Análise real/Topologia da reta

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Conceitos da topologia da reta que serão usados na Análise Real. Nota: para usar uma analogia com a geometria, um número real x também será chamado de um ponto x.

Índice

[editar] Conjunto aberto

[editar] Ponto interior

Um ponto é dito ponto interior de um conjunto X \subset \mathbb{R}, se existe a < b\, tal que x \in (a,b)\subseteq X\,.

Usamos a notação \dot X\, ou int(X)\, para denotar o conjunto de todos os pontos interiores do conjunto X\,

[editar] Exemplos

  • Todo ponto x é um ponto interior de \mathbb{R}\,
  • Todo número real x com a < x < b é um ponto interior do intervalo aberto (a, b). É fácil ver que nenhum outro ponto é ponto interior de (a, b); por exemplo, a não é ponto interior de (a, b) porque qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos menores que a.
  • Analogamente, os pontos interiores do intervalo fechado [a, b] formam o intervalo aberto (a, b).
  • Nenhum ponto é ponto interior de \mathbb{N}\,, \mathbb{Z}\, ou \mathbb{Q}\,.

[editar] Definição de conjunto aberto

Dizemos que um conjunto A \subset \mathbb{R} é conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja: \forall x \in A, \exists \epsilon > 0 | (x - \epsilon, x + \epsilon) \subset A.

[editar] Exemplos

  • O intervalo aberto (a,b) \subset \mathbb{R}, com a < b\; é aberto, de fato, dado x \in (a,b), tomando \epsilon = min{x - a, b - x}\;, temos que (x - \epsilon, x + \epsilon) \subset (a,b). Portanto, o intervalo aberto é, de fato, aberto.
  • [a,b) \subset \mathbb{R}, com a < b\; não é aberto, pois, qualquer que seja \epsilon > 0, (a - \epsilon, a + \epsilon) \not\subset [a,b).

[editar] Propriedade dos conjuntos abertos

  1. Os conjuntos \mathbb{R} e \emptyset\, são abertos.
  2. A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
  3. A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Demonstração

1. Imediato da definição.

2.Seja \{O_\lambda\}\, uma família de conjuntos abertos indexada pelo índice \lambda\in\Lambda\, e seja:

O=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\,.

Então se x\in O\,, existe um \lambda'\in\Lambda\, tal que x\in\O_\lambda'\,.

Como O_\lambda'\, é aberto, existe um intervalo (a,b)\, com a<b\, tal que:

x\in(a,b)\subseteq O_\lambda'\,

Como O_\lambda' \subseteq \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\,, temos que:

x\in (a,b)\subseteq O\,

E portanto O\, é aberto.

3.Seja \{O_k\}_{k=1}^{n} uma família finita de conjuntos aberto e seja O=\bigcap_{k=1}^n O_k\, e x\in O\,. Como x\in O_k, k=1,\ldots,n\, e cada O_k\, é aberto. Existem intervalos (a_k,b_k)\, tais que:

x\in (a_k,b_k)\subseteq O_k\,

Naturalmente vale que a_k<x<b_k\,. Agora definimos:

a=\max_{k=1}^n a_k\quad b=\min_{^k=1}^n b_k\,

É fácil ver que a<x<b\, e também que:

x\in (a,b)\subseteq O_k, k=1,\ldots,n\,

e portanto:

x\in (a,b)\subseteq O\,.

O que completa a demonstração.

[editar] Conjunto fechado

[editar] Ponto aderente

Ponto aderente de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X ⊂ \mathbb{R}.

  • Todo ponto a de um conjunto X\, é também um ponto aderente, pois ele é o limite da sequência constante x_n=a\,.
  • Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto X:=\left\{1/n\right\}_{n=1}^{\infty}\, possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X.

[editar] Teorema

As seguintes afirmações são equivalente:

  1. a é ponto aderente de X
  2. Para todo \epsilon>0\,, existe um ponto x\in X\, tal que \left|x-a\right|\leq \varepsilon
  3. B(a,\epsilon)\cap X \not = \varnothing\, para todo \epsilon>0\,; Demonstração

1→2: Se a é um ponto aderente de X, por definição, existe um sequência x_n\in X\, tal que xntoa. Da definição de limite de sequências, para todo \epsilon>0\,, existe um x_k\, tal que \left|x_k-a\right|\leq \varepsilon. Como x_k\in X\,, basta definir x=x_k\, e o resultado segue.

