Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (1)

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Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

O estudo das funções deste capítulo refere-se às funções não puramente algébricas, relacionadas a números transcendentais, algumas das quais já conhecemos da matemática elementar, porém é necessário um aprofundamento do tema para o ambiente acadêmico, onde temos que lidar com análises mais detalhadas e complexas.

Logarítmicas[editar | editar código-fonte]

A integral da função algébrica traz uma indefinição quando :

A existência desta indefinição nos leva a uma questão: Qual o procedimento para integrar a função: ? A resposta é dada na análise numérica, calculando a integral pelos métodos de análise algébrica podemos chegar a seguinte conclusão:


A função ln é chamada de logaritmo natural, a sua base é chamada de número de Euler, ele é um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob a curva da função , que pode ser obtido numericamente usando a integral de Riemann e outras técnicas de cálculo numérico. Aproximações deste número são possíveis utilizando-se técnicas de aproximações sucessivas com o uso de séries, discutidas em Cálculo (Volume 3).

Todos os teoremas para logaritmos, que estão incluidos nos cursos de nível médio, podem ser obtidos a partir da análise do logaritmo natural, também chamado de logaritmo Neperiano.

Teoremas[editar | editar código-fonte]

Vejamos os principais teoremas para os logaritmos:

Nas citações abaixo, consideremos ,

T36 - Produto[editar | editar código-fonte]

Comprovação:

Da definição:

fazendo e quando :

O que comprova o teorema.

T37 - Razão[editar | editar código-fonte]

Comprovação:

Sendo :

logo:

T38 - Potência[editar | editar código-fonte]

Comprovação:

Sendo:

-> b vezes, que é:

-> b vezes, resultando:

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Da definição do logarítmo natural e a partir do teorema fundamental do cálculo, podemos deduzir a derivada da função logarítmica natural, ou seja, se que é a integral definida de , então a derivada é:

Integrais[editar | editar código-fonte]

Para integração de funções logarítmicas, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.


Exponenciais[editar | editar código-fonte]

A função é chamada de função exponencial na base a, todas as funções exponenciais são introduzidas a partir da definição do logaritmo natural ln x como sua função inversa. As funções exponenciais são estas em que a parte variável é o logaritmo, ou seja:

Se

então:

O que implica , tornando-o uma função, na qual podemos atribuir valores a x e obter uma imagem. O número a é chamado base, este número é facilmente identificado nos logaritmos convencionalmente abordados na matemática elementar, mas qual é a base da função  ?

Esta questão nos leva a um novo conceito abordado na próxima seção, o número de Euler.

O número de Euler[editar | editar código-fonte]

A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: e, ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: , quando seu valor é unitário, ou seja:

,

mais formalmente:

O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: Cálculo (Volume 3).

A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir:

Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de n mais preciso se torna o valor de e.

De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira:

Se então , logo:

Por outro lado, pela definição:

Para :

Sendo: e

Concluimos que:

Teoremas[editar | editar código-fonte]

A maioria dos teoremas relacionados, têm origem nas conclusões obtidas no estudo do logarítmo natural, dos quais relacionamos os mais usados:

T39 - Soma[editar | editar código-fonte]

Seja a função , pode-se afirmar que:

Comprovação:

Considerando: e ,

logo:

sendo: e ,

O que comprova o teorema.

T40 - Subtração[editar | editar código-fonte]

De forma similar à análise anterior, sendo a função , pode-se afirmar que:

Comprovação:

Considerando: e ,

logo:

sendo: e ,

O que comprova o teorema.

T41 - Potência[editar | editar código-fonte]

Seja a função , pode-se afirmar que:

Comprovação:

O que comprova o teorema.

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Consideremos que , e conseqüentemente: , se derivarmos implicitamente este expressão:

Curiosamente, teremos:

Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções.

Por outro lado se , temos que:

Fazendo e , teremos:

Se , concluimos que:


Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base.

