Álgebra abstrata/Permutação

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Teorema de Lagrange[editar | editar código-fonte]

Seja G um grupo de ordem finita, e H um subgrupo de G. Então a ordem de H divide a ordem de G.

Observação

O número de elementos de um conjunto A é representado por |A|

Demonstração

Considere-se, para o grupo G, a seguinte relação:

Esta é uma relação de equivalência; basta mostrar:

  1. Reflexiva:
  2. Simétrica:
  3. Transitiva:

Seja, então G:H o conjunto das classes de equivalência deste relação de equivalência, e escolha-se, para cada classe, um elemento de G, formando o conjunto G1. Este passo, no caso do conjunto G ser infinito, requer o axioma da escolha.

Note-se que, por construção, se e , então

Considere-se agora a função:

Esta função é bijetiva:

  1. Injetiva:
  2. Sobrejetiva: Seja g um elemento de G, então escolha-se a classe de equivalência [g]. Existe um elemento em G1 nesta classe, x, então temos

Ou seja, |G1 x H| = |G|, ou seja, |G:H| x |H| = |G|.

Note-se que esta relação vale, inclusive, no caso de ordem infinita. No caso particular da ordem de G ser finita, temos o Teorema de Lagrange.

Decomposição cíclica de permutações[editar | editar código-fonte]