({\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}\right)\cdot {\vec {u}}=|{\vec {u}}|\cos(\theta )\,\!$

Observando o lado direito da equação observamos que a expressão corresponde à projeção do vetor ${\vec {u}}\,\!$ sobre o vetor ${\vec {v}}\,\!$, porém sob a forma escalar, ou seja, o valor corresponde ao comprimento (norma) da projeção, não contendo a informação acerca da direção e do sentido. Definimos, então, a projeção escalar do vetor ${\vec {u}}\,\!$ sobre o vetor ${\vec {v}}\,\!$, como:

$\operatorname {Prj} _{\vec {v}}\ {\vec {u}}=\left({\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}\right)\cdot {\vec {u}}\,\!$

Observemos ainda outro fato esclarecedor: a projeção escalar de um vetor sobre o outro é o produto escalar do versor do vetor sobre o qual será projetado e o outro vetor. Intuitivamente, percebemos que o versor que contém a informação sobre a direção e sentido do vetor onde será projetado o valor e portanto, determina-o, visto que é no mesmo onde temos a informação sobre a inclinação.

Seguindo este mesmo raciocínio, se multiplicarmos esta projeção, que é um valor escalar, pelo vetor unitário (versor), que usamos no cálculo anterior, teremos um vetor projeção criado como "imagem" do outro. Fazendo isto teremos:

$V\operatorname {Prj} _{\vec {v}}\ {\vec {u}}=\left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}}{|{\vec {v}}|^{2}}}\right){\vec {v}}\,\!$

T46 - A desigualdade de Cauchy-Schwarz

A desigualdade de Cauchy-Schwarz
Sejam os vetores ${\vec {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle ,{\vec {u}}=\langle u_{x},u_{y},u_{z}\rangle \,\!$, é possível provar que o produto escalar relaciona-se com os módulos dos vetores de forma a satisfazer a seguinte desigualdade:
$|{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}|\leq |{\vec {v}}||{\vec {u}}|\,\!$

Comprovação

Analisemos o produto escalar ${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}\,\!$ separadamente:

${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\cos(\theta )\,\!$

Se quisermos o módulo do produto escalar teremos:

$|{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}|=|{\vec {v}}||{\vec {u}}||\cos(\theta )|\,\!$

porém,

$0\leq |\cos(\theta )|\leq 1\,\!$

então:

$0\leq {\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}|}{|{\vec {v}}||{\vec {u}}|}}\leq 1\,\!$

$0\leq |{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}|\leq |{\vec {v}}||{\vec {u}}|\,\!$

Como o lado esquerdo da inequação faz parte do módulo, podemos simplificar para:

$|{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}|\leq |{\vec {v}}||{\vec {u}}|\,\!$

Produto vetorial

As operações com vetores podem, muitas vezes, parecer estranhas a princípio, porém depois que entendemos a sua finalidade e o conceito do fundamento que está por trás de seu comportamento nos habituamos, podendo aproveitar dos recursos que estas operações podem nos oferecer. Um dos cálculos mais intrigantes dentro do universo dos vetores é o chamado produto vetorial, que é definido pela seguinte operação:

Sejam os vetores ${\vec {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle ,{\vec {u}}=\langle u_{x},u_{y},u_{z}\rangle \,\!$, o produto vetorial dos mesmos é:

${\vec {v}}\times {\vec {u}}=\langle v_{y}u_{z}-u_{y}v_{z},-(v_{x}u_{z}-u_{x}v_{z}),v_{x}u_{y}-u_{x}v_{y}\rangle \,\!$

A razão desta definição está na operação geométrica entre dois vetores, que neste caso, objetiva-se em encontrar um vetor que seja, ao mesmo tempo, perpendicular aos dois vetores operados. Como a operação resulta em um novo vetor, ela é denominada de produto vetorial.

A operação resume-se em encontrar coordenadas em cada eixo que sejam perpendiculares entre elas e de módulo igual a área formada pelo paralelogramo criado pela imagem dos dois vetores em cada um dos planos primários.

Podemos observar que cada componente é igual à resultante de um determinante, o que nos habilita representá-los da seguinte forma:

${\vec {v}}\times {\vec {u}}=\left\langle {\begin{vmatrix}v_{y}&v_{z}\\u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}},-{\begin{vmatrix}v_{x}&v_{z}\\u_{x}&u_{z}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}v_{x}&v_{y}\\u_{x}&u_{y}\end{vmatrix}}\right\rangle \,\!$

Como temos um vetor tridimensional, podemos adotar a notação:

${\vec {v}}\times {\vec {u}}={\begin{vmatrix}v_{y}&v_{z}\\u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}{\vec {i}}-{\begin{vmatrix}v_{x}&v_{z}\\u_{x}&u_{z}\end{vmatrix}}{\vec {j}}+{\begin{vmatrix}v_{x}&v_{y}\\u_{x}&u_{y}\end{vmatrix}}{\vec {k}}\,\!$

Que pode ser simplificada ainda mais se adotarmos a notação de determinante com três variáveis:

${\vec {v}}\times {\vec {u}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}$

Em decorrência disto temos um produto que se comporta de maneira idêntica a um determinante, onde todas as propriedades são iguais às apresentadas pelos mesmos.

