Álgebra abstrata/Permutação

Teorema de Lagrange

Seja G um grupo de ordem finita, e H um subgrupo de G. Então a ordem de H divide a ordem de G.

Observação

O número de elementos de um conjunto A é representado por |A|

Demonstração

Considere-se, para o grupo G, a seguinte relação:

$x\sim y\iff \exists h\in H,x=yh\,$

Esta é uma relação de equivalência; basta mostrar:

1. Reflexiva: $1\in H\implies x=x1\implies x\sim x\,$
2. Simétrica: $x\sim y\implies \exists h\in H,x=yh\implies y=xh^{-1},h^{-1}\in H\implies y\sim x\,$
3. Transitiva: $x\sim y\ \land \ y\sim z\implies \exists h_{1},h_{2}\in H,x=yh_{1}\ \land \ y=zh_{2}\implies \,$ $x=(zh_{2})h_{1}\implies x=z(h_{2}h_{1})\implies x\sim z\,$

Seja, então G:H o conjunto das classes de equivalência deste relação de equivalência, e escolha-se, para cada classe, um elemento de G, formando o conjunto G₁. Este passo, no caso do conjunto G ser infinito, requer o axioma da escolha.

Note-se que, por construção, se $g_{1},g_{2}\in G_{1}\,$ e $g_{1}\sim g_{2}\,$, então $g_{1}=g_{2}\,$

Considere-se agora a função:

$f:G_{1}\times H\to G,f(x,h)=xh\,$

Esta função é bijetiva:

1. Injetiva: $f(x_{1},h_{1})=f(x_{2},h_{2})\implies x_{1}h_{1}=x_{2}h_{2}\implies x_{1}=x_{2}(h_{2}h_{1}^{-1})\implies \,$ $x_{1}\sim x_{2}\implies x_{1}=x_{2}\implies x_{1}h_{1}=x_{1}h_{2}\implies h_{1}=h_{2}\,$
2. Sobrejetiva: Seja g um elemento de G, então escolha-se a classe de equivalência [g]. Existe um elemento em G₁ nesta classe, x, então temos $g\sim x\implies \exists h\in H,g=xh\implies f(x,h)=g\,$

Ou seja, |G₁ x H| = |G|, ou seja, |G:H| x |H| = |G|.

Note-se que esta relação vale, inclusive, no caso de ordem infinita. No caso particular da ordem de G ser finita, temos o Teorema de Lagrange.