Análise real/Série

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Índice

1 Definição de série
2 Convergência de uma série
- 2.1 Teste do termo geral
- 2.2 Propriedades de séries
3 Exemplos
- 3.1 Série geométrica
4 Notas

[editar] Definição de série

Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ , têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:

Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência

Dada uma sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ , como somaremos todos os seus termos? vamos tomar $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ como uma sequência de soma dos termos de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ . Assim:

$s_1 = a_1 \;$ , $s_2 = \sum_{n=1}^{2}a_n \;$ , $s_m = \sum_{n=1}^{m}a_n \;$
$s = \lim s_n = \sum_{n=1}^{\infty}a_n \;$

[editar] Convergência de uma série

[editar] Teste do termo geral

Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda pra 0.

Se $s = \lim s_n = \sum_{n=1}^{\infty}a_n \;$ é uma série convergente então $\lim \; a_n = 0$

Demonstração: $a_n=\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k\,$

tomando limites, temos:

$\lim a_n=s - s = 0\,$

Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica $\sum_1^\infty 1/n\,$ que não é convergente^[1], apesar de seu termo geral convergir para zero ^[2].

[editar] Propriedades de séries

Seja $\sum a_n = \;a, \sum b_n = b$ convergentes. Pelas propriedades de soma e produto

$\sum a_n + \sum b_n = \sum (a_n+b_n) \;$ converge para a + b
$t\sum a_n = \sum ta_n \;$ converge para ta
$(\sum a_n)(\sum b_n) = \;$ converge para ab
converge para p.
- $p = a - \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n\,$
- Se $a_n \ge 0, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow p<a$