Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2)

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Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Índice

Trigonométricas II[editar | editar código-fonte]

Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.

Tangente e secante[editar | editar código-fonte]

Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois essencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por e o valor inicial é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:

que é:


Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou para representação de tangente e secante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?

Para definir h, a hipotenusa, façamos :

Da identidade relacional temos:

portanto:

Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:


Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.

Identidades (2)[editar | editar código-fonte]

Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.

I-14 Relacionando tangente e secante[editar | editar código-fonte]

Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre podemos afirmar que:


Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.

I-15 Tangente da diferença[editar | editar código-fonte]

Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:


Comprovação:

Considerando a definição da tangente temos:

Resultando em:

O que comprova a identidade.

I-16 Tangente da soma[editar | editar código-fonte]


Comprovação:

Admitamos e teremos pela tangente da diferença:

Considerando que a tangente é:

E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:

O que comprova a identidade.

Derivada da tangente[editar | editar código-fonte]

Seja , uma função contínua em , visto que , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

logo, pela derivada da razão:

Portanto:


Derivada da secante[editar | editar código-fonte]

Seja , uma função contínua em , visto que , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:

logo, pela derivada da razão:

O que nos revela:


Integral da tangente[editar | editar código-fonte]

Seja a função , definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:

Por outro lado, se:

O que nos possibilita afirmar que:

Portanto:


Integral da secante[editar | editar código-fonte]

Seja a função , dizemos que sua integral é a função e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:

multiplicando e dividindo :

Por outro lado, se:

,

logo, por substituição, temos:

, sendo , o que nos permite fazer:

Portanto:


Cotangente e cossecante[editar | editar código-fonte]

Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:

Circunferência trigonométrica.svg

Figura 8

Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.

Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:

O que nos revela:


Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou para representação de cotangente e cossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:

Que define a cossecante como:



Identidades (3)[editar | editar código-fonte]

Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.

Conseqüentes das definições:







Derivada da cotangente[editar | editar código-fonte]

Seja a função , considerando que:

Novamente usamos a regra da derivada da razão:

Portanto:


Derivada da cossecante[editar | editar código-fonte]

Seja a função , considerando que:

Novamente usamos a regra da derivada da razão:

Portanto:


Integral da cotangente[editar | editar código-fonte]

Seja a função , considerando que:

Sua integral é:

Sendo :

Logo:

E, por substituição:


Integral da cossecante[editar | editar código-fonte]

Seja a função ,

Sua integral é:

Sendo :

Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:

Logo:

E, por substituição:



Inversas das trigonométricas[editar | editar código-fonte]

O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?

A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.

arcseno e arccosseno[editar | editar código-fonte]

Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:

  1. O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em , portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.

O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: , podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: também apresenta valores únicos para cada arco tomado.

Assim, dizemos que:


Da mesma forma que:


Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou ou ou ainda para representação de arcseno e arccosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

Derivadas do arcseno e arccosseno[editar | editar código-fonte]

Seja a função , sendo a sua inversa:

,

podemos operá-la desta forma:

,

Por outro lado:

O que nos dá:

,

Logo:


Ainda temos que a função , sendo a sua inversa:

,

podemos operá-la desta forma:

,

Por outro lado:

O que nos dá:

,

Logo:


Integrais do arcseno e arccosseno[editar | editar código-fonte]

Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Arctangente e arccotangente[editar | editar código-fonte]

Definimos a função:

,

arctangente de x, como a inversa da função:

, 
Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou ou ou ainda para representação de arctangente e arccotangente respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

tangente de y, para todo o intervalo , porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.

Do mesmo modo podemos definir a função:

,

arccotangente de t, como a inversa da função:

,

cotangente de z, para todo o intervalo , porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.

Derivadas da arctangente e arccotangente[editar | editar código-fonte]

Seja a função , sendo a sua inversa:

,

podemos operá-la desta forma:

,

Por outro lado:

O que nos dá:

,

Logo:


Ainda temos que a função , sendo a sua inversa:

.

Por outro lado:

O que nos dá:

,

Logo:


Integrais da arctangente e arccotangente[editar | editar código-fonte]

Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Arcsecante e arccossecante[editar | editar código-fonte]

Definimos a função:

,

arcsecante de x, como a inversa da função:

, 
Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou ou ou para representação de arcsecante e arccossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

secante de y, para os intervalos de x: , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função é relacionada a função como segue:


Do mesmo modo podemos definir a função:

,

arccosecante de t, como a inversa da função:

,

cosecante de y, para os intervalos de x: , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.

