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Otimização


Este material está sendo elaborado com base nas notas de aula da disciplina Otimização II, do curso de Matemática Industrial oferecido pela UFPR, ministrada pelo professor Wilfredo, no segundo semestre letivo do ano de 2008.

O conteúdo do livro não precisa (nem deve) se limitar àquele que consta atualmente no índice. Sendo assim, a qualquer momento o livro pode ser revisto e ampliado.

Sinta-se a vontade para ler este ou quaisquer outros livros do projeto, melhorando-os conforme lhe for possível. Com isso estará ajudando a aumentar a quantidade e a qualidade dos textos didáticos disponíveis em língua portuguesa, ao mesmo tempo em que colaborará com o crescimento projeto Wikilivros como um todo.

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Método do gradiente conjugado

Algumas considerações históricas

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  • Este método foi originalmente proposto por Hestenes e Stiefel, em 1952.
  • Seu objetivo inicial foi a resolução de problemas quadráticos sem restrições, mas logo o mesmo foi estendido para casos mais gerais.

Este método pode ser considerado sob dois pontos de vista:

  • Como um método de descida, com busca linear exata;
  • Como um método de resolução de sistema linear, baseado em um processo de ortogonalização.
Definição

Um conjunto não vazio é dito convexo quando e vale

Exemplos de conjuntos convexos e côncavos

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Definição

Uma função é dita convexa quando é convexo e e vale

Definição

Dado um conjunto convexo , uma função é dita fortemente convexa quando existe uma constante tal que é convexa.

Exercício

Verifique que uma função quadrática é fortemente convexa se existe uma matriz simétrica definida positiva , um vetor e um escalar de modo que .

Resolução
Sendo uma função quadrática, tem-se . A matriz pode ser suposta simétrica, pois caso não seja, toma-se (simétrica), e segue (verifique).

Além disso, se é uma função fortemente convexa, então é estritamente convexa. Como é duas vezes diferenciável (por ser uma função quadrática), a convexidade estrita implica que é definida positiva.


Nota: Uma matriz é definida positiva se, e somente se, todos os seus autovalores são positivos.

Tem-se:

Sendo , segue em particular que e , onde é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores de e é uma matriz onde as colunas são os autovetores correspondentes aos autovalores.

Note que é uma matriz simétrica, pois é a matriz Hessiana de uma função com segundas derivadas parciais contínuas, e consequentemente vale .

Para introduzir o método de direções conjugadas, serão consideradas somente funções quadráticas.

Uma condição necessária de primeira ordem para que seja um ponto de mínimo para a função é que . Para o presente caso, a função é convexa, então, a condição necessária também é suficiente.

Exercício

Prove que se é uma matriz simétrica definida positiva, então dada por possui um único ponto de mínimo.

Resolução
Uma vez que é simétrica definida positiva, a função é fortemente convexa. Mas toda função fortemente convexa, definida em um conjunto fechado não vazio possui um único minimizador, pois:
  • Os conjuntos de nível de uma função fortemente convexa são compactos;
  • Toda função contínua definida em um compacto tem algum minimizador (pelo teorema de Weierstrass);
  • Os minimizadores de uma função convexa são globais;
  • Funções fortemente convexas não podem ter mais de um minimizador.

Em particular, possui um único ponto de mínimo.

No caso de uma função quadrática, tem-se , ou seja, é solução do sistema linear .

A resolução de um sistema linear nem sempre pode ser feita numericamente de forma eficiente. Por exemplo, se a matriz do sistema é:

A solução do sistema linear corresponde à interseção entre duas retas quase paralelas, e os erros de truncamento podem causar imprecisão na solução obtida computacionalmente.

Analiticamente, o sistema tem como solução. Então alguém poderia se perguntar: qual o problema em resolver esse sistema linear, se basta calcular a inversa da matriz e multiplicar pelo vetor ? A resposta é que o calculo da inversa de uma matriz em geral é impraticável computacionalmente, por ter custo muito alto. Por isso, nas situações práticas, onde as matrizes tem ordem bem maior do que 2 (digamos 1000), o cálculo de matrizes inversas não é uma opção.

