Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo

Como dito anteriormente, um triângulo retângulo é aquele no qual um dos ângulos internos é reto.

Catetos e Hipotenusa

Em um triângulo retângulo, são chamados de catetos os lados perpendiculares entre si, ou seja, aqueles que formam o ângulo reto, e é chamado de hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto.

Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

A altura relativa à hipotenusa é o segmento de reta que parte do ponto onde está o ângulo reto e vai perpendicularmente até a hipotenusa.

As projeções dos catetos são as partes da hipotenusa divididas pela altura relativa.

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Seja $c\!\,$ a hipotenusa, sejam $a\!\,$ e $b\!\,$ catetos do mesmo triângulo:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\!\,$

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

Demonstração do Teorema

Por semelhança

Existem várias formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras. Esta demonstração é baseada na proporcionalidade de dois triângulos semelhantes.

Seja $ABC\!\,$ um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em $C\!\,$, como mostrado na figura. Nós desenhamos o segmento de reta $h\!\,$ que passa por $C\!\,$ e é perpendicular a ${\overline {AB}}\!\,$. O novo triângulo $ACH\!\,$ é semelhante ao nosso triângulo $ABC\!\,$, pois ambos tem um ângulo reto (por definição de perpendicular), e eles compartilham o ângulo em $A\!\,$, implicando que o terceiro ângulo terá a mesma medida em ambos. De forma análoga, o triângulo $CBH\!\,$ também é semelhante a $ABC\!\,$. A semelhança leva a duas razões:

${\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AC}}}\,$

e

${\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {HB}}{\overline {CB}}}.\,$

Isto pode ser escrito como:

${\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}\times {\overline {AH}}$ e ${\overline {CB}}^{2}={\overline {AB}}\times {\overline {HB}}.$

Somando as duas igualdades, obtemos:

${\overline {AC}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {AB}}\times {\overline {AH}}+{\overline {AB}}\times {\overline {HB}}={\overline {AB}}\times ({\overline {AH}}+{\overline {HB}})={\overline {AB}}^{2}.\,$

Em outras palavras, o Teorema de Pitágoras:

${\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}.\,$

Por equivalência de polígonos

Esta demonstração se baseia na congruência de triângulos e na equivalência de área de quadriláteros.

Dado ${\color {Blue}\triangle }ABC$ retângulo em $B\,\!$ e seja ${\overline {BH}}$ a altura relativa à hipotenusa, marcamos na semi-reta ${\overrightarrow {BH}}$ um ponto $F\,\!$ tal que ${\overline {HF}}\cong {\overline {AC}}$ (lembre que ${\overline {AC}}$ é a hipotenusa). Então construímos o retângulo $AHFG\,\!$ (lembre que ${\overline {AH}}$ é a projeção de ${\overline {AB}}$).

Agora construímos ${\color {OliveGreen}\square }ABED$. A semi-reta ${\overrightarrow {DE}}$ intercepta ${\overrightarrow {GA}}$ em um ponto $I\,\!$, assim como ${\overrightarrow {HB}}$ em um ponto $J\,\!$. Temos o paralelogramo $ABJI\,\!$.

Como ${\color {OliveGreen}\square }ABED$ e $ABJI\,\!$ são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área.

Por definição de quadrado, segue que ${\overline {AD}}\cong {\overline {AB}}$, e também ${\color {OliveGreen}\angle }ADE$ é reto. Portanto, ${\color {OliveGreen}\angle }ADE\cong {\color {Blue}\angle }ABC$.

${\color {OliveGreen}\angle }DAI$ e ${\color {Blue}\angle }BAC$ são ambos suplementares de $\angle IAB$. Portanto, ${\color {OliveGreen}\angle }DAI\cong {\color {Blue}\angle }BAC$.

Segue pelo critério lado-ângulo-ângulo de congruência de triângulos que ${\color {Blue}\triangle }ABC\cong {\color {OliveGreen}\triangle }ADI$. Portanto, ${\overline {AI}}\cong {\overline {AC}}$, e por extensão, ${\overline {AI}}\cong {\overline {HF}}$.

Como $ABJI\,\!$ e $AHGFI\,\!$ são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área. Ou seja, a área do quadrado sobre um cateto é igual à área do retângulo determinado pela projeção deste cateto e um segmento congruente à hipotenusa. Como a união do retângulo determinado por ${\overline {AH}}$ e ${\overline {HF}}$ com o retângulo determinado por ${\overline {HC}}$ e ${\overline {HF}}$ é igual ao quadrado sobre ${\overline {AC}}$, segue que a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos é igual a área do quadrado sobre a hipotenusa.

Q.E.D.

Aplicações do Teorema

Com o teorema de Pitágoras, pode-se calcular o comprimento da hipotenusa de um triângulo conhecendo apenas o comprimento de cada cateto deste. Ou ainda, calcular o comprimento de um cateto conhecendo apenas a medida da hipotenusa e de outro cateto. O teorema de Pitágoras pode também ser usado para calcular o comprimento da diagonal de um retângulo conhecendo apenas os lados deste.

