Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos

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Lei dos cossenos[editar | editar código-fonte]

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

 a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A}:  b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B}:  c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C}

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.

Considerando a figura, podemos observar três triângulos:  ABC, BCD, BAD.

Demons cossenos.png

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:  b = n + m e  m = c \cdot \cos \widehat{A}.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

  • Para  BCD:  a^2 = n^2 + h^2
  • Para  BAD:  c^2 = m^2 + h^2

Substituindo  n = b - m e  h^2 = c^2 - m^2 em  a^2 = n^2 + h^2:

 a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2

\Rightarrow a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2

\Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m

Entretanto, pode-se substituir a relação  m = c \cdot cos \widehat{A}, do triângulo  BAD, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

 a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A}

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

 b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B}

 c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C}

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Considere um triângulo de lados p, q e r, sendo que o comprimento de p é 2 metros e o comprimento de q é \sqrt{3} metros. Os lados p e q definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de r.
    • Resolução
Dada a Lei dos Cossenos,  r^2 = p^2 + q^2 - 2p \cdot q \cdot \cos \widehat{A} tem-se que p=2, q=\sqrt{3} e \widehat{A}=30^\circ portanto:
 r^2 = 2^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 - 2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ :  r^2 = 4 + 3 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot {\sqrt{3}\over 2} :  r^2 = 7 - 2\cdot 3 :  r^2 = 7 - 6 :  r^2 = 1 :  r = 1 : O comprimento de r é 1 metro.
  • Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
    • Resolução
Dado um triângulo eqüilátero de lados l_1, l_2 e l_3, por definição tem-se que l_1 = l_2 = l_3 . Sejam x, y e z os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
 l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos x:  l^2 = 2l^2 - 2l^2 \cdot \cos x:  l^2 - 2l^2 = \left(2l^2 - 2l^2 \cdot \cos x\right)-2l^2:  -l^2 = -2l^2 \cdot \cos x:  {-l^2\over -2l^2} = {-2l^2 \cdot \cos x\over -2l^2}:  {1\over 2} = \cos x:  x = 60^\circ  : O mesmo vale para y e z:
 l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos y:  l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos z

Lei dos senos[editar | editar código-fonte]

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

 \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Law of sines.png

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo  ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D e, ligando  D a C formamos um novo triângulo  BCD retângulo em  C .

Da figura, podemos perceber também que  \widehat{A} = \widehat{D} porque determinam na circunferência uma mesma corda  \overline{BC} . Desta forma, podemos relacionar:

 \mathrm{sen}\, \widehat{D} = \frac{a}{2r}  \Rightarrow a = 2r \cdot \mathrm{sen}\, \widehat{A}  \Rightarrow \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = 2r

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos  \widehat{B} e  \widehat{C} teremos as relações:

 \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = 2r e  \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r , em que  b é a medida do lado  AC oposto a  \widehat{B}  c é a medida do lado  AB oposto a  \widehat{C} e  2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

  •  \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r

Lei das tangentes[editar | editar código-fonte]

Triangle55.png

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo  ABC cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]}, \frac{a+c}{a-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{C})]}, \frac{b+c}{b-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}-\widehat{C})]}

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

 \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}  \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

 \frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}+\mathrm{sen}\, \widehat{B}}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}-\mathrm{sen}\, \widehat{B}}

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

 \frac{a+b}{a-b} = \frac{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}}{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}}

 \Rightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]}

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Exercícios[editar | editar código-fonte]