Assim, com o intuito de desenvolver um método computacional para o cálculo de minimizadores, é preciso utilizar outras técnicas. Considere o seguinte:

Em um método de descida tem-se sempre uma sequencia , com e é um minimizador de

e

Logo, e multiplicando por obtem-se . Consequentemente, o valor de é dado por

Deste modo, o método consistirá de escolher em cada etapa uma direção , e calcular o coeficiente pela fórmula anterior, para gerar o próximo ponto . Mas como escolher a direção ?

Dado e escolhido , defina como , ou seja, é a restrição da função à reta que passa pelo ponto e que tem direção . Logo, derivando a expressão de em relação a , obtem-se

Então, no ponto de mínimo, , tem-se

Ou seja, a direção a ser seguida a partir do ponto é ortogonal ao gradiente da função , no ponto .

Esquema do método de descida

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Seja o minimizador da função . Tem-se

Mas implica que , logo

e consequentemente

Donde . Portanto .

Exercício

Provar que se é uma matriz simétrica, definida positiva, então existe uma matriz simétrica , de modo que

Resolução
Sendo uma matriz simétrica, tem-se , com unitária e

Logo

Usando o resultado desse exercício, tem-se ainda que

Fazendo , o método do gradiente conjugado escolhe as direções de descida tais que . Mas quando , tem-se na expressão apresentada anteriormente apenas

Finalmente, tem-se o algoritmo para este método.

Algoritmo de Hestenes-Stiefel

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Uma comparação da convergência do método de descida do gradiente com tamanho de passo ótimo (em verde) e o método do gradiente conjugado (em vermelho) para a minimização da forma quadrática com um sistema linear dado. O gradiente conjugado, assumindo aritmética exata, converge em no máximo n passos onde n é o tamanho da matriz do sistema (no exemplo, n=2).
Primeiro passo: Escolha 
  Se , então pare: 
  Senão: 
  Calcular 
  


Passo iterativo : Dado 
  Se , então pare: 
  Senão: 
  
  

Pode-se verificar facilmente que . De fato, como , tem-se . Logo, .

Exercício

Provar que se então .

Resolução
Tem-se

Multiplicando ambos os membros por , e trocando de lugar com resulta:

,

ou seja,

,

somando em ambos os lados, segue que

,

Então

Sendo a última igualdade devida ao fato de para .



Considere definida por . Em outros termos, tomando , tem-se , onde .

Pode-se aplicar o método de direções conjugadas ao seguinte problema

Note, desde já, que o conjunto solução é .

Inicio
  • Toma-se arbitrário, por exemplo, .
  • Avalia-se o gradiente da função neste ponto inicial:
Iteração 1

A seguir, verifica-se se o gradiente se anula no novo ponto :

Como o gradiente já é nulo, não é preciso fazer a segunda iteração, e o ponto é o (único) minimizador global de .


Em um caso mais geral, considerando definida por , tem-se cálculos muito parecidos em cada passo.

O conjunto solução continua sendo .

Inicio
  • Considere como no primeiro exemplo, ou seja, .
  • Avalia-se o gradiente da função neste ponto inicial:
Iteração 1

A seguir, verifica-se se o gradiente se anula no novo ponto :

Novamente, o gradiente se anula já na primeira iteração, de modo que é o minimizador global de .


Exercício

Seja uma matriz simétrica definida positiva, cujos autovalores são todos iguais. Então começando de qualquer ponto , o método fornece como solução.

Um terceiro exemplo pode ser dado tomando e definida por . Observe que tal matriz é simétrica e definida positiva:

Logo, os autovalores de são e . Isso também implica que a função é fortemente convexa.

Aplicando o método:

Início
  • Toma-se um ponto arbitrário no plano, por exemplo ;
  • Verifica-se se tal ponto é o minimizador global, avaliando nele o gradiente da função:
.
  • Já que o gradiente não se anulou no chute inicial, é preciso escolher uma direção e um comprimento de passo para determinar a próxima aproximação:
Iteração 1

Feitos esses cálculos, o próximo ponto é dado por

Para saber se será necessária uma nova iteração, ou se o minimizador foi encontrado, calcula-se o gradiente da função no ponto:

.

