Análise real/Completude

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[editar] Completude

Os números racionais \mathbb Q satisfazem todos os axiomas de Corpo Arquimediano, detalhadas no capítulo anterior. Por isso, se quisermos justificar a necessidade dos números reais então claramente precisamos de algo a mais. Este "algo mais" é a completude. Existem várias maneiras equivalentes de descrever essa completude, mas a maioria deles exige de nós conhecer um pouco sobre sequências, que nós não introduziremos até o próximo capítulo, portanto, de momento, só podemos dar uma definição.

[editar] Cota Superior

Seja A\subseteq\mathbb R. Dizemos b\in\mathbb R é uma cota superior para A se

\forall s\in A:s\leq b

Por exemplo, 3 é uma cota superior para [0,1], assim como 1, mas \frac{1}{2} não é, porque 1\in[0,1] e 1>\frac{1}{2}. Um conjunto com uma cota superior b é dito ser limitado superiormente por b.

[editar] Supremo e Ínfimo

Dizemos que s é o extremo superior ou supremo de A se s é a menor das cotas superiores de A, e b é qualquer extremo superior para A então s\leq b. Mais formalmente:

(\forall a\in A:a\leq s)\mbox{ e }(\forall b\in\mathbb R:((\forall a\in A:a\leq b)\implies(s\leq b)))

Do mesmo modo, dizemos que b\in\mathbb R é cota inferior para A se

\forall a\in A:a\geq b

E dizemos que i é a maior das cotas inferiores ou ínfimo de A se:

(\forall a\in A:a\geq i)\mbox{ e }(\forall b\in\mathbb R:((\forall a\in A:a\geq b)\implies(i\geq b)))

É fácil ver que o supremo (ou ínfimo), se existem, devem ser únicos. Se existem, o supremo e ínfimo de um conjunto A são indicadas \sup A e \inf A respectivamente.

[editar] O axioma completude

Agora estamos finalmente prontos para indicar o último axioma, que é de completude:

  • Se S\subseteq\mathbb R é não-vazio e tem uma cota superior, então S\ tem o menor das cotas superiores.

É de salientar, neste ponto, a fim de evitar possíveis confusões, que geralmente nos estudo dos conjuntos ordenados, a definição de completude é que cada subconjunto tem a menor cota superior, e não há qualquer condição de que seja não-vazio ou limitado superiormente. No entanto, nós realmente deseja impor estas duas condições neste caso.

[editar] Outros axiomas de completude

Existem outros maneiras equivalentes de definir o axioma completude, mas envolvem sequências, então devemos falar sobre elas depois de discutido esse tema. Por causa da existência dessas outras formas, esse axioma é algumas vezes chamado de axioma do menor das cotas superiores.

[editar] Completude

O significade de completeness: é um axima relacionado com supremo e ínfimo. Que busca uma 'completude' nesses conceitos.

[editar] Propriedades de menor das cota superiores

Nós estaremos fazendo muito trabalho com a Menor das cotas superiores, por isso será importante saber como usá-los de forma eficiente nas provas. Aqui estão algumas definições e propriedades que são úteis a este respeito:

[editar] Unicidade da menor das cotas superiores

Todo conjunto não vazio que é limitado superiormente têm um único menor das cotas superiores, ou supremo (dito \sup S).

[editar] Prova

Seja a e b duas menor das cotas superiores de um conjunto S.

Se a > b, então b é uma cota superior para S, a não pode ser a menor das cotas superiores. Assim a \leq b. Similarmente, a \geq b. Assim a = b, então S pode ter somente uma maior das cotas superiores.

[editar] Existência do maior das cotas inferiores

Todo conjunto não vazio S que é limitado inferiormente têm um único maior das cotas inferiores, ou ínfimo (dito \inf S).

[editar] Prova

Seja S não-vazio e limitado inferiormente. Seja T := \{-x: x \in S\}.

Como S é não-vazio, \exists x \in S. Assim -x \in T, então T é não-vazio.

Como S é limitado inferiormente, \exists M : \forall x \in S : x > M.

Então x \in T \implies -x \in S \implies -x > M \implies x < -M.

Logo T é limitado superiormente por M, e portanto T têm o maior das cotas inferiores, β.

Como x \in S \implies -x \in T \implies -x < \beta \implies x > -\beta, − β é uma cota inferior para S.

Seja α uma cota inferior para S.

Logo x \in T \implies -x \in S \implies -x > \alpha \implies x < \alpha, então − α é uma cota superior para T.

Como β é a maior cota superior para T, − α > β, e assim α < − β.

Assim toda cota inferior para S é menor que − β

Ou seja, − β é a maior cota inferior para S.

A unicidade segue similarmente ao da maior das cotas superiores.

[editar] Teorema (Ordenação dos Sups e Infs)

Se S \subseteq T, onde S é não-vazio e T é limitado, então \inf T \leq \inf S \leq \sup S \leq \sup T

[editar] Prova

Como S é não-vazio, ele contêm um elemento x. Por definição, \inf S \leq x e x \leq \sup S , então \inf S \leq \sup S.

