Análise real/Sequências

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Crystal Clear app kaddressbook.png Este livro tem a seguinte tarefa pendente: É preciso escolher se \mathbb{N} denotará o conjunto dos números naturais com ou sem o zero neste livro e usar tal escolha consistentemente ao longo do texto (atualmente está inconsistente). Exemplo: Se o zero estiver no conjunto, então (1/n)_{n \in \mathbb{N}} não faz sentido pois o primeiro termo seria 1/0.


Índice

[editar] Definição

Uma sequência de números reais é uma função s:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} que associa cada número natural a um número real. A notação usual para representar uma sequência é (s_n)_{n\in\mathbb{N}}, quando não houver ambiguidade também pode-se escrever apenas (sn). Para se referir a um termo específico da sequência, a notação é sn, ao invés de s(n). Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia.

Exemplos:

  • A sequência dos números naturais s:N \rightarrow R dada por s_n = n, \forall n \in \mathbb{N} ou mais simplesmente (n)_{n \in \mathbb{N}}.
  • A sequência de fibonacci s_0 = 1, s_1 = 1, s_n = s_{n-1} + s_{n-2}, \forall n \in N, com n \geq 2.
  • s_n = 1/n, \forall n \in \mathbb{N}, com n > 0, ou mais simplesmente (1/n)_{n \in \mathbb{N}} .
  • A sequência {1, 1/4, 1/9, 1/16, ...} é uma forma de representar s_0 = 1, s_1 = 1/2^2, s_2 = 1/3^2, s_3 = 1/4^2, \ldots\, ou seja, s_n = 1 / (n + 1)^2\,

Faremos o uso da equivalência de ponto em um intervalo.

[editar] Classificação das sequências

Algumas propriedades das sequências são tão importantes que elas recebem nomes especiais. Uma sequência (a_n)_{n\in\mathbb{N}} é dita:

  1. estritamente crescente se \forall n\in\mathbb N:a_n<a_{n+1};
  2. não-descrescente se \forall n\in\mathbb N:a_n\leq a_{n+1};
  3. estritamente decrescente se \forall n\in\mathbb N:a_n>a_{n+1};
  4. não-decrescente se \forall n\in\mathbb N:a_n\geq a_{n+1};
  5. monótona se a sequência satisfaz alguma das propriedades acima (i.é. se ela é não-decrescente ou não-crescente);
  6. estritamente monótona se ela é ou estritamente crescente ou estritamente decrescente;
  7. limitada superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que \forall n\in\mathbb N:a_n<M;
  8. limitada inferiormente se existe m\in\mathbb{R} tal que \forall n\in\mathbb N:a_n>m;
  9. limitada se ela é limitada superior e inferiormente, ou seja, se \exists M,n \in \mathbb{R} tal que n \leq a_n \leq M;
  10. ilimitada quando ela não é limitada nem superior e nem inferiormente;
  11. Cauchy se \forall\epsilon>0, \exists n_0\ |\ \forall n,m> n_0\ \Rightarrow |a_m - a_n|<\epsilon;

[editar] Convergência

Dizemos que uma sequência (x_n) \; converge para o número real a \; quando, qualquer que seja \epsilon > 0 \; dado, \exists n_0 \in \mathbb{N} tal que, se n > n_0 \; , então |x_n - a| < \epsilon \;. Para dizer que (x_n) \; converge para a \;, normalmente escrevemos (x_n) \rightarrow a, ou \textstyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a ou apenas \lim x_n = a, quando não houver dúvida que o limite trata de n tendendo ao infinito. Em outras palavras, a sequência (x_n) \; fica arbitrariamente próxima de a \; desde que se tome um n \; suficientemente grande.

Exemplos

  • A sequência (1/n)_{n \in \mathbb{N}} converge para 0. De fato, dado ε > 0, pela propriedade arquimediana da reta real, existe n_0 \in \mathbb{N} tal que 0 < 1 < \epsilon{n_0} \;, portanto -\epsilon < 0 < 1/n_0 < \epsilon \;. Logo |1/n_0 - 0| < \epsilon \; e concluimos que (1/n) \rightarrow 0 \;.

[editar] Proposição (unicidade do limite)

Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa? Intuitivamente sabemos o que significa uma sequência convergir para um número, mas agora precisamos saber se a definição formal não permite que exista mais de um limite. Ou seja, queremos provar que, se uma sequência converge, então o limite é único.

[editar] Demonstração

Seja (xn) uma sequência de números reais convergente com x = \lim x_n. Suponha que y \in R seja tal que y = \lim x_n, queremos mostrar que x = y \;.

Suponha, por absurdo, que x \not= y, então |x - y| > 0 \;. Tomemos então \epsilon = \frac{|x - y|}{2}. Por um lado, (x_n) \rightarrow x, temos que existe n_0 \; natural tal que |x_n - x| < \epsilon \Rightarrow x_n \in (x - \epsilon, x + \epsilon), \forall n > n_0, por outro lado (x_n) \rightarrow y, temos que existe n_0 \; natural tal que |x_n - y| < \epsilon \Rightarrow x_n \in (y - \epsilon, y + \epsilon), \forall n > n_0. Portanto x_n \in (x - \epsilon, x + \epsilon) \cap (y - \epsilon, y + \epsilon), \forall n > n_0, mas pela construção de ε, temos que (x - \epsilon, x + \epsilon) \cap (y - \epsilon, y + \epsilon) = \emptyset, absurdo. Temos então que considerar y = x \;.

[editar] Proposição

  • Se a_n \rightarrow 0, b_n \; limitada , então a_n \cdot b_n \rightarrow 0 ;

[editar] Demonstração

Como bn é uma sequência limitada, temos que existe B > 0 tal que |bn| < B para todo n.

Então, dado ε > 0, temos que \frac{\epsilon}{B} > 0\,. Como an é uma sequência que converge para 0, existe n0 tal que, para todo n > n0, |an - 0| < ε / B.

Finalmente, fazendo as contas, temos que |an bn - 0| < |an| |bn| < (ε / B) . B = ε.

Ou seja, para todo ε > 0, encontramos n0 tal que para todo n > n0, |an bn - 0| < ε - precisamente a definição de limite.

[editar] Proposição (operações com sequências)

Dadas duas sequências (a_n) \; e (b_n) \; convergentes, com a = \lim a_n e b = \lim b_n e um número real \lambda \;, então valem as seguintes propriedades:

  • (a_n + b_n) \rightarrow a + b;
  • (a_n b_n) \rightarrow ab;
  • (\lambda a_n) \rightarrow \lambda a;

Se b_n \not= 0, \forall n \in \mathbb{N}, e b \not= 0, então:

  • \left(\frac{a_n}{b_n}\right) \rightarrow \frac{a}{b}.

[editar] Demonstração

Vamos demonstrar a primeira das propriedades. Dado \epsilon > 0 \;, existem n_a, n_b \; naturais tais que, se n > n_a,n_b \; então |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2} e |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2}.

Portanto, se n_0 = max \{n_a,n_b\} \; e n > n_0 \;, então |(a_n + b_n) - (a + b)| = |(a_n - a) + (b_n - b)| \leq |a_n - a| + |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. Logo (a_n + b_n) \rightarrow a + b.


As outras propriedades ficam de exercício para o leitor.

[editar] Proposição (toda sequência convergente é limitada)

[editar] Demonstração

Seja (x_n) \; uma sequência convergente e x = lim_{n \rightarrow \infty} x_n. Tomando \epsilon = 1 \;, existe n_0 \in \mathbb{N} tal que, se n \geq n_0, então x_n \in (x - 1, x + 1). Além disso, o conjunto X = \{x_0, x_1, ..., x_{{n_0}-1}\} forma um conjunto não-vazio limitado, então existe s = min X \; e S = max X \;, definindo m = min\{s,x-1\} \; e M = \max\{S,x+1\} \;, temos que x_n \in (m,M), para todo n \in \mathbb{N}.

[editar] Proposição (convergência de sequências monótonas limitadas)

Toda sequência de números reais monótona limitada converge.