Novamente, será preciso calcular uma nova direção e um novo comprimento de passo:

Iteração 2

onde , no algoritmo de Hestenes é dado por:

Portanto

Além disso, o tamanho do passo é dado por

Portanto

Obviamente, este é o minimizador procurado (pois o método tem a propriedade de convergência quadrática, ou seja utiliza no máximo iterações para chegar a solução quando aplicado a funções quadráticas definidas em )

Exercício

Implementar o algoritmo de Hestenes-Stiefel em alguma linguagem de programação, por exemplo em Scilab, ou Matlab.

Exercício

Seja um função quadrática fortemente convexa. Verifique as seguintes igualdades:

Implementação em Scilab

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Abaixo é apresentada uma implementação deste algoritmo na linguagem de programação utilizada pelo Scilab.

A = [2 1; 1 2];

function [x] = min_gradiente_conjugado(xk)
  //Entrada: xk em R^n, qualquer "chute inicial"
  //  Saída: x, o ponto em que f assume o valor mínimo
  
  k        = 0        //Indica quantos loops  foram feitos
  epsilon  = 0.01
  n        = size(xk,1)
  g        = df(xk)
  seq      = zeros(n,n+1)
  seq(:,1) = xk
  while (norm(g) > epsilon) & (k <= n)
    if (k == 0)
      d = -g
    else
      d = Hestenes(g,d,A)
    end
    t  = busca_linear(g,d,A)
    xk = xk + t*d
    k  = k+1
    seq(:,k+1) = xk
    g  = df(xk)
  end
  plot(seq(1,:),seq(2,:))
  x = xk  
endfunction


function [fu] = f(u)
  fu=(1/2)*(u'*A*u)
endfunction


function [grf] = df(u)
  grf = A*u
endfunction


function [d] = Hestenes(g,d,A)
  d=-g + ((g'*A*d)/(d'*A*d))*d
endfunction


function [t] = busca_linear(g,d,A)
  t=(g'*g)/(d'*A*d)
endfunction

Para facilitar a compreensão do método, pode ser útil exibir as curvas de nível da função. Uma forma de implementar uma função com esse propósito é a seguinte:

function plotar_curvas
  qtd=101
  tam=max(seq)
  x=linspace(-tam,tam,qtd)
  y=x
  z=zeros(qtd,qtd)
  for i=1:qtd
    for j=1:qtd
      z(i,j)=f([x(i);y(j)])
    end
  end
  contour2d(x,y,z,10)
  a=gca();
  a.x_location = "middle"; 
  a.y_location = "middle"; 
endfunction

Algoritmo de Fletcher-Reeves

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Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma imagem para ilustrar o método de Fletcher-Reeves.


Esta versão é na verdade uma extensão do algoritmo anterior, permitindo a aplicação no caso de funções que não são quadráticas.

Primeiro passo: Escolha 
 Se , então pare: 
 Senão:  (como em todo método de descida)
 Calcular , através de uma busca linear
 
Passo iterativo:
 Se , então pare: 
 Senão: 
 Calcular , através de uma busca linear
 
 


Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma implementação do algoritmo acima em SciLab.

Algoritmo de Polak-Ribière

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Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma imagem para ilustrar o método de Fletcher-Reeves.

Uma outra versão é a seguinte:

Primeiro passo: Tomar 
 Se , então pare: 
 Senão:  (como em todo método de descida)
 Calcular , através de uma busca linear
 
 
Passo iterativo:
 Se , então pare: 
 Senão: 
 Calcular , através de uma busca linear
 
 


Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma implementação do algoritmo acima em SciLab.
Exercício

Verificar que, no caso de uma função quadrática e fortemente convexa, os algoritmos de Hestenes-Stiefel, de Fletcher-Reeves e de Polak-Ribière são os mesmos.

Exercício

Seja . Implemente o método de gradientes conjugados, e utilize o algoritmo para determinar o ponto de mínimo da função . Note que o espaço é unidimensional, então o método de gradientes conjugados reduz-se ao método dos gradientes, com primeira direção . Observe ainda que é uma função coerciva fortemente convexa.

