Análise real/Topologia da reta

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Conceitos da topologia da reta que serão usados na Análise Real. Nota: para usar uma analogia com a geometria, um número real x também será chamado de um ponto x.

Conjunto aberto[editar | editar código-fonte]

Vizinhança[editar | editar código-fonte]

  • Seja X um conjunto real, a vizinhança de um elemento x de X são todos os elementos y que estão próximo de x a um "raio" \epsilon \;, isto é, |x-y| deve ser menor estrito a \epsilon \;. Portanto V_\epsilon(x) = \{ y\in \mathbb{R}; |x-y|<\epsilon\} = B(x,\epsilon) = (x-\epsilon,x+\epsilon)=\{y \in \mathbb{R}; x-\epsilon<y<x+\epsilon \}
  •  \bigcap_{\forall \epsilon >0} V_\epsilon(x) = \{x\}
  • Tome  x,y \in X, x \ne y \Rightarrow \exists \; \epsilon>0; V_\epsilon(x) \cap V_\epsilon(y)=\empty

Teorema da Vizinhança Interna[editar | editar código-fonte]

Tome x \in X, \delta < \epsilon \Rightarrow V_\delta(x) \subset V_\epsilon(x)

Prova[editar | editar código-fonte]

Tome  y \in V_\delta(x) \Rightarrow |y-x|<\delta , como  \delta < \epsilon \Rightarrow |y-x|<\delta < \epsilon \Rightarrow y \in V_\epsilon(x)

Ponto interior[editar | editar código-fonte]

Um ponto x é dito ponto interior de um conjunto X \subset \mathbb{R}, se, e somente, se \exists \; V_\epsilon(x) \subseteq X

Usamos a notação int(X)\, para denotar o conjunto de todos os pontos interiores do conjunto X\,

  •  X finito \Rightarrow int(X) = \empty ( A recíproca é falsa, por exemplo   int( \mathbb{Q} ) = \empty )
  • int(X) = \{x \in X; V_\epsilon(x) \subset X, \mbox{ para algum } \epsilon>0 \}.
  • \exists V_\epsilon(x) \subset X \Rightarrow x \in int(X) .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Todo ponto x é um ponto interior de \mathbb{R}\,
  • Todo número real x com a < x < b é um ponto interior do intervalo aberto (a, b). É fácil ver que nenhum outro ponto é ponto interior de (a, b); por exemplo, a não é ponto interior de (a, b) porque qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos menores que a.
  • Analogamente, os pontos interiores do intervalo fechado [a, b] formam o intervalo aberto (a, b).
  • Nenhum ponto é ponto interior de \mathbb{N}\,, \mathbb{Z}\, ou \mathbb{Q}\,.

Fronteira de um conjunto[editar | editar código-fonte]

Dado  X \subset \mathbb{R}. Um ponto x \in \mathbb{R} é dito ponto da fronteira de  X \; , se toda vizinhança de x intersecta  X \mbox{ e } \mathbb{R}-X \; .

  •  \forall \; \epsilon > 0, V_\epsilon(x)\cap X \ne \varnothing \mbox{ e } V_\epsilon(x)\cap \mathbb{R}-X \ne \varnothing \Rightarrow x \in \partial X
  • Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto A por \partial A .

Definição de conjunto aberto[editar | editar código-fonte]

  • Dizemos que um conjunto X \subset \mathbb{R} é conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja: \forall \; x \in X, \exists \; \epsilon > 0 ; V_\epsilon(x) \subset X.
    • \forall x \in X, \exists \epsilon \; ; V_\epsilon(x) \subset X \Rightarrow X é aberto.
  • Dizemos que um conjunto X \subset \mathbb{R} não é conjunto aberto se  \exists \; x \in X; \forall \; \epsilon > 0 ; V_\epsilon(x) \not \subset X.
  • Um conjunto é aberto se A \cap \partial A = \varnothing.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O intervalo aberto (a,b) \subset \mathbb{R}, com a < b\; é aberto, de fato, dado x \in (a,b), tomando \epsilon = min\{x - a, b - x\}\;, temos que (x - \epsilon, x + \epsilon) \subset (a,b). Portanto, o intervalo aberto é, de fato, aberto.
  • [a,b) \subset \mathbb{R}, com a < b\; não é aberto, pois, qualquer que seja \epsilon > 0, (a - \epsilon, a + \epsilon) \not\subset [a,b).
  • (a,\infty) \subset \mathbb{R}, é aberto, de fato, dado x \in (a,\infty), tomando \epsilon = x - a, \; temos que (x - \epsilon, x + \epsilon) \subset (a,\infty).
  • (-\infty,b) \subset \mathbb{R}, é aberto, de fato, dado x \in (-\infty,b), tomando \epsilon = b-x, \; temos que (x - \epsilon, x + \epsilon) \subset (-\infty,b).

