Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado

MESTRADO

1º semestre

• Álgebra

Grupos finitos. Subgrupos. Grupos quocientes. Teorema de Lagrange. Ações de Grupos. Teoremas de Sylow. Grupos abelianos finitamente gerados. Anéis: Anéis e ideais, Domínios euclidianos, Anéis de polinômios, Domínios de fatoração única, corpos finitos. Extensões de Corpos e Teorema Fundamental da Teoria de Galois.

Thomas W. Hungerford, Springer Verlag, Álgebra, 8th edition, May 1997. I.N.Herstein, John wiley & Sons, Topics in Álgebra ,2nd edition, June 1975. Serge Lang, Springer Verlag, Algebra, 3rd Revision edition, January 2002. Joseph Rotman, Springer Verlag, An Introduction to the Theoryof Groups, November, 1991. Paul J. McCarthy, Dover Pubns, Algebraic Extensions of Fields, April 1991.

• Análise no $R^{n}\;$ exercícios Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise

Aplicações diferenciáveis e classes de diferenciabiliade. Regra da Cadeia. Desigualdade do valor médio. Integrais: caminho, repetidas e múltiplas. Derivadas parciais e o teorema de Schwartz. Fórmula de Taylor. Funções implícitas: Teorema da função inversa, formas locais das submersões e imersões, teorema da função implícita, teorema do posto. Produtos tensorial e exterior, campos e formas diferenciais no Rn, integrais de formas, o teorema de Stokes.

Lima, E. L. – Análise em Rn. Lima, E. L. – Análise Real Lima, E. L. – Análise II, Projeto Euclides. Spivak, M. – Cálculos on Manifolds, Benjamin. Carmo, M.P. – Differential Forms and applications, Springer-Verlag

2ºsemestre

• Equações Diferenciais Ordinárias

Teorema de Existência e Unicidade, Teorema de Picard e Peano. Continuidade com respeito as condições iniciais, Equação de variação e derivadas de ordem superior. Fluxos lineares, Exponencial de matrizes. Sistemas hiperbólicos, Formas normais. Pontos singulares hiperbólicos, Teorema de Hartman e aplicações. Funções de Liapounov, Energia cinética e potencial, Campos gradientes e hamiltonianos. Teorema de Poincaré- Bendixson no plano, Teorema de Poincaré-Bendixson na esfera e outras superfícies. Equações de Lienard e ciclos limite, Teorema de Peixoto e estabilidade estrutural de campos de vetores.

Arnold, V. – Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag. Smale, S., Hirsch, M. - Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press. Sotomayor, J. – Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides. 1979. Palis, Melo – Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Projeto Euclides, 1977.

• Geometria Diferencial

Curvas no Plano, Curvas no Espaço, Curvatura, Torção, Fórmulas de Frenet, Teorema Fundamental da Teoria das Curvas, Propriedades Globais de Curvas Planas. Superfícies Regulares em R3. Plano Tangente, Aplicações Diferenciáveis entre Superfícies, Orientabilidade, A Primeira Forma Fundamental, A Aplicação Normal de Gauss, A Segunda Forma Fundamental, Curvaturas Principais e Direções Principais, Curvatura Média e Curvatura Gaussiana, Linhas de Curvatura e Linhas Assintóticas, Superfícies Mínimas, Geometria Intrínseca das Superfícies, Isometria, O Teorema de Gauss e as Equações de Compatibilidade, Derivada Covariante, Transporte Paralelo, Geodésicas, Teorema de Gauss-Bonnet e Aplicações.

Carmo, M. P. do – Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, USA , 1976. Spivak, M. – A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 3, Publish or Perish, USA, 1979. O’ Neill, B. – Elementary Differential Geometry, Academic Press, USA, 1997.

outros semestres

• Tópicos de Álgebra

Polinômios. Extensões de corpos. Homomorfismos de corpos. Teoria de Galois para corpos finitos. Caracterização dos corpos finitos. Raízes de polinômios irredutíveis. Normas, Traços de Bases. Representação dos elementos de um corpo finito. Polinômios irredutíveis. Construção de polinômios irredutíveis. Somas exponenciais. Caracteres. Somas de caracteres. Relações de ortogonalidade. Somas de Gauss e Jacobi. Equações sobre corpos finitos. Número de soluções. Equações polinomiais em uma variável. Equações polinomiais em várias variáveis. Polinômios homogêneos. Polinômios diagonais. Aplicações: códigos lineares e criptografia.

