Teoria de números/Divisibilidade
A teoria de números é a área da matemática em que é estudado o anel dos números inteiros.
O conjunto dos números inteiros é denotado por , sendo que:
O conjunto pode ser definido formalmente a partir do conjunto dos números naturais e estes, a partir dos axiomas de Peano. Para maiores detalhes sobre o assunto pode ser consultado o "capítulo específico" do wikilivro sobre álgebra abstrata, ou o livro de Milies & Coelho (2003).
O conjunto dos números inteiros é definido juntamente com duas operações: a adição e a multiplicação.
A estrutura aditiva dos números inteiros é trivial. Acompanhe os exemplos:
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
Como se pode observar, qualquer número inteiro pode ser "formado aditivamente" a partir do número 1. Nesse sentido, a unidade é o "bloco básico" a partir do qual são construídos todos os números inteiros, usando-se as propriedades da operação de adição (como por exemplo a associatividade e a existência de elemento oposto).
Além disso, dado um número inteiro, sua decomposição em "blocos básicos" é essencialmente uma só. Por exemplo, se considerarmos o número 5, teremos:
No entanto, a única diferença entre duas representações do 5 é a posição dos parêntesis. Não há uma mudança significativa.
Já a estrutura multiplicativa de é muito mais sofisticada. Veja alguns exemplos:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
bloco básico | bloco básico | bloco básico | bloco básico | bloco básico |
Como deve ter percebido, quando se trata da operação de multiplicação, não existe um único bloco básico que gere todos os outros números. Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 não têm como ser obtidos a partir da multiplicação de dois números inteiros (além de 1 e eles próprios), mas permitem gerar outros números: , e assim por diante. Parece razoável que todos os inteiros podem ser gerados dessa maneira, bastando encontrar os blocos básicos adequados.
Mas será que mesmo sendo necessários mais "blocos básicos" para a estrutura multiplicativa que para a aditiva, um número inteiro sempre será decomposto de forma única em tais blocos?
Como foi visto, isso é o que acontece na estrutura aditiva. No entanto, para responder (de forma afirmativa) a esta pergunta, será necessário definir o conceito de divisibilidade, e conhecer de suas algumas propriedades. Este é o conteúdo da próxima seção.
Definição de divisibilidade
[editar | editar código-fonte]- Definição
Dados os inteiros e , diz-se que " divide " e escreve-se , se existe um inteiro tal que . Alternativamente, pode ser lido como " é divisor de ", " é um fator de " ou " é múltiplo de ". Quando não se tem , escreve-se .
O conceito apresentado acima define uma relação binária no conjunto dos números inteiros: a divisibilidade.
Lembre-se que uma relação binária sobre é qualquer subconjunto do conjunto das partes de , . No caso da divisibilidade, tem-se:
Nesses termos, quando costuma-se dizer que está relacionado com escrevendo-se .
Propriedades da divisibilidade
[editar | editar código-fonte]A relação de divisibilidade possui as seguintes propriedades, para quaisquer (salvo indicação em contrário) inteiros :
1. (reflexividade) 2. e implica (transitividade) 3. e implica ou 4. e implica (linearidade) 5. e implica 6. implica (multiplicatividade) 7. e implica (lei do cancelamento) 8. ( divide todo número inteiro) 9. (todo número inteiro divide zero) 10. implica (zero só divide zero) 11. implica (os divisores de 1 são 1 e -1) 12. e implica (compatibilidade com a ordem "") 13. e implica
1. Como segue da definição que .
2. Se e , então existem tais que e , logo e portanto .
3. implica que . E se , então . Logo como não pode ser menor que e não pode ser menor que ao mesmo tempo, temos que . e também são possíveis, já que a diferença entre e é somente o sinal do quociente. O mesmo vale para e .
4. Como e temos que e com e . Multiplicando a primeira igualdade por e a segunda por , temos e . Somando membro a membro e colocando em evidência: daí como é inteiro segue por definição que .
5. Tendo e , podemos transformar e em equações: e , sendo e os quocientes das divisões. Multiplicando ambas as equações temos: . Assim, já que é o quociente da divisão (cujo resto ), temos que .