Propriedade dos conjuntos abertos[editar | editar código-fonte]

  1. Os conjuntos \mathbb{R} e \emptyset\, são abertos.
  2. A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
  3. A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Demonstração

1. Imediato da definição.

2.Seja \{O_\lambda\}\, uma família de conjuntos abertos indexada pelo índice \lambda\in\Lambda\, e seja:

O=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\,.

Então se x\in O\,, existe um \lambda'\in\Lambda\, tal que x\in O_{\lambda'}\,.

Como O_{\lambda'}\, é aberto, existe um intervalo (a,b)\, com a<b\, tal que:

x\in(a,b)\subseteq O_{\lambda'}\,

Como O_{\lambda'} \subseteq \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\,, temos que:

x\in (a,b)\subseteq O\,

E portanto O\, é aberto.

3.Seja \{O_k\}_{k=1}^{n} uma família finita de conjuntos aberto e seja O=\bigcap_{k=1}^n O_k\, e x\in O\,. Como x\in O_k, k=1,\ldots,n\, e cada O_k\, é aberto. Existem intervalos (a_k,b_k)\, tais que:

x\in (a_k,b_k)\subseteq O_k\,

Naturalmente vale que a_k<x<b_k\,. Agora definimos:

a=\max \{a_k\}_{k=1}^n\quad b=\min \{b_k\}_{k=1}^n\,

É fácil ver que a<x<b\, e também que:

x\in (a,b)\subseteq O_k, k=1,\ldots,n\,

e portanto:

x\in (a,b)\subseteq O\,.

O que completa a demonstração.

Lema[editar | editar código-fonte]

Seja  X \subset \mathbb{R}. As afirmativas abaixo são equivalentes.

  • (1) X é aberto.
  • (2) Todo ponto de X é ponto interior.
  • (3) X é uma vizinhança de seus pontos.

DEMONSTRACÃO[editar | editar código-fonte]

Vamos mostrar que (1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1).

  • Assumindo (1), Seja x \in X \;. Como por hipótese, X é aberto, temos que  \exists \; \epsilon > 0, V_\epsilon(x) \subset X. Logo x é ponto interior de X. Como x é arbitrário, obtemos (2).
  • Seja agora (2) verdadeiro. Se x \in X \;, então por hipótese, x é ponto interior de X, i.e.,  \exists \; \epsilon > 0, V_\epsilon(x) \subset X existe um aberto em X contendo x. Logo, por definição, X é uma vizinhança de x e (3) vale.
  • Finalmente, assumindo (3), tome para cada x \in X \; um aberto  I_x \subset B tal que  x \in I_x.

Então  X = \bigcup_{x \in B} I_x é aberto pois é união de abertos.

Conjunto fechado[editar | editar código-fonte]

Ponto aderente[editar | editar código-fonte]

Ponto aderente de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X ⊂ \mathbb{R}.

  • Todo ponto a de um conjunto X\, é também um ponto aderente, pois ele é o limite da sequência constante x_n=a\,.
  • Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto X:=\left\{1/n\right\}_{n=1}^{\infty}\, possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X.

Valor de aderência[editar | editar código-fonte]

valor de aderência de uma sequência é um ponto aderente do conjunto \{ x_1, x_2, ..., x_n, ... \}.

  • O único valor de aderência de \{x_1,x_2,...,x_n,...\}\cup\{a=\lim xn\} é a.

