Álgebra abstrata/Monóides

Monóide

Definição geral: Monóide é um conjunto com a propriedade associativa e uma unidade.

Monóide

Um Monóide é um triplo $(M,\cdot ,1)\;$ na qual M é um conjunto não-vazio, $\cdot$ é uma composição binária associativa em M e 1 é um elemento unidade de M tal que $1\cdot a=a=a\cdot 1\;$ para todo a em M.

Se retirarmos a hipótese que $\cdot \;$ é associativo temos um Monad. Ou se tirarmos a hipótese que possui uma unidade 1, teremos um conjunto com uma composição binária ao qual chamamos de semi-grupo. Assim Monóide é um semi-grupo com unidade.

Um monóide é dito finito se ele possui uma número finito de elementos.

Exemplo 1 de Monóide

Seja M(S) o conjunto de todas as aplicações de S em si mesma; $1_{S}:S\mapsto S(s\mapsto s),s\in S$ uma aplicação identidade.

Exemplo: Seja $\alpha ,\beta ,\gamma :S\mapsto S\;e\;S=\{1,2\};$

$M(S)={\Bigg \{}1_{S}={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}}{\Bigg \}},\;{\begin{array}{|c|cccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\alpha &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\beta &\beta &\beta &\beta &\beta \\\gamma &\gamma &\gamma &\gamma &\gamma \\\hline \end{array}}$

M(S) é um exemplo de um monóide, que é um conjunto não-vazio, com uma composição binária associativa e uma unidade. M(S) é o monóide de todas as transformações do conjunto S.

Exemplo 2 de Monóide

$(\mathbb {N} ,+,0),(\mathbb {N} ,\cdot ,1),(\mathbb {I} ,\cdot ,1),(\mathbb {Z} ,+,0),(P(S),\cup ,\varnothing ),(P(S),\cap ,S)\;$

em que $\mathbb {I} \,$ é o conjunto dos números naturais ímpares e P(S) é o conjunto das partes de S.

Fechado

Seja $(N,\cdot ,1)$ e $(M,\cdot ,1)$. Quando dizemos que N é fechado sobre o produto em M significa que $n_{1}\cdot n_{2}\in N,\;\forall \;n_{1},n_{2}\in N$.

Exemplo da expressão N é fechado sobre o produto em M.

no monóide $(\mathbb {N} ,+,0)$, o subconjunto dos números pares é fechado sobre a operação binária, mas o subconjunto dos números ímpares não é.

Submonóide

Um conjunto N é um Submonóide de M, se (i) N é um subconjunto do monóide M, (ii) N contém a unidade de M e (iii) N é fechado sobre o produto em M

Exemplos de Submonóide, sendo $\mathbb {I} \,$ o conjunto dos números naturais ímpares:

$(\mathbb {I} ,\cdot ,1)$ é um submonóide de $(\mathbb {N} ,\cdot ,1)$, por sua vez, é um submonóide de $(\mathbb {Z} ,\cdot ,1)$

Monóide e grupo de transformação

Monóide de Transformação

Um submonóide do monóide M(S) é chamado de monóide de transformação (de S).

Ordem de um monóide

É a cardinalidade do monóide.

Exemplo: M(S)

Exemplo: Seja S= {-1,0,1,}, qual é a ordem de $M(S)$ e de Sim S?

$M(S)={\Bigg \{}\chi ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}},\rho ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}},\epsilon ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}$

${\Bigg \{}\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}},1_{S}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}},\sigma ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&-1\end{pmatrix}},...\psi ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}$

Exemplo: U(M(S))

$U(M(S))={\Bigg \{}1_{S}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}$

${\Bigg \{}\delta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}},\theta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&0&-1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}\;{\begin{array}{|c|cccccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma &\delta &\theta \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma &\delta &\theta \\\alpha &\alpha &1_{S}&\delta &\theta &\beta &\gamma \\\beta &\beta &\gamma &1_{S}&\alpha &\theta &\delta \\\delta &\delta &\theta &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\gamma &\gamma &\beta &\theta &\delta &1_{S}&\alpha \\\theta &\theta &\delta &\gamma &\beta &\alpha &1_{S}\\\hline \end{array}}$.

Teorema

Se dado um monóide de todas as transformação de S(não-vazio), cuja ordem de S seja n, a ordem de M(S) é nⁿ. E se tomarmos somente os elementos inversíveis de M(S), ou seja, Sim S = U(M(S)), então sua ordem é n!.