6. Adicionando fatores comuns no dividendo e divisor da equação (divisão exata), que implica em ; não altera o resultado da divisão, pois: . Como : . Assim , que implica em .
7. Como vem de (c = quociente), vem de , no qual podemos tirar da divisão, já que ele é um fator comum no dividendo e divisor de . Assim .
8. implica que . Assim .
9. implica que . Logo .
10. pode ser transformado em . Como não existe divisão por 0 (já que tendo e não existe número que multiplicado por 0 dê x </math>), o único número que pode estar no dividendo é 0. Logo implica em .
11. implica que . Como os divisores de , temos que .
12. Como e podemos escrever com . Assim, e .
13. Transformando em equação, temos . Utilizando-se da propriedade da divisão: tendo podemos inverter o quociente e o divisor (já que , e os fatores podem ser reordenados sem mudar o resultado) para termos: . Assim: e implicam em .- Observações
- A terceira propriedade seria chamada de anti-simetria, se não fosse necessário considerar o caso "". Quando são considerados apenas os números não-negativos (os elementos de ) a conclusão é apenas "", e as propriedades de 1 a 3 fazem da divisibilidade uma relação de ordem parcial sobre . No entanto, essa não é uma ordem total, pois nem todo par de elementos em é comparável, ou seja, existem inteiros não negativos e , para os quais não se tem nem .
- Frequentemente é mais prático trabalhar apenas com o conjunto dos números naturais (o subconjunto dos inteiros não-negativos ) ou com os números naturais não nulos (os inteiros positivos ).
- As propriedades 1 e 8 garantem que todo número inteiro não negativo , diferente de , possui ao menos dois divisores, chamados de divisores triviais: e . Os números que possuem somente estes divisores são de grande interesse na teoria de números, e serão estudados no próximo capítulo.
Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal
[editar | editar código-fonte]Nas aulas de matemática do ensino fundamental, é possível que você tenha aprendido algumas regras (ou critérios) para saber rapidamente se um certo número é divisível por outro. Por exemplo, você identifica rapidamente que um número é par quando nota que o seu último dígito é par, assim como reconhece de imediato os múltiplos de 5, pois sabe que o seu dígito das unidades é sempre 0 ou 5.
O que talvez você não saiba é que podem ser deduzidos critérios de divisibilidade para vários outros números, senão todos, embora nem sempre tais regras sejam simples e fáceis de memorizar. Uma listagem das regras mais populares é apresentada na próxima tabela. Note que as regras descritas transformam um certo número em outro, geralmente menor, que preserva a divisibilidade pelo divisor em questão. Além disso, sempre que não fica claro se um número é múltiplo de certo divisor, a mesma regra pode ser aplicada novamente ao resultado já obtido, até que se torne evidente se determinado resultado é ou não divisível pelo divisor em questão.