Propriedades do produto vetorial

O produto vetorial é basicamente uma operação em forma de determinante, a tabela abaixo introduz as propriedades do mesmo, muitas das quais já conhecemos sob a forma de teoremas de determinantes, porém são introduzidas sob a forma de operações vetoriais:

• ${\vec {v}},{\vec {u}},{\vec {w}}\,\!$ são vetores em $\mathbb {R} ^{3}$;
• $c\,\!$ é um escalar.

Propriedade	Operação
Produto vetorial inverso	${\vec {v}}\times {\vec {u}}=-{\vec {u}}\times {\vec {v}}\,\!$
múltiplo de escalar por produto vetorial	$c({\vec {v}}\times {\vec {u}})=(c{\vec {v}})\times {\vec {u}}={\vec {v}}\times (c{\vec {u}})\,\!$
Distributiva a direita	${\vec {w}}\times ({\vec {v}}+{\vec {u}})={\vec {w}}\times {\vec {v}}+{\vec {w}}\times {\vec {u}}\,\!$
Distributiva a esquerda	$({\vec {v}}+{\vec {u}})\times {\vec {w}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}+{\vec {u}}\times {\vec {w}}\,\!$
Conversão em vetores com produtos escalares	$({\vec {v}}\times {\vec {u}})\times {\vec {w}}=({\vec {v}}\cdot {\vec {w}}){\vec {u}}-({\vec {v}}\cdot {\vec {u}}){\vec {w}}\,\!$

T47 - Ângulo entre dois vetores

Relação entre produto vetorial e ângulo entre vetores
Seja os vetores ${\vec {v}}\,\!$ e ${\vec {u}}\,\!$ vetores em $\mathbb {R} ^{3}\,\!$, é possível provar que o módulo do vetor resultante do produto vetorial destes, é proporcional ao seno do ângulo $\theta \,\!$ entre os dois vetores, relacionado-se da seguinte forma:
$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|=|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\operatorname {sen} (\theta )$

Comprovação

Façamos a operação conforme indicado na definição para verificar a evolução:

${\vec {v}}\times {\vec {u}}=\langle v_{y}u_{z}-u_{y}v_{z},v_{x}u_{z}-u_{x}v_{z},v_{x}u_{y}-u_{x}v_{y}\rangle \,\!$

De onde calculamos o seu módulo:

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|^{2}=(v_{y}u_{z}-u_{y}v_{z})^{2}+(v_{x}u_{z}-u_{x}v_{z})^{2}+(v_{x}u_{y}-u_{x}v_{y})^{2}\,\!$

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|^{2}=v_{y}^{2}u_{z}^{2}-2v_{y}u_{z}u_{y}v_{z}+u_{y}^{2}v_{z}^{2}+v_{x}^{2}u_{z}^{2}-2v_{x}u_{z}u_{x}v_{z}+u_{x}^{2}v_{z}^{2}+v_{x}^{2}u_{y}^{2}-2v_{x}u_{y}u_{x}v_{y}+u_{x}^{2}v_{y}^{2}\,\!$

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|^{2}=(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2})-(v_{x}u_{x}+v_{y}u_{y}+v_{z}u_{z})^{2}\,\!$

Como já sabemos, podemos aplicar as propriedades já estudadas para os vetores:

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|^{2}=|{\vec {v}}|^{2}|{\vec {u}}|^{2}-({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})^{2}\,\!$

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|^{2}=|{\vec {v}}|^{2}|{\vec {u}}|^{2}-|{\vec {v}}|^{2}|{\vec {u}}|^{2}\cos ^{2}(\theta )\,\!$

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|^{2}=|{\vec {v}}|^{2}|{\vec {u}}|^{2}\left[1-\cos ^{2}(\theta )\right]\,\!$

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|^{2}=|{\vec {v}}|^{2}|{\vec {u}}|^{2}\operatorname {sen} ^{2}(\theta )\,\!$

Lembremos que, se:

$a^{2}=\operatorname {sen} ^{2}(\theta )\,\!$,

$a=\operatorname {sen} (\theta )\,\!$

Quando $0\leq \theta \leq \pi \,\!$

logo:

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|=|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\operatorname {sen} (\theta )\,\!$

Interpretação do produto vetorial

O vetor resultante do produto vetorial apresenta módulo igual à área do paralelogramo delimitado pelos dois vetores que lhe deram origem, observemos o gráfico abaixo:

Como já sabemos, os vetores ${\vec {v}},{\vec {u}}\,\!$ que mantêm um ângulo $\theta \,\!$ entre eles, quando multiplicados, podem ser expressos desta forma:

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|=|{\vec {v}}||{\vec {u}}|\operatorname {sen} (\theta )\,\!$

