Definição geral: Monóide é um conjunto com a propriedade associativa e uma unidade, enquanto Grupo é um monóide ao qual todos os elementos têm inversos relativos a unidade.
Um Monóide é um triplo
na qual M é um conjunto não-vazio,
é uma composição binária associativa em M e 1 é um elemento unidade de M tal que
para todo a em M.
Se retirarmos a hipótese que
é associativo temos um Monad. Ou se tirarmos a hipótese que possui uma unidade 1, teremos um conjunto com uma composição binária ao qual chamamos de semi-grupo. Assim Monóide é um semi-grupo com unidade.
Um monóide é dito finito se ele possui uma número finito de elementos.
Seja M(S) o conjunto de todas as aplicações de S em si mesma;
uma aplicação identidade.
- Exemplo: Seja

M(S) é um exemplo de um monóide, que é um conjunto não-vazio, com uma composição binária associativa e uma unidade. M(S) é o monóide de todas as transformações do conjunto S.

em que
é o conjunto dos números naturais ímpares e P(S) é o conjunto das partes de S.
Seja
e
. Quando dizemos que N é fechado sobre o produto em M significa que
.
Exemplo da expressão N é fechado sobre o produto em M.
- no monóide
, o subconjunto dos números pares é fechado sobre a operação binária, mas o subconjunto dos números ímpares não é.
Um conjunto N é um Submonóide de M, se (i) N é um subconjunto do monóide M, (ii) N contém a unidade de M e (iii) N é fechado sobre o produto em M
Exemplos de Submonóide, sendo
o conjunto dos números naturais ímpares:
é um submonóide de
, por sua vez, é um submonóide de 
Seja um monóide
. Um elemento u de M é dito inversível se existe um v em M, tal que,
. Chamamos v de inverso de u e escrevemos
. No caso em que a operação binária
for representada pelo símbolo de soma, +, representa-se o inverso por
.
Um grupo G ( ou seja,
) é um monóide que têm todos os seus elementos inversíveis.
Grupo também pode ser definido como um triplo
na qual M é um conjunto não-vazio,
é uma composição binária associativa em M, 1 é um elemento unidade de M tal que
para todo a em M e para todo u, existe um v tal que
.
Em resumo, seja
. G é um grupo multiplicativo com unidade 1 quando:
(existe unidade)
(fechado para multiplicação)
(todo elemento possui inverso)
(composição binária associativa)
Um submonóide de um monóide (em particular, um grupo), é um sub-grupo se é um grupo.
Seja M um grupo e G um subconjunto de M. G é um sub-grupo de M se: (i) 1 está em G, (ii) G é fechado sobre o produto em M (iii)
Nota-se que para todo grupo
, se M é um subconjunto de G,
é fechada em M e existe um elemento 1' de M tal que
seja um grupo, então 1 = 1' . Esta propriedade não vale para monóides, conforme exercício abaixo:
Exercício: Sejam S e T conjuntos de forma que S é um subconjunto próprio de T. Mostre que:
e
são monóides
- P(S) é um subconjunto de P(T)
- a operação de interseção em P(T), quando aplicada a elementos de P(S), retorna um elemento de P(S) (fechamento)
- as identidades nos dois monóides são diferentes
Um grupo é dito comutativo se dado dois elementos do grupo, a operação p entre eles de ambos os lados são iguais, i é, seja
, onde
.
Um submonóide do monóide M(S) é chamado de monóide de transformação (de S).
É a cardinalidade do monóide.
Seja U(M) o conjunto dos elementos inversíveis do monóide M. Assim se p(u, v) = 1, u,v estão em U(M), Como
, 1 está em U(M). U(M) é um submonóide de M. Nós podemos chamar U(M) de grupo dos elementos invertíveis de M, ou de grupo das unidades de M.
- Exemplo: Se
, se 
Seja M(S) um monóide de transformação de um conjunto não vazio. U(M(S)) é o grupo dos elementos inversíveis de M(S). Vejamos o elemento dado no começo dessa página.
- vemos que
são inversíveis e fechado para a composição, assim U(M(S)) =
. U(M(S)) é chamado de grupo de transformação (de S).
Exemplo: Seja S= {-1,0,1,}, qual é a ordem de
e de Sim S?

.
Se dado um monóide de todas as transformação de S(não-vazio), cuja ordem de S seja n, a ordem de M(S) é nn. E se tomarmos somente os elementos inversíveis de M(S), ou seja, Sim S = U(M(S)), então sua ordem é n!.
Def. Um subgrupo de um U(M(S)) (grupo simétrico de S) se chamará grupo de transformação. Um grupo G de transformação de um conjunto D é um grupo de transformação se, e somente se, consiste de aplicações bijetivas (i é,possui aplicações inversas) e G têm as propriedades de fechamento:




Acima consideramos que todas as transformações de U(M(S)) são bijetivas, agora vamos provar esse fato.
Teorema 1: Uma transformação de U(M(S)) é injetiva se, e somente se têm inverso à direita. É sobrejetiva se, e somente se, têm inverso à esquerda.
- i) Se
têm inverso à direita
, assim
e
implica que:

- logo

- ii)Se
têm inverso à esquerda
, assim
temos que:

Corolário 1: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.
- Seja

- Como

- Logo

Corolário 2: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.
- Seja

- Como

- Logo

Como
, temos que a inversa da inversa de uma transformação é ela própria.
Teorema 2: O conjunto de todas as bijeções de um espaço qualquer S sobre S é um grupo de transformações
Teorema 3: Seja
, então
Seja T um subconjunto de um grupo S. Se T é um subgrupo de S, então T é fechado pro operador de S e todo elemento tem inversa em T