Algoritmo auxiliar

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Para o caso de funções não quadráticas, é preciso usar algum método de busca linear para a implementação do método dos gradientes conjugados, seja a versão de Fletcher-Reeves ou a de Polak-Ribière. Uma possibilidade é a busca de linear de Armijo (ver Izmailov & Solodov (2007), vol 2, pag. 65), cujo algoritmo é esboçado a seguir:

function busca_linear_Armijo (f, theta, alpha, delta, t0)
  while (alpha * pred > ared)
    t = d * t
  end
endfunction

com:


Implementar a regra de Armijo e corrigir o esboço acima.
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Métodos de penalidades

Os métodos que recebem este nome fazem parte de uma família de métodos baseados em:

  • Simplicidade conceitual;
  • Eficiência prática;

Algumas das primeiras funções de penalidade foram desenvolvidas por:

  • Courant (1943)
  • Ablate Brighham (1955) (qual o artigo?)
  • AV Fiacco, GP McCormick (1968) (qual o artigo?)

Para compreender este tipo de método, será considerado o seguinte problema:

Adicionalmente, se for considerado o conjunto de pontos , o problema (P) se escreve ainda como

Uma primeira idéia para a resolução desse tipo de problema é fazer uso de funções indicadoras, conforme é definido a seguir:

Definição

Dado um conjunto não vazio , define-se a função indicadora por:

Notas: A função indicadora é às vezes denotada por .

Para transformar um conjunto (P) em um problema sem restrições, pode-se proceder da seguinte maneira: Considerar o problema (PD), dado por:

Considerando definida por:

Tem-se ainda o problema (PP), dado por:

Comentários:

  • A grande vantagem desta idéia é que ela transforma um problema com restrições em um problema irrestrito.
  • A principal desvantagem é que a função definida a seguir é descontínua em cada ponto :

Método de penalidade exterior

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Para contornar a desvantagem da descontinuidade da função apresentada anteriormente, surgem outras funções, como por exemplo:

Gráfico de uma função de penalidade
Definição

Dada uma função , definida em um conjunto arbitrário , define-se a parte positiva de , como:


Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma imagem para comparar uma função e sua correspondente .
Exercício

Verifique que para cada tem-se, para cada , a igualdade , onde é a parte positiva de e é a função definida no exemplo anterior.


Resolução
De fato, dada qualquer função , segue da própria definição de que

Mas

implica que

Portanto, . Como pode ser tomada arbitrariamente, tem-se em particular que .

Exercício

Verifique que para cada tem-se, para cada , a igualdade .


Um dos autores deste material sugeriu conferir o enunciado do exercício anterior. A afirmação parece ser falsa nos casos em que .

A idéia de aplicar penalizações aos pontos que não pertencem ao conjunto viável é formalizada na seguinte definição:

Definição

Seja . A função é chamada de função de penalidade exterior se possui as seguintes propriedades:

  • é contínua

Nota: Lembre-se que é o conjunto viável do problema (P).

Em particular, as funções são funções de penalidade exterior.

Definição

Seja . A função é dita coerciva se


Um dos autores deste material sugeriu a adição de exemplos de funções de penalidade, juntamente com algumas imagens ilustrando os seus gráficos.

Nota: Conforme o Wikcionário, o termo coercivo significa: que coage; que reprime; que impõe pena; coercitivo. Nesse sentido, esse é um termo adequado ao tratar do conceito anterior, no contexto dos métodos de penalidade.

Exercício

Verifique que é uma função coerciva se, e somente se, é limitado para todo .

Resolução
Pela definição de limite, a afirmação

é equivalente a dizer que

tal que tem-se .

Esta última implicação, é equivalente à

(sua contrapositiva).

Pela definição de conjunto de nível, isso equivale à . A existência de um número com tal propriedade significa que é um conjunto limitado, donde conclui-se a equivalência entre coercividade e limitação dos conjuntos de níveis


Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma imagem que ilustre geometricamente a relação entre coercividade e conjuntos de nível.
Exercício

Verifique que definida por é uma função de penalidade exterior, onde conforme anteriormente, é a parte positiva de .


Resolução
Primeiramente, é uma função não negativa, pois o quadrado de qualquer número real é não negativo, assim como a soma de números reais não negativos.