Considere a seguinte separação:

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|=|{\vec {v}}|\ \underbrace {|{\vec {u}}|\operatorname {sen} (\theta )} \,\!$

$|{\vec {v}}\times {\vec {u}}|=|{\vec {v}}|\cdot \quad h\,\!$

Muito convenientemente, podemos verificar que $h\,\!$ é a altura do paralelogramo, que multiplicado pela norma do vetor ${\vec {v}}\,\!$ nos dá a área do paralelogramo. Da mesma forma verifiquemos que o produto vetorial nos fornece um vetor perpendicular aos dois que lhe deram origem... Façamos:

$({\vec {v}}\times {\vec {u}})\cdot {\vec {u}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}\cdot \langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle$

Pelas propriedades dos determinantes e do produto escalar temos:

$({\vec {v}}\times {\vec {u}})\cdot {\vec {u}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}v_{x}&{\vec {j}}v_{y}&{\vec {k}}v_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}$

Sendo o determinante acima nulo, uma vez que uma das suas linhas é múltipla de outra:

$({\vec {v}}\times {\vec {u}})\cdot {\vec {u}}=0$

Também teremos o mesmo resultado para o segundo vetor, visto que o mesmo também é uma das linhas do determinante, portanto o produto vetorial fornece um vetor perpendicular aos dois que lhe deram origem, visto que o cosseno do ângulo $\theta \,\!$ é nulo, ou seja, o ângulo é ${\frac {\pi }{2}}\,\!$.

Produto misto

Sejam os vetores ${\vec {v}},{\vec {u}},{\vec {w}}\,\!$ em $\mathbb {R} ^{3}\,\!$, sobre estes definimos o produto misto como:

$({\vec {v}}\times {\vec {u}})\cdot {\vec {w}}={\begin{vmatrix}w_{x}&w_{y}&w_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}$

Em síntese, a operação do produto vetorial nos fornece um novo vetor perpendicular aos dois que lhe deram orígem, por outro lado, o produto escalar deste vetor por outro nos fornece um escalar, que representa o produto misto. Observando estas operações mais detalhadamente, quando operamos o produto vetorial temos um vetor definido com os versores primários, sendo ${\vec {v}}\times {\vec {u}}={\vec {p}}\,\!$, temos:

${\vec {p}}\cdot {\vec {w}}=(p_{x}i+p_{y}j+p_{z}k)\cdot (w_{x}i+w_{y}j+w_{z}k)\,\!$

${\vec {p}}\cdot {\vec {w}}=(p_{x}w_{x})|i|^{2}+(p_{y}w_{y})|j|^{2}+(p_{z}w_{z})|k|^{2}\,\!$

${\vec {p}}\cdot {\vec {w}}=(p_{x}w_{x})+(p_{y}w_{y})+(p_{z}w_{z})\,\!$

logo:

${\vec {p}}\cdot {\vec {w}}={\begin{vmatrix}1&1&1\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}(w_{x}+w_{y}+w_{z})\,\!$

Que nos dá:

$({\vec {v}}\times {\vec {u}})\cdot {\vec {w}}={\begin{vmatrix}w_{x}&w_{y}&w_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}$

Propriedades do produto misto

As propriedades do produto misto são análogas às dos determinantes em geral, apenas uma operação algébrica entre produtos devemos destacar:

Comutativa entre produto escalar e produto vetorial em um produto misto

Dados três vetores: ${\vec {v}},{\vec {u}},{\vec {w}}\,\!$ em $\mathbb {R} ^{3}\,\!$, podemos comutar os vetores e produtos tais que:

${\vec {v}}\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {w}})=({\vec {v}}\times {\vec {u}})\cdot {\vec {w}}$

No que se refere à operação em determinantes, a operação:

${\vec {v}}\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {w}})={\begin{vmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{vmatrix}}$

enquanto que:

$({\vec {v}}\times {\vec {u}})\cdot {\vec {w}}={\begin{vmatrix}w_{x}&w_{y}&w_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}$

Para fazer com que o primeiro determinante se torne o segundo basta permutar a mesma linha duas vezes dentro do determinante, ou seja, inverter o sinal do mesmo duas vezes, o que faz com que este retorne ao valor original. Algebricamente, os dois determinates definem o mesmo valor quando operados. Isto define a operação como válida.

Interpretação do produto misto

O produto misto pode ser interpretado facilmente utilizando os conceitos dos produtos vetorial e escalar, visto que ele nada mais é do que a conjunção destes dois produtos. Observemos a ilustração abaixo:

Produto misto

. .

Note que o produto vetorial de ${\vec {v}}\,\!$ por ${\vec {u}}\,\!$ nos dá a área do plano da base do paralelepípedo, enquanto que o produto escalar de ${\vec {w}}\,\!$ pelo vetor resultante do produto vetorial nos dá $h\,\!$, portanto, se multiplicarmos os dois valores teremos o volume do paralelepípedo, o que correspondo ao produto misto.