Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos

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Índice

[editar] Tipos de triângulos

[editar] Classificação segundo a medida relativa dos lados

Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:

  • Um triângulo eqüilátero possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar que um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou seja, possui todos os seus ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de triângulo é também um polígono regular.
  • Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também são isósceles.
  • Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. É possível mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.

A seguir é mostrada a classificação de alguns triângulos de acordo com o critério anterior.

[editar] Exemplo de triângulo equilátero

Triangle.Equilateral.svg

Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes. Em particular, como seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar que seus todos os seus ângulos internos medem 60°, e por isso ele é equiângulo.

[editar] Exemplo de triângulo isósceles que não é equilátero

Triangle.Isosceles.png

Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida b. Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um angulo de medida α com a base do triângulo.

[editar] Exemplo de triângulo escaleno

Triangolo-Scaleno.png

Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida.

[editar] Classificação de acordo com seus ângulos internos

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

  • Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
  • Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
  • Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.

[editar] Exemplo de triângulo retângulo

Triangolo-Rettangolo.png
  • Um ângulo reto. Possui um ângulo de 90º.

[editar] Exemplo de triângulo obtusângulo

Triangolo-Ottuso.png
  • Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

[editar] Exemplo de triângulo acutângulo

Triangle.Acute.png
  • Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º

[editar] Soma dos ângulos internos

Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.

[editar] Soma dos ângulos externos

Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Exemplo: Se os ângulos internos de um triângulo forem: 60^\circ, 60^\circ, 60^\circ a resposta final será assim: Resolução: x = 60^\circ + 60^\circ, x = 120^\circ. Porque o ângulo externo é a igual à soma dos ângulos internos duas vezes.

[editar] Relações de desigualdades entre lados e ângulos

1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.

2ª relação: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.

3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.

[editar] Área

Existem várias formas de se expressar a área A de um triângulo:

  • Dadas a base b e a altura h: A = \frac {b \cdot h}{2}
  • Dados dois lados a e b e o ângulo γ entre eles compreendido: A = \frac{1}{2} ab \sin{\gamma}
  • Dados os três lados a, b e c: A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, onde p é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron.

Se o triângulo for equilátero de lado L, sua área pode ser obtida pela fórmula:

  • A = \frac{L^2 \sqrt{3}}{4}

[editar] Congruência

[editar] Critério LLL

[editar] Critério LAL

[editar] Critério ALA

[editar] Critério LLAr

[editar] Semelhança

[editar] Critério LLL

Segundo o critério LLL (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os três lados de um são proporcionais aos três lados correspondentes do outro.

[editar] Critério LAL

Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles formados forem iguais.

[editar] Critério AA

Segundo o critério AA (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se eles têm dois ângulos iguais.

[editar] Referências

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Triângulo
  1. Triângulo
  2. Triângulo retângulo


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