Teorema[editar | editar código-fonte]

As seguintes afirmações são equivalentes:

  1. a é ponto aderente de X
  2. Para todo \epsilon>0\,, existe um ponto x\in X\, tal que \left|x-a\right|\leq \varepsilon
  3. B(a,\epsilon)\cap X \not = \varnothing\, para todo \epsilon>0\,; Demonstração

12: Se a é um ponto aderente de X, por definição, existe um sequência x_n\in X\, tal que x_n \to a. Da definição de limite de sequências, para todo \epsilon>0\,, existe um x_k\, tal que \left|x_k-a\right|\leq \varepsilon. Como x_k\in X\,, basta definir x=x_k\, e o resultado segue.

23:Suponha que x\in X\, e \left|x-a\right|\leq \varepsilon\,. Como B(a,\epsilon)=\left\{x\in\mathbb{R}:|x-a|<\epsilon\right\}, x\in B(a,\epsilon)\, e o resultado segue.

31:Defina a sequência x_n\,, escolhendo-os de forma que x_n\in B(a,1/n)\cap X\,. Esta sequência tem a propriedade que x_n\in X\, e \left|x_n-a\right|<1/n\,, logo x_n\to a\, e o resultado segue.

Fecho[editar | editar código-fonte]

Define-se o fecho de um conjunto X como é o conjunto dos pontos aderentes de X e denota-se por \bar{X}:

\bar{X} := \left\{ a \in \mathbb{R}: \forall \epsilon >0 . B(a,\epsilon) \cap X \not = \varnothing \right\}

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Os fechos de \mathbb{R}\, e \varnothing\, são eles mesmos
  • O fecho do conjunto {1, 1/2, 1/3, ...} é o conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, ...}
  • Como cada número irracional pode ser arredondado com a precisão que se queira por números racionais, existe, para todo x \in \mathbb{R}\, uma sequência de números racionais q_i\, que converge para x. Ou seja, o fecho de \mathbb{Q}\, é \mathbb{R}\,
  • Uma sequência de números naturais (ou inteiros) só será convergente se ela for constante a partir de algum índice. Portanto, uma sequência de números naturais (ou inteiros), se converge, converge para um número natural (resp. inteiro). Ou seja, os fechos de \mathbb{N}\, e \mathbb{Z}\, são eles mesmos.
  • O fecho de qualquer intervalo (a, b), (a, b], [a, b) ou [a, b], em que a < b, é o intervalo fechado [a, b]. É fácil ver que nenhum ponto x < a e nenhum ponto x > b pode ser ponto aderente; então basta provar que a é um ponto aderente de (a, b) (os demais casos são similares). Mas isto equivale a dizer que existe uma sequência com elementos em (a, b) que converge para a. Tomando-se a sequência a + 1, a + 1/2, a + 1/3, ..., é fácil ver que esta sequência converge para a. Então, por definição, para ε = b - a > 0, existe N tal que se n > N, então |a - (a + 1/n)| < ε. Reescrevendo, temos que para n > N, 1/n < b - a, ou seja, a + 1/n < b. Como a + 1/n > a, temos que a + 1/n \in (a,b)\,. Portanto, a sequência de elementos do intervalo (a, b) dada por a + 1/N, a + 1/(N + 1), a + 1/(N + 2), ... é uma sequência de elementos de (a, b) que converge para a.

Definição de conjunto fechado[editar | editar código-fonte]

Um conjunto X\, é dito conjunto fechado se e somente ele é igual ao seu fecho: X = \bar{X}\,

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • São fechados: \mathbb{R}\,, \varnothing\,, \mathbb{N}\,, \mathbb{Z}\,, [a, b], [a,\infty), (-\infty,b].
  • Não são fechados: \mathbb{Q}, \mathbb{R} - \mathbb{Q}, (a, b), (a, b], [a, b) .


