Matemática elementar/Geometria plana/Polígonos

Polígonos são figuras geométricas planas das formadas por segmentos de reta interligados entre si fechados (linha poligonal fechada).

Elementos dos polígonos

Um polígono possui os seguintes elementos:

• Arestas ou lados: cada um dos segmentos de reta que unem vértices consecutivos: $\overline{A B}\$, $\overline{B C}\$,$\overline{C D}\$,$\overline{D E}\$,$\overline{E A}\$.
• Vértices: ponto de encontro (intersecção) de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
• Diagonais: segmentos que unem dois vértices não consecutivos:$\overline{A C}\$,$\overline{A D}\$,$\overline{B D}\$,$\overline{B E}\$,$\overline{C E}\$.
• Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos: $\hat a \$,$\hat b \$,$\hat c \$,$\hat d \$,$\hat e \$
• Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: $\hat a_1 \$,$\hat b_1 \$,$\hat c_1 \$,$\hat d_1 \$,$\hat e_1 \$.

Classificação

Em termos dos ângulos

Em termos das medidas de seus ângulos, um polígono pode ser:

1. Convexo: se possui todos os seus ângulos internos convexos — i.e., entre 0° e 180°; ou
2. Côncavo: se possui um ângulo interno côncavo — superior a 180°.

Quanto ao número de lados

Não há restrições quanto ao número de lados n de um polígono desde que n ≥ 3. Embora apenas alguns possuam nomenclatura própria, segue uma tabela com alguns destes nomes:

Lados	Nome	Lados	Nome	Lados	Nome
inexistente		11	Undecágono	...
				25	icosikaipentagono
inexistente		12	Dodecágono
				...
3	Triângulo	13	tridecágono	30	triacontágono
4	Quadrilátero	14	tetradecágono	40	tetracontágono
5	Pentágono	15	pentadecágono	50	pentacontágono
6	Hexágono	16	hexadecágono	60	hexacontágono
7	Heptágono	17	heptadecágono	70	heptacontágono
8	Octógono	18	octodecágono	80	octacontágono
9	Eneágono	19	eneadecágono	90	eneacontágono
10	Decágono	20	icoságono	100	hectágono

A título de curiosidade, são mostrados a seguir os nomes de alguns polígonos cujos números de lados são potências de 10:

Lados	Nome
1000	quilógono
1.000.000	megágono
109	gigágono
10100	googólgono

Quadriláteros

Trapézios

São quadriláteros que possuem dois lados paralelos.

Paralelogramos

São quadriláteros cujos pares de lados opostos são paralelos.

Losangos

São quadriláteros em que todos os lados possuem a mesma medida.

Retângulos

Um retângulo é um paralelogramo, cujos lados formam ângulos retos entre si e que, por isso, possui dois lados paralelos verticalmente e os outros dois paralelos horizontalmente.

Pode-se considerar o quadrado como um caso particular de um retângulo em que todos os lados têm o mesmo comprimento. A soma dos ângulos internos: Si=(n-2)*180º / Si=360º

Quadrados

São quadriláteros em que todos os ângulos são iguais (a 90°) e todos os lados têm a mesma medida.

Fórmulas

Soma dos ângulos internos

Para que se determine a soma de todos os ângulos internos de um polígono convexo, aplica-se a seguinte fórmula:

$Si=(n-2)\times 180^\circ$

Soma de ângulos externos

A soma dos ângulos externos vale 360º.

$Se=360^\circ$

Área

Quadrado	$A = l^2$ (lado ao quadrado)
Retângulo	$A = b \times h$ (base vezes a altura)
Paralelogramo	$A = b \times h$ (base vezes a altura)
Triângulo	$A = \frac{b \times h }{2}$ (base vezes altura divido por dois)

Polígonos regulares

Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. Como os ângulos internos e externos são iguais, obtém-se a medida de cada ângulo dividindo, SE = 360° ou SI = 180.n - 360°, pelo número de lados.

Congruência

Dois ângulos são congruentes se, sobrepostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. Nos paralelogramos, os lados paralelos são congruentes, e dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Num triângulo equilátero, todos os lados e ângulos são congruentes; nos triângulos isósceles, apenas os lados iguais e os ângulos da base são congruentes.