Um número é divisível por... |
quando... | Exemplos |
---|---|---|
1 | sempre! | Qualquer número inteiro é divisível por 1. |
2 | seu dígito das unidades é par (ou seja, 0, 2, 4, 6, ou 8). | 1 294 é par[1], pois 4 é par. |
3 | é divisível por 3 a soma dos seus dígitos.[2] | 405 é divisível por 3, pois 4 + 0 + 5 = 9, que é múltiplo de 3. |
4 | é divisível por 4 o dígito das unidades somado com o dobro do dígito das dezenas. | 5 096 é múltiplo de 4, pois 6 + (2 × 9) = 24 que é múltiplo de 4 |
é divisível por 4 o número formado pelos dois últimos dígitos. | 70 841 não é divisível por 4, pois 41 não é. | |
5 | o dígito das unidades é 0 ou 5. | 123 456 7890 é divisível por 5, já que seu último dígito é 0. |
6 | é divisível por 2 e por 3. | 24 é divisível por 6, já que seu é múltiplo de 2 e de 3. |
é divisível por 6 a soma do dígito das unidades com o quádruplo da soma dos demais dígitos. | 12 348 é divisível por 6, pois (1 + 2 + 3 + 4) × 4 + 8 = 48 | |
7 | ||
é divisível por 7 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o dobro deste dígito. | 364 é divisível por 7, pois 36 − (4 x 2) = 28. | |
8 | ||
o dígito das centenas é ímpar e o número formado pelos dois últimos dígitos, somado com 4 é divisível por 8. | 12 352, é múltiplo de 8, já que 3 é ímpar e 52 + 4 = 56 = 7 x 8. | |
é divisível por 8 a soma do último dígito com o dobro do número formado pelos demais. | 136 é divisível por 8, uma vez que (13 × 2) + 6 = 32. | |
9 | é divisível por 9 a soma dos seus dígitos.[3] | 3 753 é múltiplo de 9, pois 3 + 7 + 5 + 3 = 18 e 1 + 8 = 9 |
10 | o último dígito é 0. | 135790 é múltiplo de 10, pois seu último dígito é 0. |
11 | ||
é divisível por 11 a soma alternada dos seus dígitos. | 918 082 é múltiplo de 11, pois 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 2 x 11. | |
é múltiplo de 11 a soma dos números formados pelos blocos de dois dígitos (da direita para a esquerda). | 627 é múltiplo de 11, pois 6 + 27 = 33 = 3 x 11. | |
é múltiplo de 11 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o último dígito. | 627 é múltiplo de 11, já que 62 - 7 = 55 = 5 x 11.. |
Por que esses critérios funcionam?
[editar | editar código-fonte]Diante de tantas regras, é natural não acreditar de imediato que elas sejam todas infalíveis. Você já deve ter feito (ou ouvido alguém fazer) pelo menos uma pergunta desse tipo:
- Quem disse que esses macetes funcionam sempre?
- Por acaso alguém já testou algum deles para todos os números, e viu que nunca falham?
- Quem é que impôs essas regras?
- É possível encontrar um critério para os números que não estão na tabela?
Antes de responder a essas e outras perguntas do gênero, é interessante apresentar um resultado fundamental da teoria de números. O enunciado não deve parecer uma grande novidade, pois formaliza o tão conhecido algoritmo de divisão, aquele processo utilizado ao dividir dois números manualmente. Se estiver um pouco "enferrujado", experimente calcular o resultado da divisão de 39629376 por 321, para relembrar as suas primeiras aulas de matemática...
Algoritmo da divisão (de Euclides)
[editar | editar código-fonte]- Teorema
Se e são números inteiros, e , então existe um único par de números inteiros e , tais que:
- , com
Uma formulação alternativa é a seguinte:
Dados os números inteiros e , ou é múltiplo de ou está entre dois múltiplos consecutivos de .
Demonstração |
---|
Considere inicialmente que .
Se , então (pois para tem-se ). Logo, pelo princípio da boa ordenação, possui um menor elemento . Como , segue que , para algum inteiro , e . Suponha que . Neste caso, segue que .
Por outro lado, se , então o algoritmo pode ser aplicado a e (que não é negativo), obtendo:
Por outro lado, como o valor de cada resto está entre e , sua diferença também está. Isto significa que: Logo, Mas o único elemento de com módulo menor que é o . Assim, implica . Consequentemente, de se conclui que , que equivale a , pois .
|
Um último passo antes de apresentar a justificativa formal para os critérios de divisibilidade mostrados anteriormente é entender como funciona o sistema de numeração decimal.
Sistemas de numeração
[editar | editar código-fonte]Conforme é ensinado nos primeiros anos de escola, um número como 726 representa a soma de 7 centenas com 2 dezenas e 6 unidades, ou seja,
Em geral, cada número inteiro não negativo possui uma única representação decimal . Este é um resultado de extrema utilidade no cotidiano, pois é graças a tal sistema de numeração que estão a disposição algoritmos tão simples para a realização de adições, subtrações, multiplicações e divisões. Ou você é capaz de se imaginar realizando uma divisão de 646 por 38 utilizando o sistema de numeração inventado pelos romanos? (Experimente: DCXLVI dividido por XXXVIII é igual a...)