2→3:Suponha que x\in X\, e \left|x-a\right|\leq \varepsilon\,. Como B(a,\epsilon)=\left\{x\in\mathbb{R}:|x-a|<\epsilon\right\}, x\in B(a,\epsilon)\, e o resultado segue.

3→1:Defina a sequência x_n\,, escolhendo-os de forma que x_n\in B(a,1/n)\cap X\,. Esta sequência tem a propriedade que x_n\in X\, e \left|x_n-a\right|<1/n\,, logo x_n\to a\, e o resultado segue.

[editar] Fecho

Define-se o fecho de um conjunto X como é o conjunto dos pontos aderentes de X e denota-se por \bar{X}:

\bar{X} := \left\{ a \in \mathbb{R}: \forall \epsilon >0 . B(a,\epsilon) \cap X \not = \varnothing \right\}

[editar] Exemplos

  • Os fechos de \mathbb{R}\, e \varnothing\, são eles mesmos
  • O fecho do conjunto {1, 1/2, 1/3, ...} é o conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, ...}
  • Como cada número irracional pode ser arredondado com a precisão que se queira por números racionais, existe, para todo x \in \mathbb{R}\, uma sequência de números racionais q_i\, que converge para x. Ou seja, o fecho de \mathbb{Q}\, é \mathbb{R}\,
  • Uma sequência de números naturais (ou inteiros) só será convergente se ela for constante a partir de algum índice. Portanto, uma sequência de números naturais (ou inteiros), se converge, converge para um número natural (resp. inteiro). Ou seja, os fechos de \mathbb{N}\, e \mathbb{Z}\, são eles mesmos.
  • O fecho de qualquer intervalo (a, b), (a, b], [a, b) ou [a, b], em que a < b, é o intervalo fechado [a, b]. É fácil ver que nenhum ponto x < a e nenhum ponto x > b pode ser ponto aderente; então basta provar que a é um ponto aderente de (a, b) (os demais casos são similares). Mas isto equivale a dizer que existe uma sequência com elementos em (a, b) que converge para a. Tomando-se a sequência a + 1, a + 1/2, a + 1/3, ..., é fácil ver que esta sequência converge para a. Então, por definição, para ε = b - a > 0, existe N tal que se n > N, então |a - (a + 1/n)| < ε. Reescrevendo, temos que para n > N, 1/n < b - a, ou seja, a + 1/n < b. Como a + 1/n > a, temos que a + 1/n \in (a,b)\,. Portanto, a sequência de elementos do intervalo (a, b) dada por a + 1/N, a + 1/(N + 1), a + 1/(N + 2), ... é uma sequência de elementos de (a, b) que converge para a.

[editar] Definição de conjunto fechado

Um conjunto X\, é dito conjunto fechado se e somente ele é igual ao seu fecho: X = \bar{X}\,

[editar] Exemplos

  • São fechados: \mathbb{R}\,, \varnothing\,, \mathbb{N}\,, \mathbb{Z}\,, [a, b].
  • Não são fechados: \mathbb{Q}\,, (a, b), (a, b], [a, b).


[editar] Teorema

Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto. De fato, este é talvez o principal teorema sobre conjuntos fechados. Nos estudos mais avançados da chamada "topologia geral", os fechados são usualmente definidos através desta caracterização.

a. Suponha que X seja um conjunto fechado e O seja o complementar de X nos reais:

O=\mathbb{R}\backslash X\,

Suponha por absurdo que O\, não seja um conjunto aberto, ou seja, suponha a existência de um ponto x\in O\, tal que:

\forall \epsilon>0; B(x,\epsilon)\nsubseteq O\,

Como O\cap X=\mathbb{R}\, temos que

B(x,\epsilon)\nsubseteq O\Longrightarrow B(x,\epsilon)\cup X \neq \emptyset\,

Esta propriedade implica que x\in\bar{X}\, e como X é fechado,x\in X\,, o que contraria a hipótese inicial de que x\in O\, e O=\mathbb{R}\backslash X\,.

b. Suponha que X seja o complementar nos reais de um conjunto aberto O:

X=\mathbb{R}\backslash O\,

Suponha a existência de uma sequência x_n\in X\, tal que:

\lim_{n\to\infty}x_n=x\,

Queremos mostrar que x\in X\,. Suponha, por absurdo, que x\notin X\,, ou seja, x\in O\,. Como O é aberto, exite uma bola B(x,\epsilon)\subseteq O\,. Escolha x_N\, tal que \left|x_N-x\right|<\epsilon\,. Isso implica x_N\in B(x,\epsilon)\subseteq O\,, o que é uma contradição, já que x_N\in X\,.

