Cálculo (Volume 1)/Derivadas

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Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos. Trata-se da derivação, um processo destinado a analisar as variações no comportamento de um conjunto de dados numéricos, largamente utilizado hoje em dia.

Vamos criar os conceitos, desde o início, para entender como estão fundamentados os princípios de derivação. Com estes teremos meios de analisar vários problemas sob a ótica infinitesimal (das pequenas variações).


Introdução (coeficientes angulares)[editar | editar código-fonte]

Seja uma reta definida pelos pontos e Existe uma relação entre as coordenadas dos dois pontos que expressa a inclinação da reta;

Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte razão:

O resultado desta relação é um número que expressa quanto a reta está inclinada comparada com o eixo x (da variável independente), pois quanto maior for o coeficiente angular de uma reta, mais próximo ela estará de ser uma reta vertical.

O coeficiente m é constante para qualquer segmento de uma reta fixada, e é visivelmente igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x.

Agora imagine o que teríamos se ao invés de uma reta tivéssemos uma curva... Em uma função para a qual os pontos do gráfico não acompanham uma linha reta, geralmente temos diferentes valores de m para cada par de pontos que tomamos para fazer o seu cálculo. Isto se deve ao fato de que a inclinação varia ao longo da curva, o que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um m diferente.

Considerando uma função teríamos sobre o seu gráfico os pontos:

Podemos denotar a distância de até por , e deste modo:

Logo, teríamos:

Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta ligando um ponto a outro estabelecida pela distância que nos fornece: Imaginando que o gráfico da função seja uma "curva suave", podemos, a partir da equação anterior, encontrar os valores de m e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuímos o módulo de a equação se torna mais precisa, no sentido de fornecer uma melhor aproximação para o coeficiente angular de um pequeno trecho da curva, pois cada segmento que é analisado se torna menor, logo temos condições de analisar mais segmentos da curva.


Definição[editar | editar código-fonte]

Imaginemos que para cada par de pontos tenhamos uma reta, com seu respectivo coeficiente angular , como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar a declividade a cada ponto da curva...

Observe a figura a seguir, que mostra o gráfico da função e algumas retas secantes, passando pelo ponto onde e :

Retas secantes ao gráfico de uma função.svg Figura 2

Podemos constatar que a função tem as seguintes características:

  • A função f(x), expressa pelo gráfico, apresenta uma sinuosidade no intervalo entre e
  • A função não apresenta qualquer ruptura ou salto neste intervalo.

Dada uma sequência de pontos cada vez mais próximos de , traçamos as retas , partindo do ponto fixado e passando pelos pontos correspondentes na sequência. Desta forma, podemos observar que, no caso da sequência apresentada na ilustração:

  • A reta possui uma inclinação maior que ;
  • Esta última possui uma inclinação maior que ;

Além disso, observamos ainda que:

  • Quase não se consegue distinguir a reta do gráfico da função nas vizinhanças do valor de seu domínio, ou seja, esta reta parece uma boa aproximação da função em torno de

O que é importante saber é que os valores das inclinações das retas secantes se aproximam da inclinação de uma "reta tangente" ao gráfico da própria função no ponto a medida que diminui a distância entre um ponto da sequência e seu limite

Vemos então que uma maneira de tornar a inclinação da reta mais próxima da inclinação da função é diminuir a distância entre os pontos até o limite de sua aproximação, ou seja, se tomarmos uma sequência de pontos que ficam cada vez mais perto de , o resultado é que a partir de algum momento, os pontos tomados para o cálculo de m estarão tão próximos que cada um se tornará quase idêntico ao seguinte. Uma vez que se obteve um valor de m para cada ponto da sequência, gostaríamos de definir a inclinação de em , ou para ser mais preciso, a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto como sendo o limite:

Uma vez que tenhamos um valor deste limite para cada valor de de um certo conjunto, podemos criar uma nova função, que chamamos de função derivada de f, associando cada deste conjunto (o domínio da função derivada) com o correspondente (a inclinação de f neste ponto x). A nova função é obtida através dos valores de esse artifício de criar uma função que nos dá a declividade de uma outra função em cada ponto é chamado de derivação, uma vez que criamos uma função que é a derivada da primeira.

A diferença entre os valores de e quando levada ao limite próximo de zero, também é chamada de diferencial e a diferença entre os valores de e quando o diferencial é levado ao limite, é chamada de diferencial :

Por este motivo, esta operação é chamada de diferenciação, pois se refere à criação de variáveis diferenciais (usando as diferenças entre e ), neste caso e


Diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

Para que as diferenciais e por consequência, a derivada de uma função em um determinado ponto possam existir, certas condições devem ser cumpridas pela função. Verifica-se a partir da definição de que:

  • Em primeiro lugar, o limite da função no ponto deve existir (verifique!);
  • A função deve estar definida no ponto e seu valor ser igual ao limite;

Isso nos lembra a definição de continuidade. De fato, as condições acima significam que quando a função é diferenciável em um ponto, ela é também contínua no ponto.

