Álgebra abstrata/Cayley

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Isomorfismo[editar | editar código-fonte]

Definição: Sejam dois monóides(ou grupos). Eles são isomorfos se, e somente se, existe uma aplicação bijetiva tal que:

Teorema 1: A relação isomorfo é uma relação de equivalência. Seja

  • Seja uma aplicação bijetiva de R sobre R, logo é um isomorfismo (reflexiva)
  • Seja uma aplicação bijetiva de R sobre S, logo existe uma aplicação bijetiva de S sobre R, e portanto é um isomorfismo (simétrica)
  • Seja uma aplicação bijetiva de R sobre S e uma aplicação bijetiva de S sobre T, logo existe uma aplicação bijetiva de R sobre T, e portanto é um isomorfismo (transitiva)

Teorema de Cayley[editar | editar código-fonte]

Teorema de Cayley para monóides e grupos:

  • Todo monóide é isomorfo a um monóide de transformação
  • Todo grupo é isomorfo a um grupo de transformação

Corolário: Todo grupo finito de ordem n é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico