Matemática elementar/Geometria plana/Polígonos

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Polígonos são figuras geométricas planas das formadas por segmentos de reta interligados entre si fechados (linha poligonal fechada).

Elementos dos polígonos[editar | editar código-fonte]

Um polígono possui os seguintes elementos:

Pentagono regular e seus elementos.svg
  • Arestas ou lados: cada um dos segmentos de reta que unem vértices consecutivos:  \overline{A B}\ ,  \overline{B C}\ , \overline{C D}\ , \overline{D E}\ , \overline{E A}\ .
  • Perímetro: soma das arestas (ou lados).
  • Vértices: ponto de encontro (intersecção) de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
  • Altura: linha vertical que liga as duas extremidades do polígono.
  • Diagonais: segmentos que unem dois vértices não consecutivos: \overline{A C}\ , \overline{A D}\ , \overline{B D}\ , \overline{B E}\ , \overline{C E}\ .
  • Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos:  \hat a \ , \hat b \ , \hat c \ , \hat d \ , \hat e \
  • Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo:  \hat a_1 \ , \hat b_1 \ , \hat c_1 \ , \hat d_1 \ , \hat e_1 \ .

Classificação[editar | editar código-fonte]

Os polígonos são classificados:

Em termos dos ângulos[editar | editar código-fonte]

Em termos das medidas de seus ângulos, um polígono pode ser:

  1. Convexo: se possui todos os seus ângulos internos convexos — isto é, entre 0° e 180°; ou
  2. Côncavo: se possui um ângulo interno côncavo — superior a 180°.

Quanto ao número de lados[editar | editar código-fonte]

Não há restrições quanto ao número de lados n de um polígono desde que n 3. Embora apenas alguns possuam nomenclatura própria, segue uma tabela com alguns destes nomes:

Lados Nome Lados Nome Lados Nome
inexistente 11 Undecágono ...
25 icosikaipentagono
inexistente 12 Dodecágono
...
3 Triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono
4 Quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono
5 Pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono
6 Hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono
7 Heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono
8 Octógono 18 octodecágono 80 octacontágono
9 Eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono
10 Decágono 20 icoságono 100 hectágono

A título de curiosidade, são mostrados a seguir os nomes de alguns polígonos cujos números de lados são potências de 10:

Lados Nome
1000 quilógono
1.000.000 megágono
109 gigágono

Triângulos[editar | editar código-fonte]

Veja as páginas triângulos, pontos, linhas e círculos associados a um triângulo e triângulo retângulo.

Quadriláteros[editar | editar código-fonte]

Quadriláteros são as figuras geométricas planas formadas por quatro lados. Eles são classificados em seis tipos, dependendo da proporção entre seus lados e ângulos:

Regular quadrilateral.svg

Quadrados[editar | editar código-fonte]

São quadriláteros em que todos os ângulos são iguais (a 90°) e todos os lados têm a mesma medida. Portanto, todos os quadrados apresentam semelhança de ângulos e lados. Pelo fato de o quadrado possuir quatro lados l idênticos, o perímetro P pode ser facilmente deduzido por

A relação entre o lado do quadrado e a sua diagonal.
P = 4l

Também, para todos os quadrados, pode-se deduzir através do teorema de Pitágoras a sua diagonal d, ora, pois, o quadrado é formado pela união de dois triângulos retângulos idênticos:

d^2 = l^2 + l^2 \to d^2 = 2l^2 \to \sqrt {d^2} = \sqrt {2l^2} = d \to d = l \sqrt 2

Conclui-se que a diagonal de qualquer quadrado é igual ao produto de seu lado por 2.

Sides in rectangle.svg

Retângulos[editar | editar código-fonte]

Um retângulo é um paralelogramo, cujos lados formam ângulos retos entre si e que, por isso, possui dois lados paralelos verticalmente e os outros dois paralelos horizontalmente. Todos os ângulos internos no retângulo são iguais a 90°, mas seus lados podem ser diferentes. Pode-se considerar o quadrado como um caso particular de um retângulo em que todos os lados têm o mesmo comprimento. O perímetro do retângulo, pode, então, ser deduzido por

P = 2a + 2b

Em que a e b são os lados do retângulo. Igual ao quadrado, a diagonal d do retângulo é dada pelo teorema de Pitágoras:

d^2 = a^2 + b^2
Raute.png

Losangos[editar | editar código-fonte]

São quadriláteros em que todos os lados possuem a mesma medida, assim como o quadrado. Entretanto, dois de seus ângulos se diferem. Considerando que a figura ao lado é um losango, obrigatoriamente os ângulos A e C são iguais entre si. Os ângulos B e D também são iguais (mas não necessariamente iguais a A e C). O quadrado é um caso particular do losango. O perímetro é dado por:

P = 4l

Já suas diagonais podem ser calculadas de duas formas: pela lei dos cossenos ou pela regra do paralelogramo. Caso você queira encontrar a diagonal oposta a um certo ângulo, utiliza-se lei dos cossenos. No caso de se querer a diagonal adjacente (a que parte do ângulo), calcula-se usando a regra do paralelogramo. Por exemplo, considere um losango de lados b e c igual a 2, e descubra a medida da diagonal oposta a de um ângulo α de 60°. Pela lei dos cossenos:

a = \sqrt {b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha}

Então (lembre-se que no losango todos os lados são iguais):

a = \sqrt {4 + 4 - 4} = \sqrt 4 = 2

Paralelogramos[editar | editar código-fonte]