[editar] Propriedades dos conjuntos fechados

  1. Os conjuntos \mathbb{R} e \emptyset\, são fechados.
  2. A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
  3. A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

[editar] Ponto de acumulação

[editar] Ponto de acumulação

Seja X um subconjunto dos números reais. Dizemos que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma sequência x_n\in X\, de pontos diferentes de x convergindo para x.

É claro da definição que todo ponto de acumulação é também um ponto de aderência. Deve-se observar que nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação. Por exemplo o conjunto X=\{0\} \; possui um único elemento. Este elemento é um ponto de aderência, já que a sequência constante x_n=0\, converge para ele, mas não é um ponto de acumulação, pois não existe nenhuma sequência de elementos de X diferentes de 0 convergindo para 0.

[editar] Ponto isolado

Define-se como ponto isolado de um conjunto X, um elemento x\in X \, que não é ponto de acumulação.

[editar] Conjunto discreto

Diz-se que X\, é um conjunto discreto se todos os seus pontos forem isolados. O conjunto dos números naturais é um exemplo de conjunto discreto nos reais.

[editar] Teorema de Bolzano-Weierstrass

Seja X\, um conjunto infinito e limitado, então X\, possui pelo menos um ponto de acumulação.

[editar] Demonstração

Como X é um conjunto limitado, existe um intervalo finito [a,b]\, tal que X\subset [a,b]\,. Defina M_1\,, o ponto médio deste intervalo:

M_1:=\frac{a+b}{2}\,

como X=\left(X\cap[a,M_1]\right)\cup\left(X\cap[M_1,b]\right) e X é um conjunto com infinitos pontos, podemos inferir que \left(X\cap[a,M_1]\right) ou \left(X\cap[M_1,b]\right) possui infinitos pontos. Definimos então:

 : \begin{array}{lll} a_1=M_1,&b_1=b,&\hbox{se } \left(X\cap[M_1,b]\right) \hbox{for infinito;} \\ a_1=a,&b_1=M_1,&\hbox{c.c.} \end{array}

E define-se X_1:=X\cap[a_1,b_1]\,, X_1\, é novamente um conjunto infinito. Este processo pode ser aplicado recursivamente, definindo:

M_{n+1}:=\frac{a_n+b_n}{2}\,: \begin{array}{lll} a_{n+1}=M_{n+1},&b_{n+1}=b_n,&\hbox{se } \left(X\cap[M_{n+1},b_n]\right) \hbox{for infinito;} \\ a_{n+1}=a_n,&b_{n+1}=M_{n+1},&\hbox{c.c.} \end{array}

e, finalmente, X_{n+1}:=X_n\cap[a_{n+1},b_{n+1}]\,, que será um conjunto de infinitos pontos. Observe que a sequência a_n\, é não decrescente e limitada superiormente por b e a sequência b_n\, é não crescente e limitada inferiormente por a. Daí, podemos inferir a existência dos limites:

\lim_{n\to\infty} a_n\, e \lim_{n\to\infty} b_n\,.

Como b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\,, estes limites deve ser idênticos:

\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} b_n=:x^*\,.

Vamos mostrar agora que x^*\, é um ponto de acumulação de X. Para isso, devemos mostrar que para todo \epsilon>0\, o conjunto B(x^*,\epsilon)\cap X possui infinitos pontos. De fato, fixe \epsilon>0\, e escolha n tal que:

b_n-a_n<\epsilon\,

Como x\in [a_n,b_n]\,, temos que [a_n,b_n]\subseteq B(x^*,\varepsilon)\,. Logo B(x^*,\epsilon)\cap X\supseteq [a_b,b_n]\cap X = X_n. Como X_n\, é infinito por construção, x^*\, é um ponto de acumulação de X, o que completa a demonstração.