Lidl, R. And Niederreiter, H., Introduction to finite fields and their applications, revised edition, Cambridge University Press, 1994. Lidl, R. And Niederreiter, H., Finite fields. Cambridge University Press, second edition, Cambridge University Press, 1997. McEliece,R. J. Finite fields for computer scientists and engineers. Kluvwer Academic Publishers, 1987

• Álgebra linear

Espaços vetoriais. Transformações Lineares. Teorema do Núcleo da Imagem. Espaço Dual. Autovalores e Autovetores. Diagonalização de Operadores. Teorema da Decomposição Primária. Formas Canônicas de Jordan. Formas Bilineares. Transformações Auto-adjuntas. Teorema Espectral. Classificação das Quádricas.

Hoffamm, K. – Linear Álgebra. Halmos, P. R. – Espaços Vetoriais de Dimensão Finita. Ganmatcher – Matrix Theory, vols. 1 e 2, Academic Press.

• Topologia

Espaços métricos e topológicos: Noções básicas de distância e topologia. Conjuntos abertos, fechados, limitados e conexos em espaços métricos e em espaços topológicos. Coberturas (finitas e enumeráveis) de abertos e fechados. Espaços completos: Seqüências e subseqüências. Convergência. Pontos aderentes e de acumulação. Seqüências de Cauchy, Critérios de convergência de seqüências e séries. Espaços métricos e topológicos completos. Espaços métricos e topológicos compactos. Limite e continuidade: Limite de funções, continuidade, continuidade uniforme. Convergência uniforme e pontual de funções contínuas. Equicontinuidade. Extensão de funções contínuas: Teoremas de extensões de funções contínuas definidas em conjuntos compactos e ou fechados. Separação de conjuntos. Completamento de espaços métricos: Completamento de espaços métricos, espaços quocientes, relações de equivalência em seqüências de Cauchy. Conjuntos totalmente limitados. Teoremas de pontos fixos: Contrações uniformes, teorema do ponto fixo para contrações e aplicações. Teorema de Baire: Conjuntos magros, conjuntos residuais, limite pontual e uniforme de funções contínuas. Funções não diferenciáveis e contínuas. Teorema de Aproximação de Weirstrass: Aproximação de funções contínuas reais por polinômios. Álgebra de funções.

Lima, E. L. - Espaços Métricos, Projeto Euclides. Simmons, G. – Introduction to Topology and Modern Analysis.

• Álgebra multilinear

Espaços vetoriais. Espaços vetoriais quocientes. Transformações Lineares. Teorema do Núcleo e da Imagem. Espaço Dual. Autovalores e Autovetores. Produto interno. Isomorfismos. Bases ortonormais. Polinômios característicos e minimais. Diagonalização de Operadores. Operadores nilpotentes. Forma canônica racional. Formas Canônicas de Jordan. Formas bilineares. Operadores Simétricos e Auto-adjuntos. Teorema Espectral. Classificação das Formas Quadráticas. Determinantes. Cálculo Diferencial das matrizes.

Herstein, Algebra, John Wiley. Peter Lax, Linear Álgebra, Acad. Press. Gantmatcher – Matrix Theory, vols. 1 e 2, Academic Press.

• Medida e Integração

Conjuntos e funções mensuráveis; Operações com conjuntos e funções mensuráveis; Limites de conjuntos e funções mensuráveis. Medidas; Espaços de medida; Exemplos; Sigma; Álgebra de Borel; Medida de Lebesgue. Integral de Lebesgue; Lema de Fatou; Teorema da convergência dominada; Aplicações; Comparação entre integral de Riemann e Lebesgue. Espaços normados; Espaços completos; Espaços Lp; Desigualdade de Holder; Desigualdade de Minkowiski; Completude dos espaços Lp. Convergência em média; Uniforme em quase todo ponto e em Lp. Comparação entre os tipos de convergência. Extensões de medidas; Teorema de Caratheodory; Medida de Lebesgue e de Lebesgue-Stieltjes. Medida produto; Teoremas de Tonelli e Fubini.

Royden, H. – Real Analysis, Michillan. Bartle, G. – The Elements of Integration, John Wiley. Kolmogorov, A., Formin S. – Introductory Real Analysis, Dover Publications.

• Equações Diferenciais Parciais

Desigualdades básicas. Equações de 1a Ordem e Leis de Conservação, Soluções fracas. Equações Quase-Lineares de Segunda Ordem e Classificação. Superfícies, Características. Teorema de Cauchy-Kowalevski. Problemas bem-postos. Equação de Laplace, Funções de Green, Funções Harmônicas e Sub-harmônicas, Princípio do Máximo, Problema de Dirichlet na Esfera e em Domínio Limitado, Problemas não Homogêneos. A Equação do Calor, Princípio do Máximo, Problemas de Dirichlet, Newmann e Cauchy. A Equação da Onda, Médias Esféricas, Princípio de Duhamel, Método das descendentes, Problemas de Cauchy Homogêneo e não Homogêneo.