Teorema[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto. De fato, este é talvez o principal teorema sobre conjuntos fechados. Nos estudos mais avançados da chamada "topologia geral", os fechados são usualmente definidos através desta caracterização.

a. Suponha que X seja um conjunto fechado e O seja o complementar de X nos reais:

O=\mathbb{R}\backslash X\,

Suponha por absurdo que O\, não seja um conjunto aberto, ou seja, suponha a existência de um ponto x\in O\, tal que:

\forall \epsilon>0; B(x,\epsilon)\nsubseteq O\,

Como O\cup X=\mathbb{R}\, temos que

B(x,\epsilon)\nsubseteq O\Longrightarrow B(x,\epsilon)\cup X \neq \emptyset\,

Esta propriedade implica que x\in\bar{X}\, e como X é fechado,x\in X\,, o que contraria a hipótese inicial de que x\in O\, e O=\mathbb{R}\backslash X\,.

b. Suponha que X seja o complementar nos reais de um conjunto aberto O:

X=\mathbb{R}\backslash O\,

Suponha a existência de uma sequência x_n\in X\, tal que:

\lim_{n\to\infty}x_n=x\,

Queremos mostrar que x\in X\,. Suponha, por absurdo, que x\notin X\,, ou seja, x\in O\,. Como O é aberto, exite uma bola B(x,\epsilon)\subseteq O\,. Escolha x_N\, tal que \left|x_N-x\right|<\epsilon\,. Isso implica x_N\in B(x,\epsilon)\subseteq O\,, o que é uma contradição, já que x_N\in X\,.

Propriedades dos conjuntos fechados[editar | editar código-fonte]

  1. Os conjuntos \mathbb{R} e \emptyset\, são fechados.
  2. A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
  3. A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
Demonstração

1. \emptyset\, é aberto. Pelo teorema "Um conjunto é fechado  \Leftrightarrow se, e somente se, seu complementar é aberto" o seu complementar é fechado, isto é, \mathbb{R} é fechado.

Densidade[editar | editar código-fonte]

 X \subset Y.  X \; é denso em Y\; logo:

  • Dado  y \in Y \Rightarrow I_y \cap X \not= \empty, \;
  • Dado  y \in Y\Rightarrow \exists \; x \in I_y \cap X \;
  • Dado  y \in Y \Rightarrow y \in \overline{X} \;
  • Dado  y \in Y \Rightarrow y = lim x_n, \forall \;(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in X \;

Ponto de acumulação[editar | editar código-fonte]

Ponto de acumulação[editar | editar código-fonte]

Seja X um subconjunto dos números reais. Dizemos que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma sequência x_n\in X\, de pontos diferentes de x convergindo para x.

É claro da definição que todo ponto de acumulação é também um ponto de aderência. Deve-se observar que nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação. Por exemplo o conjunto X=\{0\} \; possui um único elemento. Este elemento é um ponto de aderência, já que a sequência constante x_n=0\, converge para ele, mas não é um ponto de acumulação, pois não existe nenhuma sequência de elementos de X diferentes de 0 convergindo para 0.

  • x é ponto de acumulação se,  \forall \epsilon>0, X \cap (x-\epsilon,x+\epsilon)\ne\{x\}.
  • x é ponto de acumulação se,  \forall \epsilon>0; \exists y \in X; 0< |y-x|<\epsilon

Conjunto Derivado[editar | editar código-fonte]

X' é o conjunto chamado derivado, onde seus elementos são os pontos de acumulação de X, assim:

 X'=\{x \in \mathbb{R}; \forall \epsilon>0, X \cap (x-\epsilon,x+\epsilon)\ne\{x\} \}=\{x \in \mathbb{R}; \forall \epsilon>0; \exists y \in X; 0< |y-x|<\epsilon \}

Ponto isolado[editar | editar código-fonte]

Define-se como ponto isolado de um conjunto X, um elemento x\in X \, que não é ponto de acumulação.

Conjunto discreto[editar | editar código-fonte]

Diz-se que X\, é um conjunto discreto se todos os seus pontos forem isolados. O conjunto dos números naturais é um exemplo de conjunto discreto nos reais.

Teorema: Conjunto discreto é enumerável[editar | editar código-fonte]

Seja  X \subset \mathbb{R} um conjunto cujos pontos são todos isolados, então  | X | \leq |\mathbb{N}| .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Uma vez que os pontos de  X são todos isolados, para cada  x \in X podemos fixar  \delta_x >0 tal que  B_{\delta_x}(x) \cap X = \{x\} . Agora  \mathbb{Q} é denso em  \mathbb{R} , então  B_{\frac{\delta_x}{2}}(x)\cap \mathbb{Q} \ne \emptyset .