Em segundo lugar, tem-se se, e somente se, para cada índice e cada índice vale e . Como , tem-se

Finalmente, como a soma e o produto de funções contínuas resulta em uma função contínua, segue que é contínua, pois são contínuas.

Exercício

Verifique que se é uma função contínua coerciva, então existe tal que .


Resolução
Considere um ponto arbitrário . Tome . Nestas condições, é limitado (conforme um dos exercícios anteriores) e fechado (pois é pré-imagem de um conjunto fechado por uma função contínua), portanto compacto. Neste caso, conforme o teorema de Weierstrass, a função possui algum ponto de mínimo no conjunto , ou seja, existe tal que .

Ne verdade, tal ponto é também um minimizador global da função , pois se então (pela definição do conjunto ).


Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma imagem ilustrando a existência de minimizadores globais para funções coercivas.

Alguns conceitos da topologia

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Em algumas situações, é interessante ter em mente que certos conceitos definidos no contexto da Otimização são, na verdade, instanciações de conceitos mais gerais, muitos deles provenientes da topologia. Alguns exemplos são apresentados a seguir.

Definição

Dado um conjunto , uma coleção de subconjuntos de é chamada de topologia se:

Exemplos
  • Topologia euclidiana:

Em outras palavras, a topologia euclideana é a coleção de todos os conjuntos abertos contidos em . Pode-se verificar com facilidade que de fato são satizfeitas as três propriedades que definem uma topologia.

Outro exemplo muito comum é o seguinte:

  • Topologia euclideana estendida:

Em geral, a noção de limite seria caracterizada topologicamente da seguinte forma:

Definição

De volta ao método

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Uma vez apresentados os conceitos iniciais, pode-se provar o seguinte teorema:

Teorema

Considere:

  • uma função de penalidade exterior;
  • uma função contínua;
  • um conjunto fechado;
  • uma sequência de termos positivos tal que .
Suponha que é válida uma das seguintes propriedades:
  1. é coerciva.
  2. é limitado e é coerciva.
Se, para cada , for escolhido ,então:
  1. possui algum ponto de acumulação;
  2. Todo ponto de acumulação de é solução do problema (P);
  3. .


Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma imagem que ilustre geometricamente o significado do teorema acima.


Demonstração
Se (1) acontece, então é coerciva, pois

A desigualdade é válida pois é uma função de penalidade, portanto não negativa, e a igualdade se deve à hipotese sobre . Além de coerciva, tal função é contínua (pois é combinação linear de funções contínuas). Logo, a função possui um ponto de mínimo global, ou seja, existe tal que

, para qualquer .

Mas é contínua e coerciva, então também existe tal que

Por outro lado, se vale (2), então é contínua e C compacto. Analogamente, é contínua e compacto, donde tem-se algum tal que

Em ambos os casos, dada uma sequência tal que e , defina-se por . Logo,

Sendo que a primeira desigualdade se deve ao fato de ser um minimizador, por construção, e a segunda segue por que é decrescente. Portanto, .

Além disso, tem-se as seguintes desigualdades:

Logo, somando os membros correspondentes, obtem-se:

ou seja,

Portanto,

Por outro lado, , sendo primeira desigualdade válida por ser não negativa e positivo, e a segunda devida à própria definição de . Logo, .

Se a primeira das hipóteses acontece, segue da coercividade e dessa última desigualdade que . Então é uma sequência limitada.

Se ocorre a segunda, então é coerciva, mas foi mostrado que , consequentemente . Sendo coerciva, conclui-se novamente que é uma sequência limitada.

Portanto, em qualquer caso, possui algum ponto de acumulação.

Seja um ponto de acumulação de . Então existe tal que . Logicamente, . Pela continuidade de e sabendo que , se deduz que . Mas já havia sido verificado que , então segue a igualdade .

A sequência é crescente. Seja (por que razão ele existe?). Como , tem-se . Portanto, . Logo , ou seja, .

Como é contínua, , e este valor é nulo se, e somente se, .

Logo, , donde . Assim, tem-se , ou seja, é solução de (P).