[editar] Demonstração

Vamos demonstrar que toda sequência não-decrescente, limitada superiormente, é convergente. Fica como exercício para o leitor adaptar a demonstração para outros tipos de sequências monótonas.

Seja (a_n)_{n\in\mathbb{N}} uma sequência não-decrescente limitada superiormente. Isto é, a_n \leq a_m se n < m \; e existe M \in \mathbb{R} tal que a_n < M \;, para todo n \in \mathbb{N}. Desta forma, o conjunto A = \{a_n: n \in \mathbb{N}\} é um conjunto de número reais, não vazio e limitado superiormente, então A \; tem supremo. Seja a = sup A \;, vou mostrar que (a_n) \rightarrow a. Como a = sup A \;, qualquer que seja \epsilon > 0, a - \epsilon \; não é o supremo de A \;, então existe a_{n_0} \in A com a - \epsilon \leq a_{n_0} \leq a. Como a sequência (a_n) \; é não-decrescente, se n \geq n_0, temos a - \epsilon \leq a_{n_0} \leq a_n \leq a, sendo a o supremo de A \; , podemos ainda acrescentar uma relação à desigualdade, temos então a - \epsilon \leq a_{n_0} \leq a_n \leq a \leq a + \epsilon, que siginifica que, se n \geq n_0 então |a - a_n| < \epsilon \; . Que é exatamente a definição de convergência de sequências, então (a_n) \rightarrow a.

[editar] Proposição

Toda sequência monótona converge se possui uma subsequência convergente

[editar] Demonstração

[editar] Lema

Sejam (a_n) \; uma sequência em \mathbb{R} convergente para a \;.

  1. Se a > 0 \;, então \exists \; n_0 \in \mathbb{N}; n>n_0 \Rightarrow a_n > 0
  2. Se a_n > 0, \forall \; n \in \mathbb{N}, então a \geq 0.

[editar] Demonstração

  • (1)
  • (2)Dado \epsilon > 0, \exists n_0 tal que n > n_0 \Rightarrow a - \epsilon < a_n < a + \epsilon. Como a_n > 0 \;, temos 0 < a_n < a + \epsilon \; e portanto 0 < a + \epsilon \; e consequentemente 0 \leq a.

[editar] Proposição

Sejam (a_n) \; e (b_n) \; duas sequências em \mathbb{R} convergentes, com a = \lim a_n e b = \lim b_n.

  1. Se a_n < b_n \;, para todo n natural, então a \leq b.
  2. Se a \le b_n, \forall \; n , então a \le b

[editar] Demonstração

  • (1)Se a_n < b_n \;, para todo n \; natural, então 0 < b_n - a_n \;, para todo n \; e, pelo lema anterior, 0 \leq \lim (b_n - a_n) = \lim b_n - \lim a_n e portanto \lim a_n \leq \lim b_n.
  • (1)\Rightarrow(2) Seja a_n = a(constante), \forall \; n.

[editar] Teorema (do confronto)

Sejam (a_n), (b_n) \mbox{ e } (c_n) \; sequências em \mathbb{R}. Se \lim a_n = \lim b_n e a_n \leq c_n \leq b_n, para todo n \; então \exists \lim c_n e \lim c_n = \lim a_n = \lim b_n.

[editar] Demonstração

Seja c = \lim c_n e \epsilon > 0 \; dado.

Por um lado, como c = \lim a_n, existe n_a \in \mathbb{N} tal que, se n > n_a \; então c - \epsilon < a_n < c + \epsilon \;.

Por outro lado, como também temos que, como c = \lim b_n existe n_b \in \mathbb{N} tal que, se n > n_b \; então c - \epsilon < b_n < c + \epsilon \;.

Pela desigualdade a_n \leq c_n \leq b_n, n > \max\{n_a,n_b\} \; então c - \epsilon < a_n \leq c_n \leq b_n < c + \epsilon \Rightarrow c - \epsilon < a_n \leq c_n \leq b_n < c + \epsilon.

Logo c = \lim c_n.