Fixemos para cada  x \in X algum  q_x \in B_{\frac{\delta_x}{2}}(x)\cap \mathbb{Q} e definamos a função  \phi:X \to \mathbb{Q} por  \phi(x)=q_x . Essa função é injetora, de fato, suponha que  \phi(x)=q=\phi(y) devemos ter que  d(x,q)< \frac{\delta_x}{2} e  d(y,q)< \frac{\delta_y}{2} . Defina  \delta=\max (\delta_x,\delta_y) , segue que d(x,y)<d(x,q)+d(q,y)<\frac{\delta_x}{2}+\frac{\delta_y}{2}<\delta , mas isso significa que ou  x\in B_{\delta}(y) \cap X \subset B_{\delta_y}(y) \cap X=\{y\} ou  y\in B_{\delta}(x) \cap X \subset B_{\delta_x}(x) \cap X =\{x\} e em ambos os casos concluímos que x=y.

Uma vez que  \phi:X \to \mathbb{Q} é injetora devemos ter  |X| \leq |\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}| e portanto  X é enumerável.

Note que a mesma demonstração continua válida para espaços métricos que satisfazem o 3º axioma de enumerabilidade.

Teorema de Bolzano-Weierstrass[editar | editar código-fonte]

Seja  X um conjunto infinito e limitado, então  X possui pelo menos um ponto de acumulação.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como X é um conjunto limitado, existe um intervalo finito [a,b]\, tal que X\subset [a,b]\,. Defina M_1\,, o ponto médio deste intervalo:

M_1:=\frac{a+b}{2}\,

como X=\left(X\cap[a,M_1]\right)\cup\left(X\cap[M_1,b]\right) e X é um conjunto com infinitos pontos, podemos inferir que \left(X\cap[a,M_1]\right) ou \left(X\cap[M_1,b]\right) possui infinitos pontos. Definimos então:

 : 
\begin{array}{lll}
a_1=M_1,&b_1=b,&\hbox{se } \left(X\cap[M_1,b]\right) \hbox{for infinito;} \\
a_1=a,&b_1=M_1,&\hbox{c.c.} 
\end{array}

E define-se X_1:=X\cap[a_1,b_1]\,, X_1\, é novamente um conjunto infinito. Este processo pode ser aplicado recursivamente, definindo:

M_{n+1}:=\frac{a_n+b_n}{2}\,: 
\begin{array}{lll}
a_{n+1}=M_{n+1},&b_{n+1}=b_n,&\hbox{se } \left(X\cap[M_{n+1},b_n]\right) \hbox{for infinito;} \\
a_{n+1}=a_n,&b_{n+1}=M_{n+1},&\hbox{c.c.} 
\end{array}

e, finalmente, X_{n+1}:=X_n\cap[a_{n+1},b_{n+1}]\,, que será um conjunto de infinitos pontos. Observe que a sequência a_n\, é não decrescente e limitada superiormente por b e a sequência b_n\, é não crescente e limitada inferiormente por a. Daí, podemos inferir a existência dos limites:

\lim_{n\to\infty} a_n\, e \lim_{n\to\infty} b_n\,.

Como b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\,, estes limites deve ser idênticos:

\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} b_n=:x^*\,.

Vamos mostrar agora que x^*\, é um ponto de acumulação de X. Para isso, devemos mostrar que para todo \epsilon>0\, o conjunto B(x^*,\epsilon)\cap X possui infinitos pontos. De fato, fixe \epsilon>0\, e escolha n tal que:

b_n-a_n<\epsilon\,

Como x\in [a_n,b_n]\,, temos que [a_n,b_n]\subseteq B(x^*,\varepsilon)\,. Logo B(x^*,\epsilon)\cap X\supseteq [a_b,b_n]\cap X = X_n. Como X_n\, é infinito por construção, x^*\, é um ponto de acumulação de X, o que completa a demonstração.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

Uma aplicação versão ligeiramente modificada e muito útil do teorema de Bolzano-Weierstrass é a seguinte:

Todo sequência limitada de números reais admite uma sub-sequência convergente.