Exemplos

• Seja $ABC\,\!$ um triângulo retângulo no qual ${\overline {AB}}\,\!$ consista em um dos catetos o qual mede 3 metros de comprimento e ${\overline {AC}}\,\!$ consista em outro cateto o qual mede 4 metros de comprimento. Calcule o comprimento da hipotenusa ${\overline {BC}}\,\!$.

• • Resolução

Dado o Teorema de Pitágoras, ${\overline {BC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\!\,$, tem-se que ${\overline {AB}}=3\!\,$ e ${\overline {AC}}=4\!\,$, portanto:

${\overline {BC}}^{2}=3^{2}+4^{2}\!\,$

${\overline {BC}}^{2}=9+16\!\,$

${\overline {BC}}^{2}=25\!\,$

${\sqrt {{\overline {BC}}^{2}}}={\sqrt {25}}\!\,$

${\overline {BC}}=5\!\,$

A hipotenusa do triângulo $ABC\,\!$ mede 5 metros.

• Um triângulo retângulo tem os lados $a\!\,$, $b\!\,$ e $c\!\,$, sendo que $a\!\,$ é um cateto e mede 1 centímetro de comprimento, enquanto $c\!\,$ é a hipotenusa e mede 2 centímetros. Calcule o comprimento do cateto $b\!\,$

• • Resolução

Dado o Teorema de Pitágoras, $c^{2}=a^{2}+b^{2}\!\,$, tem-se que $a=1\!\,$ e $c=2\!\,$, portanto:

$2^{2}=1^{2}+b^{2}\!\,$

$4=1+b^{2}\!\,$

$4-1=1+b^{2}-1\!\,$

$3=b^{2}\!\,$

${\sqrt {3}}={\sqrt {b^{2}}}\!\,$

$b={\sqrt {3}}\!\,$

O cateto $b\!\,$ mede ${\sqrt {3}}\!\,$ centímetros de comprimento.

Triângulos retângulo notáveis

Triângulo 3_4_5

Prova visual para o triângulo (3, 4, 5), Chou Pei Suan Ching 500–200 d.C.

Um "triângulo 3_4_5" é qualquer triângulo retângulo que tenha esta proporção de lados. Ou seja, um triângulo cujo um dos catetos tem o comprimento $l_{1}\!\,$, outro cateto, o comprimento $l_{2}\!\,$ e a hipotenusa, $l_{3}\!\,$; tal que haja um número $n\!\,$ que:

${l_{1} \over n}=3$

${l_{2} \over n}=4$

${l_{3} \over n}=5$

A consciência desta proporção permite, a partir do comprimento de dois lados de um triângulo 3_4_5, inferir rapidamente o comprimento do terceiro lado. Por exemplo, sabendo que um triângulo tem um lado de 6 metros e outro de 8 metros, pode-se inferir corretamente que o outro lado tem 10 metros (onde n=2).

Triângulo 45º_45º_90º

O chamado "triângulo 45º_45º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção entre seus lados é: $1:1:{\sqrt {2}}$. Ou seja, um triângulo retângulo e isóceles.

Triângulo 20º_70º_90º

O "triângulo 30º_60º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: $1:{\sqrt {3}}:2$.

Exercícios resolvidos

Na comédia antiga Diálogo dos mortos, do poeta satírico Luciano de Samósata, Hermes empilha as montanhas Ossa e Pelion sobre o Olimpo, na esperança de, a partir de um ponto de vista mais alto, poder mostrar toda a Terra para Caronte; para sua decepção, porém, ele só consegue ver ao oeste, parte da Itália, ao sul, até Creta, ao leste, até a Jônia e, ao norte, até o Danúbio. Considerando a Terra esférica, que a visão corresponde a um raio tangente, que o ponto mais distante observado seja o ponto de tangência, que a soma da altura dos três montes seja 5 km e que a distância até o ponto de tangência seja 400 km, calcule qual foi o raio da Terra usado por Luciano.

Solução

Considere que Hermes e Caronte estejam no ponto A, e que o ponto mais distante observado seja C. Sabemos o valor de AC e de h, portanto para calcular r basta resolver o triângulo retângulo OAC: $(r+h)^{2}=r^{2}+AC^{2}\,$ Simplificando: $r^{2}+2rh+h^{2}=r^{2}+AC^{2}\,$ Finalmente: $r={\frac {AC^{2}-h^{2}}{2h}}\,$ Aplicando valores ($AC=400\ km\,$ e $h=5\ km\,$) $r={\frac {160000-25}{10}}=15997,5\,$ Ou, aproximadamente, 16000 km. Um melhor valor para h seria 6,5 km (somando a altura das três montanhas); usando-se um valor mais próximo do valor real do raio da Terra $r=6400\ km\,$, obtém-se, pela equação acima, um valor para AC de, aproximadamente, 300 km, o que é razoavelmente próximo das distâncias mencionadas por Luciano.

Ver também

• Trigonometria
• Lei dos senos e dos cossenos
• Demonstração ilustrada do Teorema de Pitágoras na edição de Byrne dos Elementos de Euclides

Referências

Esta página foi eleita pelos colaboradores como uma das melhores do Wikilivros. Para mais informações, consulte a página de votações.