Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo

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Como dito anteriormente, um triângulo retângulo é aquele no qual um dos ângulos internos é reto.

Catetos e Hipotenusa[editar | editar código-fonte]

Em um triângulo retângulo, são chamados de catetos os lados perpendiculares entre si, ou seja, aqueles que formam o ângulo reto, e é chamado de hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto.
Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Triangulo-Rectangulo.png

A altura relativa à hipotenusa é o segmento de reta que parte do ponto onde está o ângulo reto e vai perpendicularmente até a hipotenusa.
As projeções dos catetos são as partes da hipotenusa divididas pela altura relativa.

Teorema de Pitágoras[editar | editar código-fonte]

Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Seja c\!\, a hipotenusa, sejam a\!\, e b\!\, catetos do mesmo triângulo:

c^2 = a^2 + b^2 \!\,

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

Demonstração do Teorema[editar | editar código-fonte]

Por semelhança[editar | editar código-fonte]

Proof-Pythagorean-Theorem.svg

Existem várias formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras. Esta demonstração é baseada na proporcionalidade de dois triângulos semelhantes.

Seja ABC\!\, um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C\!\,, como mostrado na figura. Nós desenhamos o segmento de reta h\!\, que passa por C\!\, e é perpendicular a \overline{AB}\!\,. O novo triângulo ACH\!\, é semelhante ao nosso triângulo ABC\!\,, pois ambos tem um ângulo reto (por definição de perpendicular), e eles compartilham o ângulo em A\!\,, implicando que o terceiro ângulo terá a mesma medida em ambos. De forma análoga, o triângulo CBH\!\, também é semelhante a ABC\!\,. A semelhança leva a duas razões:

\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AH}}{\overline{AC}}\,
e
\frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{HB}}{\overline{CB}}.\,

Isto pode ser escrito como:

\overline{AC}^2=\overline{AB}\times \overline{AH} e \overline{CB}^2=\overline{AB}\times \overline{HB}.

Somando as duas igualdades, obtemos:

\overline{AC}^2+\overline{CB}^2=\overline{AB}\times \overline{AH}+\overline{AB}\times \overline{HB}=\overline{AB}\times(\overline{AH}+\overline{HB})=\overline{AB}^2.\,

Em outras palavras, o Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=\overline{AB}^2.\,

Por equivalência de polígonos[editar | editar código-fonte]

Esta demonstração se baseia na congruência de triângulos e na equivalência de área de quadriláteros.

Pitagoras.png


Dado {\color{Blue}\triangle}ABC retângulo em B\,\! e seja {\overline{BH}} a altura relativa à hipotenusa, marcamos na semi-reta \overrightarrow{B H} um ponto F\,\! tal que {\overline{HF}}\cong {\overline{AC}} (lembre que {\overline{AC}} é a hipotenusa). Então construímos o retângulo AHFG\,\! (lembre que {\overline{AH}} é a projeção de {\overline{AB}}).

Agora construímos {\color{OliveGreen}\square}ABED. A semi-reta \overrightarrow{D E} intercepta \overrightarrow{G A} em um ponto I\,\!, assim como \overrightarrow{H B} em um ponto J\,\!. Temos o paralelogramo ABJI\,\!.

Como {\color{OliveGreen}\square}ABED e ABJI\,\! são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área.

Por definição de quadrado, segue que {\overline{AD}}\cong {\overline{AB}}, e também {\color{OliveGreen}\angle}ADE é reto. Portanto, {\color{OliveGreen}\angle}ADE\cong {\color{Blue}\angle}ABC.

{\color{OliveGreen}\angle}DAI e {\color{Blue}\angle}BAC são ambos suplementares de \angle IAB. Portanto, {\color{OliveGreen}\angle}DAI\cong {\color{Blue}\angle}BAC.

Segue pelo critério lado-ângulo-ângulo de congruência de triângulos que {\color{Blue}\triangle}ABC\cong {\color{OliveGreen}\triangle}ADI. Portanto, {\overline{AI}}\cong {\overline{AC}}, e por extensão, {\overline{AI}}\cong {\overline{HF}}.

Como ABJI\,\! e AHGFI\,\! são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área. Ou seja, a área do quadrado sobre um cateto é igual à área do retângulo determinado pela projeção deste cateto e um segmento congruente à hipotenusa. Como a união do retângulo determinado por {\overline{AH}} e {\overline{HF}} com o retângulo determinado por {\overline{HC}} e {\overline{HF}} é igual ao quadrado sobre {\overline{AC}}, segue que a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos é igual a área do quadrado sobre a hipotenusa.

Q.E.D.