Integrais[editar | editar código-fonte]

Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural é a própria função, conforme a regra da reversibilidade entre a derivada e a integral, apenas sendo necessária a devida observação da base, para eventual correção da diferencial e conseqüente introdução de fator de correção, nos casos em que a função torna-se composta.

Desta forma, temos:

, 

Sendo C constante.


Logarítmicas com outras bases[editar | editar código-fonte]

Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma:

Se então,


Onde: a é chamada base do logaritmo, x é o logaritmando e n é o expoente.

O logaritmo é, portanto, a operação pela qual se obtém o expoente necessário para que a base seja elevada, numa operação exponencial e se obtenha o número x.

A função logarítmica de base a pode ser expressa da seguinte forma:

O que nos possibilita encontrar um valor para cada x expresso na equação.

Mudança de base[editar | editar código-fonte]

Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base a e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer:

Seja a função , podemos dizer que:

e que ,

como: ,

,

,

,

O que nos possibilita afirmar que:

,

ou

.

Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir por sendo z a base que substituirá e na análise anterior.

O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: a e b, podemos promover a troca das bases, de forma que:


Derivadas[editar | editar código-fonte]

A derivada da função logarítmica com base diferente de e pode ser feita por substituição da base. Considerando , temos que:

,

,

logo:

Que nos dá a derivada:



Trigonométricas I[editar | editar código-fonte]

A trigonometria, tal qual vista na matemática elementar, está relacionada com as relações métricas do triângulo retângulo e do ciclo trigonométrico, agora introduziremos o estudo infinitesimal das funções trigonométricas que são largamente utilizadas nas ciências exatas.

Conceitos básicos (Radianos)[editar | editar código-fonte]

Em um plano definido pelos eixos x e y podemos estabelecer coordenadas cartesianas para cada ponto, o que nos permite identificar cada um dos pontos em qualquer posição do plano, existe outra maneira de encontrar um ponto neste plano; se quisermos estabelecer uma relação triangular podemos determinar a posição de cada ponto no plano da seguinte forma:

Ciclotrig.png

Figura 5

Imagine que cada ponto está numa distãncia R do ponto em um plano cartesiano definido por pontos , da mesma forma a reta R, que é definida entre os pontos , forma um ângulo com o eixo x, que chamaremos de , note que podemos identificar qualquer dos pontos no plano a partir de uma reta R e um ângulo .

Observemos que R, quando fixa, é uma reta que determina um conjunto de pontos em torno do ponto , se fizermos variar em todos os valores possíveis teremos uma circunferência. Quando fazemos o valor de R variar teremos diferentes valores de x e y, porém a relação entre eles sempre será a mesma.

Curiosamente, há uma relação entre o perímetro do círculo e o seu diâmetro, ela se apresenta constante qualquer que seja o raio do círculo; o resultado desta relação é um número transcedental chamado PI, representado pela letra grega de mesmo nome: . Resgatando esta relação para a nossa análise podemos dizer que, se chamarmos o perímetro da circunferência, formada no gráfico, de e admitirmos um diâmetro de , então teremos:

Que resulta em:


Que é uma relação bastante esclarecedora, visto que nos mostra uma dependência linear entre o raio e o comprimento de um fio imaginário que pudesse ser usado para seguir o contorno da circunferência do gráfico. Se o raio for unitário teremos um valor de referência para l, que poderá ser usado para encontrar qualquer comprimento de circunferência no gráfico, bastando para isto multiplicá-lo pelo raio, este valor de referência está ligado à circunferência fechada. Por outro lado, se fizermos com que R se desloque de um ângulo nulo, ou seja, que saia do eixo x em direção a y, formando um ângulo , teremos pedaços de circunferência, que chamamos de arcos, considerando que temos um raio unitário e que percorremos um pedaço da circunferência para cada ângulo "" que tomamos, temos uma correspondência entre ângulo e arco, ou seja: podemos nos referir a arcos como unidades de ângulos, esta unidade angular é chamada de Radiano. Qualquer círculo forma radianos e todas as relações entre os pontos da circunferência que o contorna e os eixos cartesianos podem ser referenciadas como relações entre partes desta medida.

