Matemática elementar/Teorema de Tales/Exercícios

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Nos exercícios de 1 a 3, utilize Teorema de Tales para determinar o que se pede a respeito da situação ilustrada pela imagem a seguir:

As retas DE e BC são paralelas.
Exercício 1

Considerando a figura ao lado, determine o comprimento do segmento \overline{AD}, supondo que \overline{DB} = 5 cm, \overline{EC} = 10 cm e \overline{AE} = 8 cm.

Resolução
As retas DE e BC são paralelas.

Pelo teorema de Tales, vale a igualdade \textstyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}, ou seja, \textstyle \frac{\overline{AD}}{5} = \frac{8}{10}. Fazendo-se a multiplicação cruzada, obtém-se que 10 \times \overline{AD} = 5 \times 8 = 40, ou seja, \textstyle \overline{AD} = \frac{40}{10} = 4. Assim, o lado \overline{AD} mede 4 cm.

Exercício 2

Determine \overline{AD} e \overline{DB}, supondo que na figura ao lado \overline{AB} = 26 cm, \overline{AE} = 8 cm e \overline{EC} = 5 cm.

Resolução
As retas DE e BC são paralelas.

Pelo teorema de Tales, tem-se a igualdade \textstyle \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}, que neste caso corresponde a \textstyle \frac{\overline{AD}}{26} = \frac{8}{8 + 5}, ou seja, \textstyle \frac{\overline{AD}}{26} = \frac{8}{13}. Multiplicando-se ambos os membros por 26, resulta que \textstyle \overline{AD} = \frac{26 \times 8}{13} = 2 \times 8 = 16. Portanto, o lado \overline{AD} mede 16 cm.

Além disso, tem-se \overline{AD} + \overline{DB} = \overline{AB}, isto é, 16 + \overline{DB} = 26. Consequentemente, \overline{DB} = 26 - 16 = 10. Então, o lado \overline{DB} mede 10 cm neste caso.

Exercício 3

Determine AD e DB, supondo que \overline{AB} = 27 cm, \overline{AE} = 10 cm e \overline{AC} = 18 cm.

Resolução
As retas DE e BC são paralelas.

O teorema de Tales garante que \textstyle \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}, isto é, que \textstyle \frac{\overline{AD}}{27}=\frac{10}{18}. Então \textstyle 18 \times \overline{AD}=270 e consequentemente \overline{AD}=\frac{270}{18} = 15.

Como \overline{AD}+\overline{DB}=\overline{AB}, resulta que \textstyle 15 + \overline{DB}=27, então \textstyle \overline{DB} = 27 - 15 = 12.

Do exercício 4 até o exercício 7, utilize Teorema de Tales para determinar o que se pede a respeito da situação ilustrada pela seguinte imagem:

As retas AD, BE e CF são paralelas.
Exercício 4

Determine \overline{AB}, supondo que \overline{BC} = 10 cm, \overline{DE} = 18 cm e \overline{EF} = 20 cm.

Resolução
As retas AD, BE e CF são paralelas.

\textstyle\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{EF}} que neste caso fica assim :\textstyle \frac{\overline{AB}}{10} = \frac{18}{20}, Fazendo a multiplicação cruzada resulta que \textstyle \overline{AB} = \frac{20 \times 8}{13} = 2 \times 8 = 16. Portanto, o lado \overline{AB} mede 9 cm.

Exercício 5

Determine \overline{AB} e \overline{BC}, supondo que \overline{AC} = 30 cm, \overline{DE} = 8 cm e \overline{EF} = 7 cm.

Resolução
As retas AD, BE e CF são paralelas.

\frac{30}{\overline{AB}}=\frac{15}{8}

240=15 \overline{AB}

\overline{AB}=240/15 =16


\overline{AB}+\overline{BC}=30

16+\overline{BC}=30

\overline{BC}=14

Exercício 6

Determine a medida de \overline{AB}, supondo que \overline{AC} = 20 cm, \overline{DF} = 30 cm e que \overline{EF} é 4 cm maior que \overline{BC}.

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.
Exercício 7

Determine \overline{AC}, supondo que \overline{DE} = 12 cm, \overline{EF} = 8 cm e que \overline{AB} é 3 cm maior que \overline{BC}.

Resolução
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Exercício 8

Considere um triângulo \vartriangle ABC tal que \overline{AB} = 5, \overline{BC} = 6 e \overline{CA} = 7. Desenhe sobre o segmento \overline{BC} um ponto M tal que \overline{BM} = 4. A reta paralela a \overline{AC} que passa por M encontra \overline{BA} no ponto N. Calcule \overline{BN}, \overline{AN} e \overline{MN}.

Resolução
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Exercício 9

Considere um triângulo \vartriangle TIC em que \overline{TI} = 5, \overline{IC} = 8 e \overline{CT} = 4. Desenhe na semi-reta \overrightarrow{TI} (ou seja, a semi-reta que começa em T e passa por I) um ponto O tal que \overline{TO} = 7. A reta paralela a \overline{IC} que passa por O encontra a reta CT no ponto S. Calcule \overline{TS}, \overline{CS} e \overline{OS}.

Resolução
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