Álgebra abstrata/Grupos

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Grupo[editar | editar código-fonte]

Seja um monóide . Um elemento u de M é dito inversível se existe um v em M, tal que, . Chamamos v de inverso de u e escrevemos . No caso em que a operação binária for representada pelo símbolo de soma, +, representa-se o inverso por .

Um grupo G ( ou seja,  ) é um monóide que têm todos os seus elementos inversíveis.

Grupo também pode ser definido como um triplo na qual M é um conjunto não-vazio, é uma composição binária associativa em M, 1 é um elemento unidade de M tal que para todo a em M e para todo u, existe um v tal que .

Em resumo, seja . G é um grupo multiplicativo com unidade 1 quando:

(existe unidade)
(fechado para multiplicação)
(todo elemento possui inverso)
(composição binária associativa)

Subgrupo[editar | editar código-fonte]

Um submonóide de um monóide (em particular, um grupo), é um sub-grupo se é um grupo.

Seja M um grupo e G um subconjunto de M. G é um sub-grupo de M se: (i) 1 está em G, (ii) G é fechado sobre o produto em M (iii)

Nota-se que para todo grupo , se M é um subconjunto de G, é fechada em M e existe um elemento 1' de M tal que seja um grupo, então 1 = 1' . Esta propriedade não vale para monóides, conforme exercício abaixo:

Exercício: Sejam S e T conjuntos de forma que S é um subconjunto próprio de T. Mostre que:

  1. e são monóides
  2. P(S) é um subconjunto de P(T)
  3. a operação de interseção em P(T), quando aplicada a elementos de P(S), retorna um elemento de P(S) (fechamento)
  4. as identidades nos dois monóides são diferentes

Grupo Comutativo (Abeliano)[editar | editar código-fonte]

Um grupo é dito comutativo se dado dois elementos do grupo, a operação p entre eles de ambos os lados são iguais, i é, seja , onde .

Grupo de transformação[editar | editar código-fonte]

Seja U(M) o conjunto dos elementos inversíveis do monóide M. Assim se , u,v estão em U(M), Como , 1 está em U(M). U(M) é um submonóide de M. Nós podemos chamar U(M) de grupo dos elementos invertíveis de M, ou de grupo das unidades de M.

Exemplo: Se , se

Seja M(S) um monóide de transformação de um conjunto não vazio. U(M(S)) é o grupo dos elementos inversíveis de M(S). Vejamos o elemento dado no começo dessa página.

vemos que são inversíveis e fechado para a composição, assim U(M(S)) = . U(M(S)) é chamado de grupo de transformação (de S).


Def. Um subgrupo de um U(M(S)) (grupo simétrico de S) se chamará grupo de transformação. Um grupo G de transformação de um conjunto D é um grupo de transformação se, e somente se, consiste de aplicações bijetivas (i é,possui aplicações inversas) e G têm as propriedades de fechamento:

Teoria de Grupo[editar | editar código-fonte]

Acima consideramos que todas as transformações de U(M(S)) são bijetivas, agora vamos provar esse fato.

Teorema 1: Uma transformação de U(M(S)) é injetiva se, e somente se têm inverso à direita. É sobrejetiva se, e somente se, têm inverso à esquerda.

i) Se têm inverso à direita , assim e implica que:
logo
ii)Se têm inverso à esquerda , assim temos que:

Corolário 1: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja
Como
Logo

Corolário 2: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja
Como
Logo

Como , temos que a inversa da inversa de uma transformação é ela própria.

Teorema 2: O conjunto de todas as bijeções de um espaço qualquer S sobre S é um grupo de transformações

Teorema 3: Seja , então

Teoria de Subgrupo[editar | editar código-fonte]

Seja T um subconjunto de um grupo S. Se T é um subgrupo de S, então T é fechado pro operador de S e todo elemento tem inversa em T