[editar] Subsequências

Uma subsequência de uma sequência (x_n)_{n\in\mathbb{N}} é uma função s:\mathbb{N}' \rightarrow \mathbb{R}, onde \mathbb{N}' \subset \mathbb{N} e \mathbb{N}' é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é (x_n)_{n \mathbb{N}'}.

Como \mathbb{N}' é enumerável, seus elementos podem ser escritos como \{n_1, n_2, ..., n_k, ..\} \;, e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que n_i < n_j \;, se i < j \;. Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}. Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.

[editar] Proposição (convergência de subsequências)

Subsequência de sequência convergente é também convergente.

[editar] Demonstração

Seja (a_n) \; uma sequência convergente para a \; e (a_{n_k}) uma subsequência de (a_n) \;. Como (a_n) \rightarrow a, dado \epsilon > 0 \;, existe n_0 \; tal que, se n > n_0 \;, então |a_n - a| < \epsilon \;. Em especial, se n_k > n_0 \;, temos |a_{n_k} - a| < \epsilon. Logo (a_{n_k}) \rightarrow a .

[editar] Definição(Valor de aderência)

a \; é "valor de aderência" de uma sequência (x_n) \; se, e somente se, a \; é limite de alguma das subsequências de (x_n) \; se, e somente se, \forall \epsilon >0, \exists \; n_0 \in \mathbb{N}; \; n>n_0 \Rightarrow x_n \in (a-\epsilon,a+\epsilon) .

[editar] Fatos(Menor e Maior(Valor de aderência))

Seja x_n \; uma sequência limitada.

  1. Se a sequência x_n \; é convergente, então o valor de aderência é único
  2. Se a sequência x_n \; possui duas subsequências convergente, convergindo para a e b, com a<b então para indices suficientemente grandes x_n \in (a-\epsilon, b+\epsilon)
  3. Se a sequência x_n \; possui n+2 subsequências convergindo para a,c_1,...,c_n, b \; com \; a < c_i < b, i =1,2,...,n. Então a e b são o menor e maior valor de aderência e c_i \in (a+\epsilon,b-\epsilon), i =1,2,...,n
  4. Se a_n \rightarrow a, b_n \rightarrow b subsequências de x_n \; que possuem menor e o maior valor de aderência respectivamente, então a_n,b_n \; são monótonas e a_n \; é crescente ou não-decrescente e b_n \; é decrescente ou não-crescente

[editar] Demonstração

  • (1) x_n \rightarrow a \Rightarrow x_n possui uma subsequência convergindo para a. Por definição a é valor de aderência. Como x_n \; é convergente, não existe outra subsequência convergindo para outro valor diferente de a. Logo a é o único valor de aderência.
  • (2) Temos n >n_1 \Rightarrow x_n \in (a-\epsilon,a+\epsilon) \;e\; n>n_2 \Rightarrow x_n \in (b-\epsilon,b+\epsilon) .
    • Também a-\epsilon<a<b<b+\epsilon \Rightarrow n>n_0=max\{n_1,n_2\}, com \; x_n \in (a-\epsilon, b+\epsilon)
  • (3)Seja c_j \le c_i \le c_k, i =1,2,...,n. Temos n >n_3 \Rightarrow x_n \in (c_j-\epsilon,c_j+\epsilon) n>n_4 \Rightarrow x_n \in (c_k-\epsilon,c_k+\epsilon) \Rightarrow n>n_{0^*}=max\{n_3,n_4\}, com \; x_n \in (c_j-\epsilon, c_k+\epsilon).
    • a+\epsilon<c_j<c_k<b-\epsilon \Rightarrow a<c_j-\epsilon<c_k+\epsilon<b \;
    • c_i \in [c_j,c_k]\subset(c_j-\epsilon<c_k+\epsilon)\subset(a,b) e c_i \in [c_j,c_k]\subset(a+\epsilon,b-\epsilon)\subset(a,b)
  • (4) por (2) é verdade que n>n_0=max\{n_1,n_2\} \Rightarrow x_n \in (a-\epsilon, b+\epsilon) . Mas não pode existir a_n,b_n \in (a+\epsilon, b-\epsilon)\; com \; n>n_0 (Sendo \; \epsilon <{a+b \over 2})
    • \not\exists a_j \ge b_i, \forall \;i,j \in \mathbb{N} \Rightarrow a_i<b_j, \forall \;i,j \in \mathbb{N}
    • Se a_n \; fosse decrescente ou não-crescente, teríamos a_n \in [a,a+\epsilon) . Como n>n_0 \Rightarrow x_n \in (a,b+\epsilon), \; assim \; b<a_i para algum a_i\; . (contradição). Da mesma forma fazemos com b_n\;