Como o radiano é uma medida real, isto nos leva a outra questão: O que determina o sinal negativo ou positivo neste valor?

Acontece uma variação destes valores quando nos deslocamos de um ponto a outro da circunferência, quando saimos do eixo x em direção ao ponto o ângulo cresce, portanto temos que concluir que é positivo, recuando-o ao encontro do eixo x os valores diminuem, portanto se ultrapassarmos o eixo x o valor deve ser menor que zero, nos revelando um ângulo negativo.

Seno e cosseno[editar | editar código-fonte]

Temos, portanto, uma circunferência dentro do plano cartesiano e seus pontos relacionados ao raio R e ao ângulo , são referenciados pelas variáveis x e y no mesmo plano, agora imaginemos funções para que seja possível a partir do raio e do ângulo encontrar as variáveis, estas funções são o seno e o cosseno.

A função seno, simbolizada como:


Nos dá o valor da variável y, ou seja, a altura do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo y, quando o raio R é unitário, caso não seja fazemos .

A função cosseno, simbolizada como:


Nos dá o valor da variável x, ou seja, a distância do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo xquando o raio R é unitário, caso não seja fazemos .

As funções seno e cosseno são periódicas, ou seja, pela natureza do ciclo trigonométrico, quando temos um valor em x maior que temos a representação de um ciclo completo mais um ângulo residual, na verdade o valor representa este ângulo residual, o que nos leva a constatação que sempre será calculado o valor do seno ou cosseno do resto da operação quando um ângulo maior que for sugerido para x.

Observações: Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da lingua portuguesa, também é possível encontrar, em outros livros, as notações ou para representação de seno e cosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.

Alguns valores de senos e cossenos de certos arcos são perfeitamente dedutíveis através da observação do ciclo, são eles:

Senos e cossenos notáveis
Ângulo 0
0 1 0 -1
1 0 -1 0

Observando o gráfico podemos também concluir que o sinal do seno é idêntico ao sinal do ângulo, enquanto que o cosseno não acompanha o sinal do ângulo, de forma que cossenos de ângulos negativos são iguais a cossenos dos valores absolutos dos ângulos, ou seja:

sendo ,



enquanto que:


Outros senos e cossenos podem ser obtidos pelas relações métricas no triângulo e são largamente utilizados, são:

Senos e cossenos mais comuns
Ângulo

Identidades (1)[editar | editar código-fonte]

As equações desta seção são conseqüência das características dos senos e cossenos, seu comportamento cíclico e sua relação com uma circunferência de raio unitário lhes conferem uma excelente operatividade, possibilitando-nos fácil intercâmbio entre as mesmas.

I-1 Identidade relacional básica[editar | editar código-fonte]

As funções seno e cosseno estão relacionadas pela equação:


Comprovação:

Observando o ciclo trigonométrico, temos um triângulo cujos catetos são: e e sua hipotenusa é 1, portanto a identidade é conseqüente do conhecido teorema de Pitágoras.

I-2 Cosseno da soma[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua soma é[1]:


Comprovação:

Nos pontos A e B do ciclo trigonométrico, temos os arcos para os ângulos a e b:

Soma sen cos.png

Figura 6

A distância entre os pontos P e (A+B) é igual à distância entre -A e B, o quadrado das duas é:

Da identidade básica:

Como e  :

O que comprova a identidade.

I-3 Cosseno da diferença[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua diferença é[2]:


Comprovação:

Do cosseno da soma:

Substituindo b por -b:

O que comprova a identidade.

I-4 Equivalência angular[editar | editar código-fonte]

Se o ângulo a é e b é x, então:

logo:


Por outro lado, se:

e

, obtemos:


I-5 Seno da soma[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o seno de sua soma é[3]:


Comprovação:

Sendo e , temos:

O que comprova a identidade.

I-6 Seno da diferença[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o seno de sua diferença é[1]:


Comprovação:

Se ,

Substituindo b por -b, temos:

e enquanto que , logo:

O que comprova a identidade.

I-7 Produto de dois senos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o produto de seus senos é[4]:


Comprovação:

Considerando a identidade do cosseno da diferença de dois ângulos e subtraindo de cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da soma de dois ângulos:

O que comprova a identidade.

I-8 Produto de dois cossenos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o produto de seus cossenos é[5]:


Comprovação:

Considerando a identidade do cosseno da soma de dois ângulos e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da diferença de dois ângulos:

O que comprova a identidade.

I-9 Produto de seno e cosseno[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos a e b, o produto do seno de a pelo cosseno de b é[6]:


Comprovação:

Considerando a identidade do seno da soma de dois ângulos e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do seno da diferença de dois ângulos:

O que comprova a identidade.

I-10 Soma de dois senos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos p e q, a soma dos senos de p e de q é:


Comprovação:

Podemos dizer que:

substituindo na identidade:

O que comprova a identidade.

I-11 Soma de dois cossenos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos p e q, a soma dos cossenos de p e de q é:


Comprovação:

Seguindo a analogia anterior:

O que comprova a identidade.

I-12 Diferença de dois senos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos p e q, a diferença dos senos de p e de q é:


Comprovação:

substituindo q por -q em:

O que comprova a identidade.

I-13 Diferença de dois cossenos[editar | editar código-fonte]

Sejam os ângulos p e q, a diferença dos cossenos de p e de q é:


Comprovação:

substituimos q e q, por e em:

O que comprova a identidade.

Limíte trigonométrico fundamental[editar | editar código-fonte]

Precisaremos de um limite fundamental nas próximas seções, se trata de um limite que é utilizado na dedução das derivadas do seno e do cosseno, faremos sua dedução nesta seção. Considere o ciclo trigonométrico representado a seguir:

Limite sen.png

Figura 7

A figura 7 mostra a representação de um ângulo no ciclo trigonométrico, o nosso propósito é deduzir o seguinte limite:


Para isto, imagine o triângulo inscrito na circunferência, podemos dizer que o segmento de reta n é uma aproximação grosseira do arco , porém observe que quando o ângulo se aproxima de zero o segmento se torna mais parecido com o respectivo ângulo, algébricamente podemos expressar que:

Por outro lado façamos o cálculo do valor do n; observando o triângulo podemos dizer que:

Logo:

Simplificando temos:

Voltando para o nosso limite, temos que usar as nossas equações anteriores desta forma:

Substituindo o valor do seno no lado da equação relaciondado ao n, teremos:

O que nos leva ao resultado:


A interpretação desse limite é a seguinte:

Uma vez que o ângulo diminui até valores próximos de zero e o arco tende a se assemelhar a uma reta em regiões próximas do zero, o valor do seno é igual ao valor do arco no limite, quando o seu valor se aproxima de ser nulo.

Derivada do seno[editar | editar código-fonte]

Agora podemos verificar qual a variação da função seno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao seno, temos:

Aplicando o seno da soma:

Aplicando os limites:

Temos, então, o limite fundamental que é igual a 1, logo:


Derivada do cosseno[editar | editar código-fonte]

Também podemos verificar qual a variação da função cosseno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao cosseno, temos:

Aplicando o seno da soma:

Aplicando os limites:

Novamente temos o limite fundamental, logo:


Integral do seno[editar | editar código-fonte]

Como conseqüência do resultado da derivada do seno, podemos deduzir que a sua integral, como operação inversa é:


Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação, conforme já estudamos anteriormente.

Integral do cosseno[editar | editar código-fonte]

Segundo o mesmo princípio colocado no caso da integral do seno, podemos afirmar que a operação de integração do cosseno é definida por:


Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. 1,0 1,1 Ver também no Wolfram Alpha
  2. Ver também no Wolfram Alpha
  3. Ver também no Wolfram Alpha
  4. Ver também no Wolfram Alpha
  5. Ver também no Wolfram Alpha
  6. Ver também no Wolfram Alpha