Monoèdre.svg

São quadriláteros cujos pares de lados opostos são iguais e paralelos. Portanto, o perímetro do paralelogramo é dado da mesma forma que o de um retângulo. Além disso, seus ângulos opostos são idênticos (da mesma forma que o losango), e por isso, a forma de se calcular as diagonais de um paralelogramo é igual a de um losango. Todas as figuras explicadas anteriormente são casos especiais do paralelogramo. Por fim, a regra matemática que leva o nome desta figura diz que:

a = \sqrt {b^2 + c^2 + 2bc \cos \alpha}

Em que a é uma semirreta que parte do ângulo α formando uma diagonal adjacente do paralelogramo. Observe a semelhança entre a regra do paralelogramo e a lei dos cossenos: o que muda é o sinal que antecede a expressão 2bc cos α. Exemplo: qual a diagonal adjacente do ângulo 60° de um paralelogramo, formado por lados iguais a 1 e 3?

a = \sqrt {1 + 9 + 3} = \sqrt {13}
Trapéz.jpg

Trapézios[editar | editar código-fonte]

São quadriláteros que possuem dois lados paralelos (bases). Desta forma, diferentemente das figuras anteriores, seus ângulos são totalmente livres e independentes entre si. Os ângulos e as diagonais podem ser dados pela lei dos senos, lei dos cossenos ou pela regra do paralelogramo. As diagonais do trapézio x e y dão dadas por

x = \sqrt{\frac{-ab^2 + ac^2 - a^2c + cd^2}{c-a}} y = \sqrt{\frac{-ad^2 + ac^2 - a^2c + b^2c}{c-a}}

Onde a é a base menor, c a base maior, e b e d os lados adjacentes à base. O perímetro é dado pela soma de todos os lados.

Fórmulas[editar | editar código-fonte]

Ângulos[editar | editar código-fonte]

Para que se determine a soma de todos os ângulos internos de um polígono convexo, aplica-se a seguinte fórmula:

S_i = (n-2)\times 180^\circ

Já a soma dos ângulos externos vale 360º.

S_e = 360^\circ

Área[editar | editar código-fonte]

Abaixo estão as fórmulas para a área (A) de cada polígono (perceba que estas fórmulas podem ser incorporadas a outras propriedades dos polígonos, como altura [h], diagonal [d e D], perímetro, ângulos, etc). Considere B e b as bases dos polígonos, e l o lado do quadrado:

Triângulo A = \frac{b \times h }{2}
Quadrado A = l^2
Retângulo A = b \times h
Losango A = \frac {D \times d} 2
Paralelogramo A = b \times h
Trapézio A = \frac {(B + b) \times h} 2

Polígonos regulares[editar | editar código-fonte]

Triângulo equilátro
Quadrado
Pentágono regular
Hexágono regular

Todo polígono regular possui seus n lados e os ângulos com medidas iguais. Como os ângulos internos e externos são iguais, obtém-se a medida de cada ângulo A (interno ou externo) por:

A_i = \frac {S_i} {n} A_e = \frac {S_e} {n}

Alguns polígonos regulares têm nomes especiais: o triângulo regular é o triângulo equilátero, e o quadrilátero regular é o quadrado. Pelo fato de todos os polígonos regulares serem iguais entre si em ângulos, suas áreas, perímetros, diagonais e alturas podem ser sintetizadas em fórmulas em função de seus lados (ou outra propriedade que não seja o ângulo). Um método muito prático para tal feito é dividir o polígono regular em n triângulos idênticos. Exemplo: qual a fórmula para a área A do hexágono regular em função de seu lado l?

  • Primeiramente, traçaremos os triângulos no hexágono:

3-cubePetrie.svg

  • Calcularemos a soma dos ângulos internos deste polígono:
S_i = (n - 2) \times 180 = (6 - 2) \times 180 = 720
  • Podemos agora calcular a medida de cada ângulo interno do hexágono regular:
A_i = \frac {S_i} {n} \to \frac {720} {6} = 120
  • Portanto, os ângulos que formam cada triângulo são de 60° (perceba que cada ângulo de 120° forma dois triângulos). O hexágono é, portanto, formado por seis triângulos equiláteros idênticos. Sabemos que a área do triângulo equilátero é
A_t = \frac {l^2 \sqrt 3}{4}
  • Então a área de seis destes triângulos é equivalente à área do polígono. Logo
A_{hex} = 6 \times \frac {l^2 \sqrt 3}{4} = \frac {3l^2 \sqrt 3}{2}

Congruência[editar | editar código-fonte]

Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. Nos paralelogramos, os lados paralelos são congruentes, e dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Num triângulo equilátero, todos os lados e ângulos são congruentes; nos triângulos isósceles, apenas os lados iguais e os ângulos da base são congruentes.

Semelhança[editar | editar código-fonte]