A função é relacionada a função como segue:


Derivadas da arcsecante e arccossecante[editar | editar código-fonte]

Seja a função:

que tem correspondência em:

Sendo:

Portanto:



para 

Integrais da arcsecante e arccossecante[editar | editar código-fonte]

Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Trigonométricas inversas como integrais algébricas[editar | editar código-fonte]

Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:






Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C.


hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais e , as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.

As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.

Seno e cosseno hiperbólicos[editar | editar código-fonte]

A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole , onde encontramos:


A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:


Sendo obtida de forma similar a anterior.

O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente e uma exponencial decrescente lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.

Relacionando seno e cosseno hiperbólico[editar | editar código-fonte]

Considere a operação: ,

Da definição temos:

logo:


Derivada do seno hiperbólico[editar | editar código-fonte]

Seja a função seno hiperbólico , podemos dizer que:

sendo:

Portanto:


Derivada do cosseno hiperbólico[editar | editar código-fonte]

Seja a função cosseno hiperbólico , podemos dizer que:

sendo:

Portanto:


Integral do seno hiperbólico[editar | editar código-fonte]

A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

Concluimos que:


Integral do cosseno hiperbólico[editar | editar código-fonte]

A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:

Concluimos que:


Tangente e secante hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:


ou


A secante hiperbólica é definida como:


ou


Relacionando tangente e secante hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

Portanto:


Derivada da tangente hiperbólica[editar | editar código-fonte]

Seja a função , temos:

Portanto:


Derivada da secante hiperbólica[editar | editar código-fonte]

Seja a função , temos:

e finalmente:


Integral da tangente hiperbólica[editar | editar código-fonte]

Seja a função , temos:

Se fizermos:

verificamos:

e finalmente:


Integral da secante hiperbólica[editar | editar código-fonte]

Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Cotangente e cossecante hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

A cotangente hiperbólica é definida como:


ou


A cosecante hiperbólica é definida como:


ou


Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

Vamos desenvolver a expressão abaixo:

Portanto:


Derivada da cotangente hiperbólica[editar | editar código-fonte]

Seja a função , temos:

Portanto:


Derivada da cossecante hiperbólica[editar | editar código-fonte]

Seja a função , temos:

e finalmente:


Integral da cotangente hiperbólica[editar | editar código-fonte]

Seja a função , temos:

Se fizermos:

verificamos:

e finalmente:


Integral da cossecante hiperbólica[editar | editar código-fonte]

Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.

Inversas das hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.

Análise da inversão das variáveis[editar | editar código-fonte]

As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:

,

Para a forma:

Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo , que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.

É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.

argsenh e argcosenh[editar | editar código-fonte]

Agora consideremos a função , então:

Podemos fazer , logo:

O que resulta na equação:

cujas raízes são:

Podemos apenas admitir: , consequentemente:

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de que é:


No caso de , a dedução é similar:

Podemos fazer , logo:

O que resulta na equação:

cujas raízes são:

Podemos apenas admitir: , consequentemente:

Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de que é:

,   

Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x)[editar | editar código-fonte]

Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:

de onde deduzimos:

resultando:



E para

de onde deduzimos:

e finalmente:

,   

Integrais de argsenh(x) e argcosh(x)[editar | editar código-fonte]

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

argtgh e argsech[editar | editar código-fonte]

Considerando , temos:

se :

o que resulta na equação:

cujas raízes são:

Onde apenas podemos admitir e :

Substituindo x por y e t por x:

Que é a inversa da , portanto:

,    

Ou,

,    

Considerando , temos:

se :

o que resulta na equação:

Cujas raízes são:

Onde apenas podemos admitir e :

Substituindo x por y e t por x:

Que é a inversa da , portanto:

,   

Derivadas de argtgh e argsech[editar | editar código-fonte]

Seja ,

Deduzimos que sua derivada é:

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

e, finalmente:

,   

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio.


Seja ,

Deduzimos que sua derivada é:

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

e, finalmente:


Integrais de argtgh e argsech[editar | editar código-fonte]

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.

argcotgh e argcosech[editar | editar código-fonte]

Considerando , temos:

se :

o que resulta na equação:

cujas raízes são:

Onde apenas podemos admitir e :

Substituindo x por y e t por x:

Que é a inversa da , portanto:

,   

Ou,

,   

Considerando , temos:

se :

o que resulta na equação:

Cujas raízes são:

Onde apenas podemos admitir :

Substituindo x por y e t por x:

Que é a inversa da , portanto:


Derivadas de argcotgh e argcosech[editar | editar código-fonte]

Seja ,

Deduzimos que sua derivada é:

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

e, finalmente:

,   

Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.


Seja ,

Deduzimos que sua derivada é:

Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:

e, finalmente:

,   

Integrais de argcotgh e argcosech[editar | editar código-fonte]

As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.