\;

[editar] sequências de Cauchy

Uma classe muito importante de sequências são as sequências de Cauchy, que são muito importantes não só para a Análise Real, mas também para a Análise Matemática e Topologia.

[editar] Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy

[editar] Demonstração

Seja (a_n) \; uma sequência convergente para um ponto a \;. Como (a_n) \; converge para a \;, qualquer que seja \epsilon > 0 \;, existe n_0 \; tal que, se n > n_0 \;, então |a_n - a| < \epsilon/2 \;. Portanto, se n,m > 0 \;, então |a_n - a_m| \geq |a_n - a| + |a_m - a| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon. Portanto (a_n) \; é de Cauchy.

[editar] Proposição: toda sequência de Cauchy é limitada

Se (x_n) \; é uma sequência de números reais de Cauchy, então existem m,M \; reais tais que m \leq x_n \leq M, para todo n natural.

[editar] Demonstração

Como (x_n) \; é uma sequência de Cauchy, dado \epsilon > 0 \;, existe n_0 \; natural tal que, se n,m > n_0 \;, então |x_n - x_m| < \epsilon \;, portanto |x_n - x_{{n_0}+1})| < \epsilon, de onde concluimos que x_n \in (x_{{n_0}+1}-\epsilon, x_{{n_0}+1}+\epsilon).

Como \{x_0, x_1, ... , x_{n_0}\} é um conjunto finito, sabemos que ele tem maior e menor elemento, então podemos definir s = min\{x_0, x_1, ... , x_{n_0}\}, S = max\{x_0, x_1, ... , x_{n_0}\}, Desta forma definindo m = min\{s, x_{{n_0}+1} - \epsilon\} e M = max\{S, x_{{n_0}+1} + \epsilon\}, temos que m \leq x_n \leq M, para todo n \; natural. Como queríamos.

[editar] Proposição: se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente, então converge

Se (a_n) \; em \mathbb{R} é uma sequência de Cauchy com subsequência (a_{n_k}) convergente para a \;, então (a_n) \; converge para a \;.

[editar] Demonstração

Dado \epsilon > 0 \;, como (a_{n_k}) converge para a \;, existe n_{k_0} tal que se n \geq n_{k_0}, então |a - a_{n_k}| < \epsilon/2. Como (a_n) \; é Cauchy, existe n_0 > 0 \; tal \; que \; n \geq n_0, então |a - a_n| < \epsilon/2 \;.

Pela desigualdade trigonométrica, se n > n_0 \;, então |a - a_n| \leq |a - a_{n_{k_0 }}| + |a_{n_{k_0}} + a_n| \leq \epsilon.

[editar] Lema: toda sequência tem subsequência monótona

[editar] Demonstração

Seja (a_n) \; uma sequência qualquer e considere o conjunto B = \{a_n: a_n \leq a_k, \forall k \in \mathbb{N}, k > n \}. Se B \; for infinito, então (a_n) \; tem subsequência não decrescente, caso contrário (a_n) \; tem subsequência decrescente.

[editar] Teorema: toda sequência de Cauchy converge

[editar] Demonstração:

Se (a_n) \; é uma sequência de Cauchy, pelo lema anterior, existe uma subsequência (a_{n_k}) monótona. Como (a_n) \; é Cauchy, (a_n) \; é limitada e portanto a subsequência (a_{n_k}) também é limitada. Como toda sequência monótona limitada converge, temos que (a_{n_k}) converge, logo (a_n) \; converge também, pois tem subsequência convergente. Concluímos que toda sequência de Cauchy converge.

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