Exercício

Dado o problema (P), considere (isso não quer dizer que o problema tenha solução). suponha-se que e são funções contínuas e que seja não vazio, ou seja, que é factível. Tome como , onde denota a parte positiva de , como de costume. Considere ainda dada por e, para cada , seja Nessas condições, provar que:

  1. é uma função de penalidade exterior
  2. Se então
  3. Se são covexas, então é convexa.
  4. Se são diferenciáveis, então é diferenciável em , e
  5. Se e e se é uma sequência tal que e então é solução de (P).

Algoritmo de penalidade exterior

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Primeiro passo: Escolha ,  e 

Passo iterativo : Calcular , solução global de 

Escolha  tal que 

Nota: Neste algoritmo, é uma função de penalidade exterior.

Exercício

Sejam e . Considere o problema: Utilize o método de penalidade exterior para determinar o ponto de mínimo da função sobre o conjunto .

Resolução
Esboço: Pode-se tomar , onde:

Tem-se então o problema irrestrito: , onde pode ser aplicado o método de gradientes conjugados.

Implementação do algoritmo de penalidade exterior em SciLab

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Considerando o problema

com uma função quadrática, simétrica positiva definida, lineares, e a função de penalidade, , dada por:

Pode-se usar o método dos gradientes conjugados para resolver o seguinte problema:

onde terá sua matriz Hessiana definida positiva.


Incluir o código para uma implementação do método em SciLab.

Método de penalidade interior

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Este método também é conhecido como método de barreira. Ele consiste em trabalhar com funções de penalidade tais que e qualquer que seja a sequência para a qual , se tem que a função de penalidade tende a .


Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma imagem para ilustrar uma sequência de pontos que tende a um ponto da fronteira de um conjunto C, de preferência junto com o gráfico de uma função de penalidade deste novo tipo.

Mas como conseguir esse tipo de função?

Considere o caso em que . Lembrando que a função logarítmica tem a propriedade:

pode-se tomar , pois

implica que

Analogamente, tem-se

então, uma outra função com a propriedade desejada é .

O problema a ser resolvido quando se quer aplicar o método de barreira é o seguinte:

onde é tal que

Observação: não é necessariamente igual ao interior do conjunto . Por exemplo:


Um dos autores deste material sugeriu a adição de uma imagem para ilustrar um conjunto C cujo correspondente C0 seja diferente do interior de C.
Definição

Se diz que uma função é uma função de barreira se ela possui as seguintes propriedades:

  1. é limitada inferiormente em .
  2. Para qualquer sequência tal que vale
  3. é contínua

Algoritmo de barreira

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Primeiro passo: Escolha ,  e 

Passo iterativo : Calcular , solução global de 

Escolha  tal que 

Observação: Neste método os termos da sequência estão sempre em .

Implementação do algoritmo de barreira em SciLab

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Considerando o problema

pode-se usar o método de barreira no conjunto:

Pode-se usar qualquer das funções de penalidade interior apresentadas, por exemplo:

ou ainda

Como , o problema passa a ser:

Observação: Note que é necessário conhecer um ponto inicial , para servir de primeira aproximação, ou ponto de partida para o algoritmo.


Considere o seguinte problema de programação diferenciável não linear sem restrições:

onde é de classe .

Observação: Como não é necessariamente convexa, a matriz pode não ser definida positiva, apesar de ser simétrica. Neste caso, o método de Newton ou suas variantes (direções conjugadas, quase Newton, etc) não servem.

O primeiro método de região de confiança (em inglês, Trust region method), foi introduzido por Powel em 1970 (qual artigo?) mas oficialmente introduzido por Dennis em 1978 (artigo?). Ele consiste no seguinte:

A cada iteração, se constrói um modelo quadrático e uma região de confiança

este princípio pode ser considerado como uma extensão da busca de Armijo unidimensional.

Breve revisão da busca de Armijo

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Para entender a geometria do método de região de confiança, é bom lembrar a geometria da busca de Armijo unidimensional.

Seja uma direção de descida de uma função a partir do ponto . Então . Agora, considerando , definida por , tem-se:

. Assim, . Se , então .
Exercício

Mostrar que sempre existe tal que .

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

A busca de Armijo consiste em tomar .

Se

Mas como , então existe algum tal que vale . A tal ponto, chama-se ponto de Armijo.