[editar] Aplicação

Uma aplicação versão ligeiramente modificada e muito útil do teorema de Bolzano-Weierstrass é a seguinte:

Todo sequência limitada de números reais admite uma sub-sequência convergente.

[editar] Teorema de Cantor

O teorema de Cantor ou teorema dos conjuntos encaixados afirma que se F_n\, é uma sequência de conjuntos fechados limitados não vazio tais que F_{n+1}\subseteq F_n\,, então a intersecção destes conjuntos é não vazia:

\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n\neq \emptyset\,; Demonstração

Como cada F_n\, é não vazio é possível construir a sequência x_n\, tal que:

x_n\in F_n\,

Como os conjuntos F_n\, serem limitados, pode-se supor sem perda de generalidade que \{x_n\}\, é uma sequência convergente para algum real x^*\,. Do fato que F_k\subseteq F_n\, se k\geq n\,, temos que \{x_n\}_{n=k}^{\infty}\subseteq F_k\, e como estes conjuntos são fechados, x^*\in F_k\, para todo k. Daí temos que o limite x^*\in\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n\, e o resultado segue.

[editar] Distância de um conjunto a um ponto

A distância de um conjunto até um ponto é um importante conceito na análise e permite uma nova caracterização para os pontos do fecho de um conjunto: um ponto x\in \mathbb{R}\, pertence ao fecho \overline{S}\, de um conjunto S\, se e somente se a distância se S\, ate x\, é nula.

Definimos a distância entre um conjunto S\subseteq \mathbb{R}\, e um ponto x\in\mathbb{R}\, como o ínfimo da distância entre os pontos de S e o ponto x.

\hbox{dist}(S,x):=\inf_{y\in S} |x-y|\,

[editar] Propriedades

  1. \hbox{dist}(S,x)>0 \Longrightarrow x\notin S\,
  2. \hbox{dist}(S,x)=\hbox{dist}(\overline{S},x) \,
  3. x\in \overline{S} \Longleftrightarrow \hbox{dist}(S,x)=0\,; Demonstração

1. Se \hbox{dist}(S,x)>0\,, todo ponto y\in S\, tem a propriedade que:

|x-y|\geq \hbox{dist}(S,x)>0\Longrightarrow x\neq y\,

e o resultado segue.

2. Do fato que S\subseteq \overline{S}\, e da definição de ínfimo, temos:

\hbox{dist}(S,x)\geq\hbox{dist}(\overline{S},x) \,

Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto x\in\mathbb{R}\, e defina

\delta:=\hbox{dist}(\overline{S},x) \,

Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência \{y_n\}\, tal que

y_n\in \overline{S}\hbox{ e } |y_n-x|<\delta+1/n,~~n=1,2,3,\ldots\,

Como y_n\in\overline{S}\,, da definição de fecho de um conjunto, temos a existência de pontos z_n\, tais que:

z_n\in S\hbox{ e } |z_n-y_n|<1/n\,

Da desigualdade triangular, temos:

|z_n-x|\leq|z_n-y_n|+|y_n-x|<\delta+2/n\,

Agora, basta estimar:

\hbox{dist}(S,x)\leq \inf_{n=1}^{\infty}|z_n-x|= \delta= \hbox{dist}(\overline{S},x) \,

E o resultado segue.

3. Resta-nos demonstrar que se F\, é um conjunto fechado então \hbox{dist}(F,x)=0\Longrightarrow x\in F\, Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência \{y_n\}\, tal que

y_n\in \overline{S}\hbox{ e } |y_n-x|<1/n,~~n=1,2,3,\ldots\,

Da definição de limite, temos que:

\lim_{n\to\infty}y_n=x\,

Como F\, é um conjunto fechado, o limite x\, da sequência \{y_n\}\, deve pertencer a F\,. Assim, o resultado segue.

[editar] Conjuntos compactos

Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em X possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de X.

[editar] Todo compacto é fechado e limitado

a.Suponha que X não seja um conjunto fechado, então, por definição, existe uma sequência x_n\in X\, que converge para um número real x\notin X. Como \{x_n\}\, é convergente, todas as suas sub-sequências convergem para o mesmo limite x, portanto, nenhuma subsequência de {xn} converge para um ponto de X, logo X não pode ser compacto.

b.Suponha que X não seja um conjunto limitado. Então por definição, é possível construir uma sequência x_n\in X\, tal que |x_n|>n\,. Esta sequência não possui nenhuma sub-sequência convergente, logo X não pode ser compacto.

