Seja G um grupo de ordem finita, e H um subgrupo de G. Então a ordem de H divide a ordem de G.
- Observação
O número de elementos de um conjunto A é representado por |A|
- Demonstração
Considere-se, para o grupo G, a seguinte relação:
![{\displaystyle x\sim y\iff \exists h\in H,x=yh\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca3120e2beb74464d8674c4b70733edf5a11df4)
Esta é uma relação de equivalência; basta mostrar:
- Reflexiva:
![{\displaystyle 1\in H\implies x=x1\implies x\sim x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f78d3e4e1337db6c91e8c0865f6c29c42599205)
- Simétrica:
![{\displaystyle x\sim y\implies \exists h\in H,x=yh\implies y=xh^{-1},h^{-1}\in H\implies y\sim x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4faf1c7333a5e955bb02a4419893f9db1b661b6e)
- Transitiva:
![{\displaystyle x=(zh_{2})h_{1}\implies x=z(h_{2}h_{1})\implies x\sim z\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b386100c46f0f3c2d606a41840cc3bd1f5ee8252)
Seja, então G:H o conjunto das classes de equivalência deste relação de equivalência, e escolha-se, para cada classe, um elemento de G, formando o conjunto G1. Este passo, no caso do conjunto G ser infinito, requer o axioma da escolha.
Note-se que, por construção, se
e
, então
Considere-se agora a função:
![{\displaystyle f:G_{1}\times H\to G,f(x,h)=xh\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d07fd0adbb1e0665725ca91eaf0021b289fb9f)
Esta função é bijetiva:
- Injetiva:
![{\displaystyle x_{1}\sim x_{2}\implies x_{1}=x_{2}\implies x_{1}h_{1}=x_{1}h_{2}\implies h_{1}=h_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c017da64403b8adb6d5cac8991175cbd30589c40)
- Sobrejetiva: Seja g um elemento de G, então escolha-se a classe de equivalência [g]. Existe um elemento em G1 nesta classe, x, então temos
![{\displaystyle g\sim x\implies \exists h\in H,g=xh\implies f(x,h)=g\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462cc168df57d4b08a30682ee4cac2d0708f4ec5)
Ou seja, |G1 x H| = |G|, ou seja, |G:H| x |H| = |G|.
Note-se que esta relação vale, inclusive, no caso de ordem infinita. No caso particular da ordem de G ser finita, temos o Teorema de Lagrange.