Álgebra abstrata/Grupos

Grupo

Seja um monóide $(G,\cdot ,1)\;$. Um elemento u de M é dito inversível se existe um v em M, tal que, $u\cdot v=1\;$. Chamamos v de inverso de u e escrevemos $v=u^{-1}\;$. No caso em que a operação binária $\cdot \;$ for representada pelo símbolo de soma, +, representa-se o inverso por $v=-u\;$.

Um grupo G ( ou seja, $(G,\cdot ,1)\;$ ) é um monóide que têm todos os seus elementos inversíveis.

Grupo também pode ser definido como um triplo $(M,\cdot ,1)\;$ na qual M é um conjunto não-vazio, $\cdot \;$ é uma composição binária associativa em M, 1 é um elemento unidade de M tal que $1\cdot a=a=a\cdot 1\;$ para todo a em M e para todo u, existe um v tal que $u\cdot v=1\;$.

Em resumo, seja $(G,\cdot ,1)\;$. G é um grupo multiplicativo com unidade 1 quando:

$\exists 1\in G\;tal\;que\;1\cdot g=g\cdot 1=g\;\forall \;g\in G$ (existe unidade)

$g_{1},g_{2}\in G\implies g_{1}\cdot g_{2}\in G$ (fechado para multiplicação)

$\forall \;g\in G\;\exists g^{-1}\;tal\;que\;g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=1$ (todo elemento possui inverso)

$g_{1}.g_{2},g_{3}\in G\;\implies g_{1}\cdot (g_{2}\cdot g_{3})=(g_{1}\cdot g_{2})\cdot g_{3}$ (composição binária associativa)

Subgrupo

Um submonóide de um monóide (em particular, um grupo), é um sub-grupo se é um grupo.

Seja M um grupo e G um subconjunto de M. G é um sub-grupo de M se: (i) 1 está em G, (ii) G é fechado sobre o produto em M (iii)

Nota-se que para todo grupo $(''G'',''\cdot '',''1'')\;$, se M é um subconjunto de G, $\cdot \;$ é fechada em M e existe um elemento 1' de M tal que $(''M'',''\cdot '',''1''')\;$ seja um grupo, então 1 = 1' . Esta propriedade não vale para monóides, conforme exercício abaixo:

Exercício: Sejam S e T conjuntos de forma que S é um subconjunto próprio de T. Mostre que:

1. $(P(S),\cap ,S)\,$ e $(P(T),\cap ,T)\,$ são monóides
2. P(S) é um subconjunto de P(T)
3. a operação de interseção em P(T), quando aplicada a elementos de P(S), retorna um elemento de P(S) (fechamento)
4. as identidades nos dois monóides são diferentes

Grupo Comutativo (Abeliano)

Um grupo é dito comutativo se dado dois elementos do grupo, a operação p entre eles de ambos os lados são iguais, i é, seja $u,v\in (G,\cdot ,1)\;$, onde $u\cdot v\;=\;v\cdot u$.

Grupo de transformação

Seja U(M) o conjunto dos elementos inversíveis do monóide M. Assim se $u\cdot v=1\;$, u,v estão em U(M), Como $1\cdot 1=1\;$, 1 está em U(M). U(M) é um submonóide de M. Nós podemos chamar U(M) de grupo dos elementos invertíveis de M, ou de grupo das unidades de M.

Exemplo: Se $M=(\mathbb {Z} ,\cdot ,1),\;U(M)={1,-1}$, se $M=(\mathbb {N} ,\cdot ,1),\;U(M)={1}$

Seja M(S) um monóide de transformação de um conjunto não vazio. U(M(S)) é o grupo dos elementos inversíveis de M(S). Vejamos o elemento dado no começo dessa página. $M(S)={\Bigg \{}1_{S}={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}}{\Bigg \}},\;{\begin{array}{|c|cccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\alpha &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\beta &\beta &\beta &\beta &\beta \\\gamma &\gamma &\gamma &\gamma &\gamma \\\hline \end{array}}$

vemos que $1_{S}\;e\;\alpha$ são inversíveis e fechado para a composição, assim U(M(S)) = $\{1_{S},\alpha \}\;$. U(M(S)) é chamado de grupo de transformação (de S).

Def. Um subgrupo de um U(M(S)) (grupo simétrico de S) se chamará grupo de transformação. Um grupo G de transformação de um conjunto D é um grupo de transformação se, e somente se, consiste de aplicações bijetivas (i é,possui aplicações inversas) e G têm as propriedades de fechamento:

$1=1_{S}\in G$

$\alpha \circ \beta \in G,se\;\alpha ,\beta \in G$

$\alpha ^{-1}\in G,se\;\alpha \in G$

$\alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\circ \gamma ,se\;\alpha ,\beta ,\gamma \in G$

Teoria de Grupo

Acima consideramos que todas as transformações de U(M(S)) são bijetivas, agora vamos provar esse fato.

Teorema 1: Uma transformação de U(M(S)) é injetiva se, e somente se têm inverso à direita. É sobrejetiva se, e somente se, têm inverso à esquerda.

i) Se $\alpha \;$ têm inverso à direita $\beta \;$, assim $\beta \circ \alpha =1_{S}\;$ e $t,t'\in S,\alpha (t)=\alpha (t')$ implica que:

$t=1_{S}(t)=(\beta \circ \alpha )(t)=\beta \circ (\alpha (t))=\beta \circ (\alpha (t'))=(\beta \circ \alpha )(t')=1_{S}(t')=t'$

logo $t,t'\in S,\alpha (t)=\alpha (t')\implies t=t'$

ii)Se $\alpha \;$ têm inverso à esquerda $\gamma \;$, assim $u\in S,\;\alpha \circ \gamma =1_{S}\;$ temos que:

$u=1_{S}(u)=(\alpha \circ \gamma )(u)=\alpha (\gamma (u))=\gamma (v)\in S,v\in S$

$\;$ Corolário 1: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja $t\in S,s=1_{S}(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),$

Como $\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)$

Logo $\beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)$

Corolário 2: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja $t\in S,s=1_{S}(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),$

Como $\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)$

Logo $\beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)$

Como $(\alpha \circ \beta \circ \alpha )(s)=\alpha (s)$, temos que a inversa da inversa de uma transformação é ela própria.

Teorema 2: O conjunto de todas as bijeções de um espaço qualquer S sobre S é um grupo de transformações

Teorema 3: Seja $t,u\in G(S,\cdot ,1),Se\;t\cdot a=u;b\cdot t=u$, então $a=t^{-1}\cdot u,b=u\cdot t^{-1}\;$

Teoria de Subgrupo

Seja T um subconjunto de um grupo S. Se T é um subgrupo de S, então T é fechado pro operador de S e todo elemento tem inversa em T

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