Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos

Lei dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A} \,\!:$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B} \,\!:$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C} \,\!$

Demonstração

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.

Considerando a figura, podemos observar três triângulos: $ABC, BCD, BAD \,\!.$

Destes, pode-se extrair as seguintes relações: $b = n + m \,\!$ e $m = c \cdot \cos \widehat{A} \,\!.$

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

• Para $BCD \,\!:$ $a^2 = n^2 + h^2 \,\!$
• Para $BAD \,\!:$ $c^2 = m^2 + h^2 \,\!$

Substituindo $n = b - m \,\!$ e $h^2 = c^2 - m^2 \,\!$ em $a^2 = n^2 + h^2 \,\!:$

$a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2 \,\!$

$\Rightarrow a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2 \,\!$

$\Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m \,\!$

Entretanto, pode-se substituir a relação $m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!,$ do triângulo $BAD \,\!,$ na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A} \,\!$

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B} \,\!$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C} \,\!$

Aplicação

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos

• Considere um triângulo de lados $p\!\,,$ $q\!\,$ e $r\!\,,$ sendo que o comprimento de $p\!\,$ é 2 metros e o comprimento de $q\!\,$ é $\sqrt{3}\,\!$ metros. Os lados $p\!\,$ e $q\!\,$ definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de $r\!\,.$

• • Resolução

Dada a Lei dos Cossenos, $r^2 = p^2 + q^2 - 2p \cdot q \cdot \cos \widehat{A} \,\!,$ tem-se que $p=2\!\,,$ $q=\sqrt{3}\!\,$ e $\widehat{A}=30^\circ \,\!,$ portanto:

$r^2 = 2^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 - 2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ \,\!:$ $r^2 = 4 + 3 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot {\sqrt{3}\over 2} \,\!:$ $r^2 = 7 - 2\cdot 3 \,\!:$ $r^2 = 7 - 6 \,\!:$ $r^2 = 1 \,\!:$ $r = 1 \,\!:$ O comprimento de $r\!\,$ é 1 metro.

• Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo

• • Resolução

Dado um triângulo eqüilátero de lados $l_1\!\,,$ $l_2\!\,$ e $l_3\!\,,$ por definição tem-se que $l_1 = l_2 = l_3 \!\,.$ Sejam $x\!\,,$ $y\!\,$ e $z\!\,$ os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:

$l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos x\,\!:$ $l^2 = 2l^2 - 2l^2 \cdot \cos x\,\!:$ $l^2 - 2l^2 = \left(2l^2 - 2l^2 \cdot \cos x\right)-2l^2\,\!:$ $-l^2 = -2l^2 \cdot \cos x\,\!:$ ${-l^2\over -2l^2} = {-2l^2 \cdot \cos x\over -2l^2}\,\!:$ ${1\over 2} = \cos x\,\!:$ $x = 60^\circ \,\!:$ O mesmo vale para $y\!\,$ e $z\!\,:$

$l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos y\,\!:$ $l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos z\,\!$

Lei dos senos

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

$\frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r \,\!$

Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo $ABC \,\!$ qualquer inscrito em uma circunferência de raio $r \,\!.$ A partir do ponto $B \,\!$ pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto $D \,\!,$ e, ligando $D \,\!$ a $C \,\!,$ formamos um novo triângulo $BCD \,\!$ retângulo em $C \,\!.$

Da figura, podemos perceber também que $\widehat{A} = \widehat{D}\,\!,$ porque determinam na circunferência uma mesma corda $\overline{BC} \,\!.$ Desta forma, podemos relacionar:

$\mathrm{sen}\, \widehat{D} = \frac{a}{2r}$ $\Rightarrow a = 2r \cdot \mathrm{sen}\, \widehat{A}$ $\Rightarrow \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = 2r$

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos $\widehat{B} \,\!$ e $\widehat{C} \,\!$ teremos as relações:

$\frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = 2r$ e $\frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r ,$ em que $b \,\!$ é a medida do lado $AC \,\!,$ oposto a $\widehat{B} \,\!,$ $c \,\!$ é a medida do lado $AB \,\!,$ oposto a $\widehat{C} \,\!,$ e $2r \,\!$ é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

• $\frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r \,\!$

Lei das tangentes

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo $ABC \,\!,$ cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]},$ $\frac{a+c}{a-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{C})]},$ $\frac{b+c}{b-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}-\widehat{C})]}$

Demonstração

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

$\frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}$

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}+\mathrm{sen}\, \widehat{B}}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}-\mathrm{sen}\, \widehat{B}}$

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}}{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}}$

$\Rightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]}$

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Exercícios

• Ver: Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos/Exercícios