Teorema (Propriedade dos intervalos encaixantes)[editar | editar código-fonte]

Se F_n\, é uma sequência de conjuntos fechados, limitados e não-vazios tais que F_{n+1}\subseteq F_n\,, então a intersecção destes conjuntos é não vazia. Isto é:

\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n\neq \emptyset\,; Demonstração

Como cada F_n\, é não vazio é possível construir a sequência x_n\, tal que:

x_n\in F_n\,

Do fato de os conjuntos F_n\, são limitados, passando a uma subsequência se necessário, pode-se supor \{x_n\}\, é uma sequência convergente para algum real x^*\,.

De F_k\subseteq F_n\, se k\geq n\,, temos que \{x_n\}_{n=k}^{\infty}\subseteq F_k\, e como cada um destes conjuntos é fechados, x^*\in F_k\, para todo k. Daí temos que o limite x^*\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n\, e o resultado segue.

Distância de um conjunto a um ponto[editar | editar código-fonte]

A distância de um conjunto até um ponto é um importante conceito na análise e permite uma nova caracterização para os pontos do fecho de um conjunto: um ponto x\in \mathbb{R}\, pertence ao fecho \overline{S}\, de um conjunto S\, se e somente se a distância se S\, ate x\, é nula.

Definimos a distância entre um conjunto S\subseteq \mathbb{R}\, e um ponto x\in\mathbb{R}\, como o ínfimo da distância entre os pontos de S e o ponto x.

\hbox{dist}(S,x):=\inf_{y\in S} |x-y|\,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  1. \hbox{dist}(S,x)>0 \Longrightarrow x\notin S\,
  2. \hbox{dist}(S,x)=\hbox{dist}(\overline{S},x) \,
  3. x\in \overline{S} \Longleftrightarrow \hbox{dist}(S,x)=0\,; Demonstração

1. Se \hbox{dist}(S,x)>0\,, todo ponto y\in S\, tem a propriedade que:

|x-y|\geq \hbox{dist}(S,x)>0\Longrightarrow x\neq y\,

e o resultado segue.

2. Do fato que S\subseteq \overline{S}\, e da definição de ínfimo, temos:

\hbox{dist}(S,x)\geq\hbox{dist}(\overline{S},x) \,

Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto x\in\mathbb{R}\, e defina

\delta:=\hbox{dist}(\overline{S},x) \,

Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência \{y_n\}\, tal que

y_n\in \overline{S}\hbox{ e } |y_n-x|<\delta+1/n,~~n=1,2,3,\ldots\,

Como y_n\in\overline{S}\,, da definição de fecho de um conjunto, temos a existência de pontos z_n\, tais que:

z_n\in S\hbox{ e } |z_n-y_n|<1/n\,

Da desigualdade triangular, temos:

|z_n-x|\leq|z_n-y_n|+|y_n-x|<\delta+2/n\,

Agora, basta estimar:

\hbox{dist}(S,x)\leq \inf_{n=1}^{\infty}|z_n-x|= \delta= \hbox{dist}(\overline{S},x) \,

E o resultado segue.

3. Resta-nos demonstrar que se F\, é um conjunto fechado então \hbox{dist}(F,x)=0\Longrightarrow x\in F\, Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência \{y_n\}\, tal que

y_n\in \overline{S}\hbox{ e } |y_n-x|<1/n,~~n=1,2,3,\ldots\,

Da definição de limite, temos que:

\lim_{n\to\infty}y_n=x\,

Como F\, é um conjunto fechado, o limite x\, da sequência \{y_n\}\, deve pertencer a F\,. Assim, o resultado segue.

Conjuntos compactos[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em X possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de X.

Todo compacto é fechado e limitado[editar | editar código-fonte]

a.Suponha que X não seja um conjunto fechado, então, por definição, existe uma sequência x_n\in X\, que converge para um número real x\notin X. Como \{x_n\}\, é convergente, todas as suas sub-sequências convergem para o mesmo limite x, portanto, nenhuma subsequência de \{x_n\} converge para um ponto de X, logo X não pode ser compacto.

b.Suponha que X não seja um conjunto limitado. Então por definição, é possível construir uma sequência x_n\in X\, tal que |x_n|>n\,. Esta sequência não possui nenhuma sub-sequência convergente, logo X não pode ser compacto.

