Análise real/Série
Definição de série[editar | editar código-fonte]
Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência , têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:
- Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência
Dada uma sequência , como somaremos todos os seus termos? vamos tomar como uma sequência de soma dos termos de . Assim:
- , ,
Convergência de uma série[editar | editar código-fonte]
Teste do termo geral[editar | editar código-fonte]
Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.
Se é uma série convergente então
- Demonstração
tomando limites, temos:
- Observação
A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica que não é convergente[1], apesar de seu termo geral convergir para zero [2].
Propriedades de séries[editar | editar código-fonte]
Seja convergentes. Pelas propriedades de soma e produto
- converge para a + b
- converge para ta
- converge para ab
- converge para p.
- Se
Exemplos[editar | editar código-fonte]
Série geométrica[editar | editar código-fonte]
A série geométrica é a é formada por termos em progressão geométrica:
Da teoria das progressões geométricas, temos que:
É facil ver que se então esta série é convergente e sua soma é dada por:
Por outro lado, se , esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.
De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:
Onde "a" é o termo inicial da série.
Notas[editar | editar código-fonte]
- ↑ Veja, por exemplo, esta página
- ↑ Conforme se vê nesta página