Álgebra abstrata/Subgrupos

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Submonóides e subgrupos gerados por um subconjunto[editar | editar código-fonte]

Quando dizermos monóide podemos trocar por grupo, e quando dizermos submonóide podemos trocar por subgrupo na explicação abaixo, porque é válido para os dois tipos de objetos.

Dado um subconjunto S de um monóide M, nós precisamos do menor submóide de M que contém S. O que queremos é um submóide contendo S e contido em cada submóide contendo S. Se tal objeto existir, ele é único. Vamos supor que existem dois, H(S) e H'(S), assim

Seja S um subconjunto dado do monóide M e seja , i é, é o conjunto de todos os submonóides P de M que contém S. Agora tomemos . é um submonóide se é um submóide. Como todos os P contém S, é claro que . Assim vemos que . Podemos chamar de submonóide gerado por S.

Quando , dizemos que M é gerado pelo conjunto S e S é um conjunto gerador do monóide M.

Agora vamos separar monóides de grupos, para estudar cada caso.

Submonóides gerados por um subconjunto[editar | editar código-fonte]

Seja . Temos que é um submonóide que contém 1 de M e é fechado para o produto(p), de M, dos elementos de S. Assim se tomarmos S' como sendo o conjunto , . Assim , temos um monóide que contém S, como consequência contém . Mas a construção de ambos os geradores possui o mesmo conceito: contém uma cópia de S e contém 1 de M e é fechado para o produto p, de M, dos elementos de S. Assim só lhes restam ser iguais.

Grupo Cíclico (Subgrupos gerados por um subconjunto)[editar | editar código-fonte]

Quando é um grupo G gerado por um subgrupo , chamamos de grupo cíclico com gerador a. Exemplo: Podemos ter um subgrupo gerador . Neste caso temos um grupo abeliano. Exemplo: o que um número pode gerar? Seja S = 1, e seja p = +. Assim , é um subgrupo que gera os inteiros, assim

O tipo de gerador que vai nos interessar é o do tipo .

A aplicação é uma aplicação bijetora.

Pois pra todo a aplicação é sobretiva
Dado , logo a aplicação é injetiva e por final bijetiva. Portanto é isomorfa

Assim temos que , onde a ordem de é r.

Teorema: Qualquer dois grupos cíclicos de mesma ordem são isomorfos.

Teorema: Qualquer subgrupo de um grupo cíclico é cíclico.