O fato de funções derivadas serem contínuas se deve a existência do limite e do valor da função no ponto, uma vez que torna-se possível a existência do nestes casos.

Portanto, podemos em primeiro lugar verificar a continuidade de uma função para sabermos se há possibilidade da mesma ser diferenciável: se esta não for contínua temos condições de afirmar que a mesma não é diferenciável.


Regras básicas[editar | editar código-fonte]

Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas são consequências da definição e podem ser facilmente demonstradas através do limite que aparece na definição e dos teoremas sobre limites de funções.

T7 - Soma e subtração[editar | editar código-fonte]

DandelinSpheres.png
Derivada da soma e subtração
Seja a função sua derivada é:

Demonstração:

Pela definição temos:

e portanto:

T8 - Multiplicação[editar | editar código-fonte]

DandelinSpheres.png
Derivada da multiplicação
Seja a função então sua derivada é:

Demonstração:

Pela definição temos:

Somamos e subtraímos na equação anterior:

e portanto:

T9 - Razão[editar | editar código-fonte]

DandelinSpheres.png
Derivada da razão
Seja a função então sua derivada é:

Demonstração:

Pela definição temos:

Podemos lançar mão de mais um artifício algébrico e somar e subtrair o que nos dá:

Depois que aplicamos os limites, resulta em:

T10 - Natureza algébrica das diferenciais[editar | editar código-fonte]

DandelinSpheres.png
Natureza algébrica das diferenciais
Se existe, suas diferenciais podem ser tratadas como duas variáveis com características operacionais algébricas.

Seja e as diferenciais de sua derivada é:

Seja e as diferenciais de quando sua derivada é Então:

Demonstração:

Pelo teorema da razão do limite:

O que nos dá a possibilidade de fazer:

Desta forma, os operadores e são limites e podem ser operados como tal, de forma que, obedecendo às regras das operações algébricas dos limites, podem ser separados.

T11 - Regra da cadeia[editar | editar código-fonte]

DandelinSpheres.png
Regra da cadeia
Seja a função composta sua derivada pode ser calculada por:

A função composta nos dá a possibilidade de generalizar diversas funções, permitindo a sua simplificação, a sua derivada pode ser conseguida pela relação

Que pode ser verificada quase que imediatamente através das propriedades algébricas das diferenciais, de qualquer forma podemos demonstrá-la como segue:

Para simplificar a interpretação do conteúdo, usaremos a notação de derivada em relação à variável dependente; nesta notação colocamos um D e um sobescrito da variável dependente, ou seja, o símbolo indica a derivada de z em relação a sua variável t.

Adotando esta notação para as derivadas, temos:

queremos e sabemos que para isso teríamos:

Quando ocorre que pois as duas funções são contínuas e u depende de x, logo:

então:


Derivadas algébricas simples[editar | editar código-fonte]

Podemos deduzir, a partir das regras comuns e da definição, equações que determinam a derivada para as funções mais comuns, adiante temos uma amostra destas equações e suas demonstrações.

T12 - constante[editar | editar código-fonte]

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Derivada da constante
Seja a função onde c é constante e portanto, independente de x, é demonstrável que sua derivada é nula, pois não existe variação do valor da função;

Conforme constatamos:


T13 - fator[editar | editar código-fonte]

DandelinSpheres.png
Derivada da função com fator
Seja a função onde c é um fator constante e portanto, independente de x, é demonstrável que:
Demonstração

Façamos o cálculo pela definição:

Admitindo, inicialmente, que o ponto onde pretendemos encontrar a derivada tem e , logo:


O que nos afirma a validade do teorema.

T14 - Variável com expoente constante[editar | editar código-fonte]

DandelinSpheres.png
Derivada da função com expoente constante.
Seja a função onde é uma constante positiva e sua derivada é:

Demonstração:

Temos pela definição:

Considerando o limite, temos:

Como única parte relevante, pois todas as outras terão valores nulos no limite, isto prova o teorema.

Diferenciação implícita[editar | editar código-fonte]

Considerando que as diferenciais podem ser tratadas separadamente e que temos meios para tratar ambas as variáveis de uma equação, a partir da regra da cadeia, temos instrumentos para diferenciar qualquer equação que represente uma função contínua. O método de diferenciação implícita é muito útil como meio de simplificar a resolução de diferenciais onde a variável dependente é de órdem superior.

A idéia mestra deste mecanismo é tornar implícito o conteúdo da variável, sem que seja necessária a sua substituição por equivalente algébrico antes da resolução; Vejamos um exemplo para simplificar a explanação:

A função é realmente complicada para ser diferenciada pelos métodos que vimos até agora, porém podemos esquecer a resolução da equação e considerar que a diferenciação pode, implicitamente, ser operada diretamente na equação inteira, desta forma:

A partir desta equação podemos operar as diferenciais algebricamente para encontrar o valor da derivada

A equação que representa a função apresenta dois valores possíveis para y:

O que nos dá duas derivadas, quando substituímos o valor de y na sua derivada:

Simplificando:

Desta forma podemos encontrar qualquer diferencial implicitamente, reduzindo a complexidade na aplicação das regras de derivação.