Aplicações do Teorema[editar | editar código-fonte]

Com o teorema de Pitágoras, pode-se calcular o comprimento da hipotenusa de um triângulo conhecendo apenas o comprimento de cada cateto deste. Ou ainda, calcular o comprimento de um cateto conhecendo apenas a medida da hipotenusa e de outro cateto. O teorema de Pitágoras pode também ser usado para calcular o comprimento da diagonal de um retângulo conhecendo apenas os lados deste.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Seja ABC\,\! um triângulo retângulo no qual \overline{AB}\,\! consista em um dos catetos o qual mede 3 metros de comprimento e \overline{AC}\,\! consista em outro cateto o qual mede 4 metros de comprimento. Calcule o comprimento da hipotenusa \overline{BC}\,\!.
    • Resolução
Dado o Teorema de Pitágoras, \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 \!\,, tem-se que \overline{AB}=3\!\, e \overline{AC}=4\!\,, portanto:
\overline{BC}^2 = 3^2 + 4^2 \!\,
\overline{BC}^2 = 9 + 16 \!\,
\overline{BC}^2 = 25 \!\,
\sqrt{\overline{BC}^2} = \sqrt{25} \!\,
\overline{BC} = 5 \!\,
A hipotenusa do triângulo ABC\,\! mede 5 metros.


  • Um triângulo retângulo tem os lados a\!\,, b\!\, e c\!\,, sendo que a\!\, é um cateto e mede 1 centímetro de comprimento, enquanto c\!\, é a hipotenusa e mede 2 centímetros. Calcule o comprimento do cateto b\!\,
    • Resolução
Dado o Teorema de Pitágoras, c^2 = a^2 + b^2 \!\,, tem-se que a=1\!\, e c=2\!\,, portanto:
2^2 = 1^2 + b^2 \!\,
4 = 1 + b^2 \!\,
4 - 1 = 1 + b^2 - 1\!\,
3 = b^2 \!\,
\sqrt{3} = \sqrt{b^2} \!\,
b = \sqrt{3}\!\,
O cateto b\!\, mede \sqrt{3}\!\, centímetros de comprimento.

Triângulos retângulo notáveis[editar | editar código-fonte]

Triângulo 3_4_5[editar | editar código-fonte]
Prova visual para o triângulo (3, 4, 5), Chou Pei Suan Ching 500–200 d.C.

Um "triângulo 3_4_5" é qualquer triângulo retângulo que tenha esta proporção de lados. Ou seja, um triângulo cujo um dos catetos tem o comprimento l_1\!\,, outro cateto, o comprimento l_2\!\, e a hipotenusa, l_3\!\,; tal que haja um número n\!\, que:

{l_1 \over n} = 3

{l_2 \over n} = 4

{l_3 \over n} = 5

A consciência desta proporção permite, a partir do comprimento de dois lados de um triângulo 3_4_5, inferir rapidamente o comprimento do terceiro lado. Por exemplo, sabendo que um triângulo tem um lado de 6 metros e outro de 8 metros, pode-se inferir corretamente que o outro lado tem 10 metros (onde n=2).

Triângulo 45º_45º_90º[editar | editar código-fonte]

O chamado "triângulo 45º_45º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção entre seus lados é: 1:1:\sqrt{2}. Ou seja, um triângulo retângulo e isóceles.

Isosceles-right-triangle.jpg

Triângulo 20º_70º_90º[editar | editar código-fonte]

O "triângulo 30º_60º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: 1:\sqrt{3}:2.

603090 triangle.png

Exercícios resolvidos[editar | editar código-fonte]

Na comédia antiga Diálogo dos mortos, do poeta satírico Luciano de Samósata, Hermes empilha as montanhas Ossa e Pelion sobre o Olimpo, na esperança de, a partir de um ponto de vista mais alto, poder mostrar toda a Terra para Caronte; para sua decepção, porém, ele só consegue ver ao oeste, parte da Itália, ao sul, até Creta, ao leste, até a Jônia e, ao norte, até o Danúbio.[1] Considerando a Terra esférica, que a visão corresponde a um raio tangente, que o ponto mais distante observado seja o ponto de tangência, que a soma da altura dos três montes seja 5 km e que a distância até o ponto de tangência seja 400 km, calcule qual foi o raio da Terra usado por Luciano.


Solução
Abu Reyhan Biruni-Earth Circumference.svg

Considere que Hermes e Caronte estejam no ponto A, e que o ponto mais distante observado seja C. Sabemos o valor de AC e de h, portanto para calcular r basta resolver o triângulo retângulo OAC:

(r + h)^2 = r^2 + AC^2\,

Simplificando:

r^2 + 2 r h + h^2 = r^2 + AC^2\,

Finalmente:

r = \frac{AC^2 - h^2}{2 h}\,

Aplicando valores (AC = 400 \ km\, e h = 5 \ km\,)

r = \frac{160000 - 25}{10} = 15997,5\,

Ou, aproximadamente, 16000 km.

Um melhor valor para h seria 6,5 km (somando a altura das três montanhas); usando-se um valor mais próximo do valor real do raio da Terra r = 6400 \ km\,, obtém-se, pela equação acima, um valor para AC de, aproximadamente, 300 km, o que é razoavelmente próximo das distâncias mencionadas por Luciano.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Triângulo rectângulo
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Teorema de Pitágoras

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Luciano de Samósata, Diálogo dos mortos, Caronte
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