Como T é limitado superiormente, ele têm a maior das cotas superiores, \sup T.

Como t é em particular uma cota superior para T, \forall x \in T: x \leq \sup T . Como S \subseteq T, x \in S \implies x \in T \implies x \leq \sup T.

Logo \sup T é uma cota superior para S, Então \sup S existe e por definição \sup S \leq \sup T.

Similarmente, \inf S \geq \inf T.

[editar] Propriedade do supremo e ínfimo

Seja \; X \subset \mathbb{R} \; e \; c \in \mathbb{R};

  • supremo
  1. c < sup \; X \Rightarrow \exists x \in X; c < x
  2. x \le c, \forall \; x \in X \Rightarrow sup X \le c
  • ínfimo
  1. inf \; X < c \Rightarrow \exists x \in X; x < c
  2. c \le x, \forall \; x \in X \Rightarrow c \le inf X

[editar] Princípio dos Intervalos encaixados

Esse conceito será muito útil para nós. E será muito usado nas próximas secções e em muitos exercícios.

  • Seja uma X_1 \subset X_2 \subset ... \subset X_n \subset ... sequência decrescentes de intervalos limitados e fechados X_n = [x_n,y_n] \;.
    • X = \bigcap_{i=1}^{\infty}X_i \ne \varnothing \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}; \; a \in X_n, \; \forall \; n \in \mathbb{N}
    • De fato temos que X \; = [x,y], onde \; x = sup \; x_n, y = inf \; y_n

[editar] Notação de Soma e Produto

Muitas vezes precisamos usar a soma ou produto de vários números reais de cada vez. Como "..." é dado sem significado pelos nossos axiomas, não podemos apenas escrever "a_1 + a_2 + \dots + a_n ". Logo usamos simbolos \sum_{k=1}^{n} a_k e \prod_{k=1}^{n} a_k para denotar a soma e produto, respectivamente, sobre um arbitrário número finito de números reais. Faremos isto indutivamente, como se segue:

  • \sum_{k=1}^{1} a_k = a_1 e \prod_{k=1}^{1} = a_1
  • \sum_{k=1}^{n} a_k = a_{n} + \sum_{k=1}^{n-1} a_k e \prod_{k=1}^{n} a_k = a_{n}\prod_{k=1}^{n-1}a_k

Agora podemos provar algumas propridades de soma e produto:

[editar] Propriedades

  • A ordem da somatória pode ser mudada arbitrariamente. Ao qual, se \{a_k: 1 \leq k \leq n\} = \{b_k: 1 \leq k \leq n\}, então \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} b_k e \prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{k=1}^{n} b_k
    • Prova: Isto segue por comutatividade e um pouco de indução.
  • \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) e \prod_{k=1}^{n} a_k \prod_{k=1}^{n} b_k = \prod_{k=1}^{n} (a_k b_k)
    • Prova: Procederemos por indução. Primeiro, note que \sum_{k=1}^{1} a_k + \sum_{k=1}^{1} b_k = a_k + b_k = \sum_{k=1}^{1} (a_k + b_k).

Agora vamos supor que \sum_{k=1}^{n-1} a_k + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = \sum_{k=1}^{n-1} (a_k + b_k). Logo \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k =\sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n + \sum_{k=1}^{n-1} b_k + b_n =\sum_{k=1}^{n-1} a_k + \sum_{k=1}^{n-1} b_k + a_n + b_n = \sum_{k=1}^{n-1} (a_k + b_k) + (a_n + b_n) = \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k).

A prova para o produto segue-se similarmente.

  • c\sum_{k=1}^{n}a_k = \sum_{k=1}^{n}c a_k
    • Prova: Outra indução. Para n = 1, c\sum_{k=1}^{1}a_k = c a_1 = \sum_{k=1}^{1}c a_k. Vamos supor que seja verdade para n-1. logo c\sum_{k=1}^{n}a_k = c(\sum_{k=1}^{n-1}a_k + a_n) = \sum_{k=1}^{n-1}c a_k + c a_n = \sum_{k=1}^{n}c a_k.
  • \sum_{k=1}^{n}(a_k) \sum_{l=1}^{m}(b_l) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{m} a_k b_l
    • Prova: Faremos indução sobre n. A propriedade anterior toma conta do caso em que n=1. Assuremos que seja verdade para n-1. Logo \sum_{k=1}^{n}(a_k) \sum_{l=1}^{m}(b_k) = (\sum_{k=1}^{n-1}(a_k) + a_n)\sum_{l=1}^{m}(b_k) = \sum_{k=1}^{n-1}(a_k) \sum_{l=1}^{m}(b_k) + a_n \sum_{l=1}^{m}(b_k) = \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{l=1}^{m}(a_k b_l) + \sum_{l=1}^{m}(a_n b_k) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{m}(a_k b_l)

Propridades mais familiares de soma e produto podem ser deduzidas por métodos similares.

[editar] Ver também

Obtido em "http://pt.wikibooks.org/wiki/An%C3%A1lise_real/Completude"
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