Introduzindo as seguinte notação

(modelo linear para a função )
(redução predita por este modelo)
(redução real no valor da função)

a pergunta é:

Quando um ponto vai ser ponto de Armijo com essa notação?

Tem-se:

Logo, se segue que é um ponto de Armijo.

Observações: Note que a essência da busca linear de Armijo é construir um modelo linear e um intervalo compacto , sendo e o ponto inicial da busca e logo procurar o ponto de Armijo em .

De volta ao método

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O método de região de confiança será uma generalização da busca de Armijo, consistindo da construção de um modelo quadrático e uma região , chamada de região de confiança, e nessa região calcular o novo iterando.

Algoritmo da região de confiança

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Primeiro passo: Escolha , , ,  e .

Passo iterativo : Enquanto , construa o modelo quadrático:
 
Calcule , solução de
 
Tome  e 
Se , fazer 
Senão ,  e 

Comentários: No algoritmo anterior, quando se tem um passo falho, a região de confiança sempre diminui. Seria bom incluir casos bons, onde a região deve crescer.

Algoritmo da região de confiança melhorado

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Primeiro passo: Escolha , , , , ,  e .

Passo iterativo : Enquanto , construa o modelo quadrático:
 
Continue = 1
Enquanto (Continue = 1)
  Calcule , solução de
   
  Tome  e 
  Se , fazer 
    Se , ; Continue = 0
    k = k+1
  Senão 


O subproblema quadrático

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Conforme foi explicado, o método das regiões de confiança constrói um modelo quadrático da forma:

onde, no método, e . Em tal modelo, tem-se

  • um vetor não nulo;
  • uma matriz simétrica (que pode não ser definida positiva)

O problema quadrático é

com .

Este é o problema que será tratado a seguir.

Exercício

Provar que sempre tem solução.

Resolução
Esboço: Como é uma função contínua e o conjunto onde se quer minimizar tal função é uma bola, em dimensão finita, trata-se de minimizar uma função contínua em um compacto. Esse é um problema que tem solução, pelo teorema de Weierstrass.

O exercício anterior garante que o método está bem definido, quer dizer, todas as etapas podem ser realizadas.


Este tipo de problema é muito frequente em ciências experimentais. Para ter um exemplo em mente durante a discussão que será feita mais adiante, considere as seguintes informações:

Segundo dados disponibilizados pelo IBGE, o Produto Interno Bruto per capita na cidade de São Paulo, no período de 2002 a 2005, foi (em reais): 17734, 19669, 20943 e 24083, respectivamente.

Com base nessas informações, como poderia ser feita uma previsão do valor correspondente ao ano seguinte (2006)?

Uma escolha possível seria supor que a cada ano o PIB aumenta uma aproximadamente constante, ou seja, usar um modelo linear para obter tal estimativa (que possivelmente será bem grosseira). Intuitivamente, bastaria analisar os dados disponíveis e a partir deles deduzir qual é o aumento que ocorre a cada ano. Depois, a previsão para 2006 seria aproximadamente igual à de 2005 somada com aquele aumento anual.

Esta idéia poderia até funcionar para o caso deste exemplo, mas o que fazer se a quantidade de dados disponíveis sobre algum fenômeno (ou alguma situação) for significativamente maior?

A melhor escolha, sem dúvida, é fazer uso de um computador para obter o modelo que melhor descreve o "comportamento" dos dados experimentais.

Em geral, os problemas de mínimos quadrados consistem em identificar os valores de determinados parâmetros, de modo que se satisfaçam certas equações . No contexto do exemplo anterior, se procura um modelo linear para os dados, ou seja, uma função que os descreva da melhor forma possível. Assim, os parâmetros a considerar são e . Os valores ideais para essas variáveis seriam aqueles que verificassem as seguintes equações:

Note que a partir dessas equações poderiam ser definidas as funções como:

É de se esperar que o sistema de equações obtido a pouco não admitirá uma solução exata, pois se tem mais equações do que variáveis.

