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Álgebra abstrata/Monóides e grupos

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Monóide e Grupo

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Definição geral: Monóide é um conjunto com a propriedade associativa e uma unidade, enquanto Grupo é um monóide ao qual todos os elementos têm inversos relativos a unidade.

Um Monóide é um triplo na qual M é um conjunto não-vazio, é uma composição binária associativa em M e 1 é um elemento unidade de M tal que para todo a em M.

Se retirarmos a hipótese que é associativo temos um Monad. Ou se tirarmos a hipótese que possui uma unidade 1, teremos um conjunto com uma composição binária ao qual chamamos de semi-grupo. Assim Monóide é um semi-grupo com unidade.

Um monóide é dito finito se ele possui uma número finito de elementos.

Exemplo 1 de Monóide

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Seja M(S) o conjunto de todas as aplicações de S em si mesma; uma aplicação identidade.

Exemplo: Seja

M(S) é um exemplo de um monóide, que é um conjunto não-vazio, com uma composição binária associativa e uma unidade. M(S) é o monóide de todas as transformações do conjunto S.

Exemplo 2 de Monóide

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em que é o conjunto dos números naturais ímpares e P(S) é o conjunto das partes de S.

Seja e . Quando dizemos que N é fechado sobre o produto em M significa que .

Exemplo da expressão N é fechado sobre o produto em M.

no monóide , o subconjunto dos números pares é fechado sobre a operação binária, mas o subconjunto dos números ímpares não é.

Um conjunto N é um Submonóide de M, se (i) N é um subconjunto do monóide M, (ii) N contém a unidade de M e (iii) N é fechado sobre o produto em M

Exemplos de Submonóide, sendo o conjunto dos números naturais ímpares:

é um submonóide de , por sua vez, é um submonóide de

Seja um monóide . Um elemento u de M é dito inversível se existe um v em M, tal que, . Chamamos v de inverso de u e escrevemos . No caso em que a operação binária for representada pelo símbolo de soma, +, representa-se o inverso por .

Um grupo G ( ou seja, ) é um monóide que têm todos os seus elementos inversíveis.

Grupo também pode ser definido como um triplo na qual M é um conjunto não-vazio, é uma composição binária associativa em M, 1 é um elemento unidade de M tal que para todo a em M e para todo u, existe um v tal que .

Em resumo, seja . G é um grupo multiplicativo com unidade 1 quando:

(existe unidade)
(fechado para multiplicação)
(todo elemento possui inverso)
(composição binária associativa)

Um submonóide de um monóide (em particular, um grupo), é um sub-grupo se é um grupo.

Seja M um grupo e G um subconjunto de M. G é um sub-grupo de M se: (i) 1 está em G, (ii) G é fechado sobre o produto em M (iii)

Nota-se que para todo grupo , se M é um subconjunto de G, é fechada em M e existe um elemento 1' de M tal que seja um grupo, então 1 = 1' . Esta propriedade não vale para monóides, conforme exercício abaixo:

Exercício: Sejam S e T conjuntos de forma que S é um subconjunto próprio de T. Mostre que:

  1. e são monóides
  2. P(S) é um subconjunto de P(T)
  3. a operação de interseção em P(T), quando aplicada a elementos de P(S), retorna um elemento de P(S) (fechamento)
  4. as identidades nos dois monóides são diferentes

Grupo Comutativo (Abeliano)

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Um grupo é dito comutativo se dado dois elementos do grupo, a operação p entre eles de ambos os lados são iguais, i é, seja , onde .

Monóide e grupo de transformação

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Monóide de Transformação

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Um submonóide do monóide M(S) é chamado de monóide de transformação (de S).

Ordem de um monóide

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É a cardinalidade do monóide.

Grupos de Transformação

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Seja U(M) o conjunto dos elementos inversíveis do monóide M. Assim se p(u, v) = 1, u,v estão em U(M), Como , 1 está em U(M). U(M) é um submonóide de M. Nós podemos chamar U(M) de grupo dos elementos invertíveis de M, ou de grupo das unidades de M.

Exemplo: Se , se

Seja M(S) um monóide de transformação de um conjunto não vazio. U(M(S)) é o grupo dos elementos inversíveis de M(S). Vejamos o elemento dado no começo dessa página.

vemos que são inversíveis e fechado para a composição, assim U(M(S)) = . U(M(S)) é chamado de grupo de transformação (de S).

Exemplo: M(S)

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Exemplo: Seja S= {-1,0,1,}, qual é a ordem de e de Sim S?

Exemplo: U(M(S))

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.

Se dado um monóide de todas as transformação de S(não-vazio), cuja ordem de S seja n, a ordem de M(S) é nn. E se tomarmos somente os elementos inversíveis de M(S), ou seja, Sim S = U(M(S)), então sua ordem é n!.

Grupo de Transformação

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Def. Um subgrupo de um U(M(S)) (grupo simétrico de S) se chamará grupo de transformação. Um grupo G de transformação de um conjunto D é um grupo de transformação se, e somente se, consiste de aplicações bijetivas (i é,possui aplicações inversas) e G têm as propriedades de fechamento:

Teoria de Grupo

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Acima consideramos que todas as transformações de U(M(S)) são bijetivas, agora vamos provar esse fato.

Teorema 1: Uma transformação de U(M(S)) é injetiva se, e somente se têm inverso à direita. É sobrejetiva se, e somente se, têm inverso à esquerda.

i) Se têm inverso à direita , assim e implica que:
logo
ii)Se têm inverso à esquerda , assim temos que:

Corolário 1: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja
Como
Logo

Corolário 2: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja
Como
Logo

Como , temos que a inversa da inversa de uma transformação é ela própria.

Teorema 2: O conjunto de todas as bijeções de um espaço qualquer S sobre S é um grupo de transformações

Teorema 3: Seja , então

Teoria de Subgrupo

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Seja T um subconjunto de um grupo S. Se T é um subgrupo de S, então T é fechado pro operador de S e todo elemento tem inversa em T