Todo conjunto fechado e limitado é compacto[editar | editar código-fonte]

Suponha que X é fechado e limitado e seja \{x_n\}\, uma sequência contida em X. A sequência \{x_n\}\, é limitado, portanto, possui um sub-sequência convergente para um limite x^*\,, como X é fechado, x^*\in X\,, o que completa a demonstração.

Compacidade no sentido de Heine-Borel[editar | editar código-fonte]

Seja X\, um conjunto na reta e \{O_\lambda\}\, um coleção de conjuntos abertos O_\lambda\, indexados por um índice \lambda\in\Lambda\,. Dizemos que \{O_\lambda\}\, é uma cobertura de X\, se:

\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\supseteq X\,

Exemplos de cobertura[editar | editar código-fonte]

  • A família de abertos \left\{O_n\right\}_{n=1}^{\infty}\, dada por O_n=(-n,n)\, é uma cobertura para o conjuntos dos número reais, \mathbb{R}\,
  • A família de abertos \left\{O_n\right\}_{n=1}^{\infty}\, dada por O_n=(1-1/n,1+1/n)\, é uma cobertura do intervalo (0,1)\,.
  • A família de abertos \left\{O_\lambda\right\}\, dada por O_\lambda=(-\lambda,\lambda)\,, onde o índice \lambda\, pertence a (0,1)\, é uma cobertura do intervalo (-1,1)\,.

Subcobertura[editar | editar código-fonte]

Seja \{O_\lambda\},~~ \lambda\in\Lambda\, uma cobertura de X\, e \Gamma\subseteq \Lambda\,. Dizemos que \{O_\gamma\},~~ \gamma\in\Gamma\, é uma subcobertura de \{O_\lambda\},~~ \lambda\in\Lambda\, se \{O_\gamma\},~~ \gamma\in\Gamma\, é também uma cobertura de X.

Teorema de Heine-Borel[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é compacto se e somente se possui a propriedade de Heine-Borel:

Toda cobertura de abertos admite uma subcobertura finita.
Demonstração

Começamos demonstrando o seguinte lema:

Lema

Se um conjunto K possui a propriedade de Heine-Borel e x\notin K\,, então \hbox{dist}(K,x)>0\,; Demonstração

Define-se:

r(y)=\frac{|x^*-y|}{2}, \forall y\in\mathbb{R}^n

É claro que r(y)>0\, para todo ponto y\, em K\,.

Agora constróem-se os abertos:

O_{y}=B(y,r(y)), \forall y\in K, ou seja, a bola de centro y e raio r(y)\,

Eles formam uma cobertura para K:

K=\bigcup_{y\in K}\{y\}\supseteq \bigcup_{y\in K}O_y

Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos y_1,y_2,\ldots, y_n \in K\, tais que:

K\subseteq \bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}

Da simples definição de O_{y}\,, sabemos que eles são disjuntos das bolas centradas em y^*\, de raio r(y)\,:

O_{y}\bigcap B(x^*,r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^*,r(y))=\emptyset

Define-se:

\delta=\min_{k=1}^{n} r(y_k)\,

temos:

O_{y_k}\bigcap B(x^*,\delta)=B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,\delta)\subseteq B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,r(y_k))=\emptyset,\forall k=1,\ldots,n

Tomando a união, temos:

K\bigcap \left(B(x^*,\delta)\right)\subseteq \left(\bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}\right)\bigcap B(x^*,\delta)=\emptyset

O que completa a demonstração.

Todo conjunto de Heine-Borel é fechado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja x\notin K\,, pelo lema anterior \hbox{dist}{K,x}>0\, e, portanto, x\notin \overline{K}\,, isso significa que:

K^c\subseteq \overline{K}^c\Longrightarrow \overline{K}\subseteq K\,

e portanto K é fechado.

Todo conjunto de Heine-Borel é limitado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de K:

K\subseteq \mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty}(-n,n)\,

Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:

K\subseteq \bigcup_{n=1}^{N}(-n,n)=(-N,N)\,

Logo K é limitado.

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