Dada a importância do sistema de numeração decimal, é justo enunciar e justificar precisamente o seu funcionamento. Isso é feito no próximo teorema, que garante a existência de representações posicionais em qualquer base, não apenas na base 10.
- Teorema
Dado um numero inteiro (chamado de base), maior do que a unidade, cada inteiro positivo pode ser escrito de uma única maneira como
Utilizando o algoritmo da divisão é possível obter cada dígito de uma tal representação, um após o outro, começando pelo dígito das unidades. De fato, ao dividir o número em questão pelo valor da base, consegue-se:
Fazendo o mesmo com , resulta:
Repetindo o procedimento com cada quociente , será construída uma sequência decrescente:
Certamente algum termo da sequência deve ser igual a unidade, pois todos são números inteiros e nenhum deles é negativo. Então considere que , ou seja, que o algoritmo da divisão fornece . Neste ponto o processo pode ser interrompido, e nota-se que:
Observações
[editar | editar código-fonte]- Quando a base não é 10, é comum usar a notação para explicitar esse fato.
- Os sistemas que utilizam a base 2 (binário), a base 8 (octal) e a base 16 (hexadecimal) são particularmente úteis na informática e na eletrônica digital.
- O sistema de numeração com base 60 (sexagesimal) foi inventado pelos Sumérios, e ainda é utilizado para a contagem de minutos e segundos, tanto para indicar períodos de tempo quanto para medir ângulos.
Exemplos
[editar | editar código-fonte]De posse dessas informações, já é possível demonstrar a validade dos critérios de divisibilidade dados pela tabela anterior. Nos próximos exemplos serão demonstrados alguns desses critérios. Os demais são deixados como exercício para o leitor.
Divisibilidade por 2
[editar | editar código-fonte]- Proposição
Um inteiro não negativo é par, e somente se, o dígito das unidades é par.
Demonstração |
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Considere um número inteiro positivo cuja representação decimal é . Para mostrar que se, e somente se, , note que:
e em geral: Portanto: Assim,
Deste modo, se , então . Reciprocamente, se tem-se .
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Divisibilidade por 3
[editar | editar código-fonte]- Proposição
Um inteiro não negativo é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus dígitos é múltiplo de 3.
Demonstração |
---|
Seja um número inteiro positivo. Como no exemplo anterior, o principal é considerar as potências de 10 e os restos de suas divisões por 3.
Primeiramente, note que: onde é o número que possui todos os seus dígitos iguais a 3. Esta última igualdade é devida à fórmula clássica para a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica). Substituindo essas potências de 10, obtem-se: ou seja,
Deste modo, se , então . Analogamente, se tem-se . |
Divisibilidade por 11
[editar | editar código-fonte]- Proposição
Um inteiro não negativo é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada dos seus dígitos é divisível por 11.
Demonstração |
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Como antes, considere um número inteiro positivo. Pode-se proceder como antes para obter o resultado. Primeiramente, observe a relação entre as primeiras potências de 10 e o número 11:
É razoável esperar que o padrão continue, ou seja, que nas potências pares se tenha para algum inteiro , e nas potências ímpares se tenha para algum inteiro . No entanto, como a intuição as vezes falha (o próprio Fermat foi vítima de sua intuição, se enganando ao afirmar que todo número da forma é primo), é necessário provar que o padrão se repete, qualquer que seja o expoente. Em símbolos, é preciso mostrar que:
Para tal usaremos o binómio de Newton: ou seja, onde Uma vez que o padrão está justificado, o raciocínio é o mesmo do caso anterior: ou seja,
Deste modo, se , então . Analogamente, se tem-se .
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Exercícios
[editar | editar código-fonte]- Justifique a validade de cada uma das propriedades da divisibilidade apresentadas no texto.
Notas
[editar | editar código-fonte]- ↑ Veja a fatoração de 1294 e outras informações sobre este número no Wolfram Alpha (em inglês).
- ↑ Conforme diversos livros
- ↑ Conforme diversos livros