Emmanuele Di Benedetto, Partial Differential Equations, Birkhauser, Boston, 1995. Iório R., Iório V. Equações Diferenciais Parciais: Uma Introcução, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, IMPA, 1988. Fritz John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1979. G. B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, Princeton University Press, New Jersey, 1995. Friedman, A., Partial Differential Equations, Holt Rinehart and Winston, New York, 1976.

• Funções de uma Variável Complexa

1. O corpo de números complexos. Números complexos. Séries de números e de funções. Espaços de funções contínuas; 2. Funções analíticas. Funções holomorfas: derivação, aplicações conformes, o teorema da função inversa. Séries de potências. Funções exponencial, logaritmo, raízes e potências, trigonométricas. Funções analíticas. 3. Integração no plano complexo. Formas diferenciais. Homotopia e integração. Teoremas de Jordan e de Green. 4. Teoria de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Aplicações. Séries de Laurent. Teoria dos resíduos. A esfera de Riemann.

Alcides Lins Neto, Funções de uma variável complexa, Rio de Janeiro, Projeto Euclides, IMPA, 1993. Alfhors, L.V. – Complex Analysis, McGraw-Hill, Book Co.,1966. Cartan, H. – Théorie Elementarie des Functions Analytiques d´ une Ou Plusieurs Variable Complexas, Paris, Herman, 1961

• Geometria Riemanniana

Variedades Diferenciáveis. Espaço Tangente. Imersões. Mergulhos. Subvariedades. Orientabilidade. Fibrado Tangente. Campos de Vetores. Colchete de Lie. Variedades Riemannianas. Conexões afins. Conexão Riemannianaa. Teorema de Levi-Civita. Geodésicas. Fluxo Geodésico. Propriedades Minimizantes das Geodésicas. Vizinhanças Convexas. Curvatura. Curvatura Seccional. Curvatura de Ricci. Curvatura Escalar. Campos de Jacobi. Pontos Conjugados. Imersões Isométricas. A Segunda Forma Fundamental. Equações de Gauss, Codazzi e Ricci. Variedades Completas. Teorema de Hoph-Rinow. Teorema de Hadamard. Espaços de Curvatura Constante. Teorema de Cartan. As Formas Espaciais. Isometrias do Espaço Hiperbólico. Teorema de Liouville.

Do Carmo, M.P. – Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, 1988. Boothby, W. M. – Na Introduction do Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 1975. Spivak, M. – A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vols. 1,3 e 4, Publish or Perish, 1979. Sakai, T. – Riemannian Geometry, AMS, 1996

• Probabilidade

Modelos Elementares (Espaços Finitos): Espaço de probabilidade, Variáveis aleatórias, Lei fraca dos grandes números de James Bernoulli, Teorema Central do Limite de De Moivre – Laplace; Elementos de Teoria da Medida: Medidas, Funções mensuráveis, Integral de Lebesgue, Teoremas de Convergência; Elementos de Teoria da Probabilidade: Espaços de probabilidade, Variáveis aleatórias, Leis dos grandes números, Teorema Central do Limite de Lindeberg-Feller.

Barry, J. – Probabilidade: um curso em nível de Introdução, SMB. Barra, G. de – Measure Theory and Integration, Wiley.

• Teoria dos Grupos Finitos

Representações permutacionais. Teoremas de Sylow e aplicações. Produtos diretos finitos. Automorfismos. Produtos semidiretos. Extensões de grupos. Grupos abelianos. Teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados. Automorfismos de p-grupos abelianos finitos. Decomposições de um grupo. Teorema de Remak-Krull-Schmidt. O homomorfismo “Transfer” e aplicações. Séries normais. Teorema de Jordan-Hölder. Grupos solúveis. Teoremas de P. Hall. Séries centrais. Grupos Nilpotentes. Caracterização de grupos nilpotentes finitos. Classificação de certos p-grupos finitos. Teorema de base de Burnside para p-grupos finitos.

D.J. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer Verlag, 1982. J.J. Rotman, An Introduction to tha Theory of Groups, Springer Verlag, 1995. M. Hall Jr., The Theory of Groups, Macmillan, 1968. M. Suzuki, Goup Theory I, Springer, 1982. T. W. Hungerford, algebra, Apringer, 1996. D. Gorenstein, Finite Groups, Harper 7 Row, 1968.