[editar] Todo conjunto fechado e limitado é compacto

Suponha que X é fechado e limitado e seja \{x_n\}\, uma sequência contida em X. A sequência \{x_n\}\, é limitado, portanto, possui um sub-sequência convergente para um limite x^*\,, como X é fechado, x^*\in X\,, o que completa a demonstração.

[editar] Compacidade no sentido de Heine-Borel

Seja X\, um conjunto na reta e \{O_\lambda\}\, um coleção de conjuntos abertos O_\lambda\, indexados por um índice \lambda\in\Lambda\,. Dizemos que \{O_\lambda\}\, é uma cobertura de X\, se:

\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\supseteq X\,

[editar] Exemplos de cobertura

  • A família de abertos \left\{O_n\right\}_{n=1}^{\infty}\, dada por O_n=(-n,n)\, é uma cobertura para o conjuntos dos número reais, \mathbb{R}\,
  • A família de abertos \left\{O_n\right\}_{n=1}^{\infty}\, dada por O_n=(1-1/n,1+1/n)\, é uma cobertura do intervalo (-1,1)\,.
  • A família de abertos \left\{O_\lambda\right\}\, dada por O_\lambda=(-\lambda,\lambda)\,, onde o índice \lambda\, pertence a (0,1)\, é uma cobertura do intervalo (-1,1)\,.

[editar] Subcobertura

Seja \{O_\lambda\},~~ \lambda\in\Lambda\, uma cobertura de X\, e \Gamma\subseteq \Lambda\,. Dizemos que \{O_\gamma\},~~ \gamma\in\Gamma\, é uma subcobertura de \{O_\lambda\},~~ \lambda\in\Lambda\, se \{O_\gamma\},~~ \gamma\in\Gamma\, é também uma cobertura de X.

[editar] Teorema de Heine-Borel

Um conjunto é compacto se e somente se possui a propriedade de Heine-Borel:

Toda cobertura de abertos admite uma subcobertura finita.
Demonstração

Começamos demonstrando o seguinte lema:

Lema

Se um conjunto K possui a propriedade de Heine-Borel e x\notin K\,, então \hbox{dist}(K,x)>0\,; Demonstração

Define-se:

r(y)=\frac{|x^*-y|}{2}, \forall y\in\mathbb{R}^n

É claro que r(y)>0\, para todo ponto y\, em K\,.

Agora constróem-se os abertos:

O_{y}=B(y,r(y)), \forall y\in K, ou seja, a bola de centro y e raio r(y)\,

Eles formam uma cobertura para K:

K=\bigcup_{y\in K}\{y\}\supseteq \bigcup_{y\in K}O_y

Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos y_1,y_2,\ldots, y_n \in K\, tais que:

K\subseteq \bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}

Da simples definição de O_{y}\,, sabemos que eles são disjuntos das bolas centradas em y^*\, de raio r(y)\,:

O_{y}\bigcap B(x^*,r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^*,r(y))=\emptyset

Define-se:

\delta=\min_{k=1}^{n} r(y_k)\,

temos:

O_{y_k}\bigcap B(x^*,\delta)=B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,\delta)\subseteq B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,r(y_k))=\emptyset,\forall k=1,\ldots,n

Tomando a união, temos:

K\bigcap \left(B(x^*,\delta)\right)\subseteq \left(\bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}\right)\bigcap B(x^*,\delta)=\emptyset

O que completa a demonstração.

Todo conjunto de Heine-Borel é fechado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja x\notin K\,, pelo lema anterior \hbox{dist}{K,x}>0\, e, portanto, x\notin \overline{K}\,, isso significa que:

K^c\subseteq \overline{K}^c\Longrightarrow \overline{K}\subseteq K\,

e portanto K é fechado.

Todo conjunto de Heine-Borel é limitado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de K:

K\subseteq \mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty}(-n,n)\,

Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:

K\subseteq \bigcup_{n=1}^{N}(-n,n)=(-N,N)\,

Logo K é limitado.

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