Isso geralmente acontece, pois é comum haver uma quantidade de equações bem maior que o número de parâmetros a identificar. Em particular, quando todas as equações são lineares em suas variáveis, dificilmente existirá uma solução exata para o sistema linear resultante, pois este terá mais equações do que incógnitas (como no exemplo). Em geral, não é possível encontrar parâmetros que satisfaçam exatamente todas as equações. Por isso, costuma-se tentar identificar os parâmetros que "melhor se aproximam" de uma solução exata, em algum sentido.

Uma forma de obter uma solução aproximada (uma "quase-solução") resulta da seguinte observação: o valor de cada função em uma solução exata deveria ser zero. Se tal exigência é restritiva demais, e com ela não é possível encontrar qualquer solução, uma possibilidade seria exigir um pouco menos. Por exemplo, poderia ser exigido apenas que o valor de , para seja, em geral, pequeno. Uma das formas de capturar essa idéia em termos mais precisos é dizer que se pretende minimizar a soma dos quadrados dos valores de cada . Em símbolos, o problema passaria a ser:

O caso linear

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Neste caso, para cada índice , a função é afim linear, ou seja:

onde e para cada . Deste modo, pode-se definir uma função como

de modo que

Motivando a introdução da seguinte notação:

Assim,

Logo, buscar uma solução exata é o mesmo que procurar uma solução para o seguinte sistema linear:

E uma solução aproximada poderia ser buscada a partir do seguinte problema de minimização:

Exercício

Verifique que se houver uma solução exata, ela também será um minimizador de . A recíproca é verdadeira?

Resolução
Primeiramente, observe que para qualquer tem-se

Isso significa que é uma cota inferior para os valores assumidos por esta soma de quadrados. Além disso, se é uma solução exata, então para cada índice tem-se:

e consequentemente

Então, em a soma dos quadrados assume seu valor mínimo.

Não vale a recíproca, pois se para um certo a soma dos quadrados assumir um valor positivo , então

implica que existe algum tal que

Isto significa que não satisfaz a equação de índice , e portanto não pode ser uma solução exata.

Analisando a função objetivo do problema de minimização anterior, tem-se:

Logo, como é simétrica e semi-definida positiva, tem-se convexa. Isso implica que a condição necessária de primeira ordem é também suficiente. Assim, qualquer ponto tal que é solução do problema aproximado.

Calculando o gradiente da função objetivo tem-se:

Deste modo, a solução do problema é obtida resolvendo o sistema

Observe também que isso implica , ou seja, .


Exemplo de aplicação

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Considere dado um conjunto de pontos do plano , por exemplo , representando dados obtidos experimentalmente.

Perguntas:

1. Qual é a função afim linear que melhor se aproxima dos dados experimentais?
Resolução
As funções afim lineares no plano são aquelas que possuem a forma . Então os parâmetros a identificar são e .

Como são as funções ? Lembrando que tais funções teriam imagem igual a zero em uma solução exata, pode-se tomar

Assim,

A expressão final pode ser simplificada adotando a seguinte notação

De fato, nesses termos tem-se

2. Qual é a função quadrática que melhor se aproxima dos dados experimentais?
Resolução
As funções quadráticas possuem a forma . Então os parâmetros a identificar são , e .

Pode-se tomar .

Procedendo como antes, tem-se

onde

Exercício

Explorar o exemplo anterior com dados concretos, implementando um dos três métodos de gradientes conjugados.

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.
Observações

Conforme se aumenta o grau do polinômio que faz a aproximação dos dados, as colunas de têm elementos elevados a potências cada vez maiores, fazendo com que os autovalores de sejam cada vez mais dispersos. Com isso, torna-se mal condicionada.

Exercício

É possível, usando o problema de mínimos quadrados, verificar o postulado de Euclides que diz que "por dois pontos distintos passa uma única reta"?

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.
Exercício

Usando o problema de mínimos quadrados, é possível inferir que "por três pontos distintos passa uma única curva quadrática"?

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

O caso não linear

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Para esse tipo de problemas, há dois métodos:

  1. Gauss-Newton
  2. Levemberg-Marquardt

Ambos são métodos do tipo Newton. Então, para entender cada um deles é preciso entender o Método de Newton.

O método de Newton

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Para entender a essência do método de Newton, primeiro considere que o problema a ser resolvido é

sendo , e portanto de classe . A idéia de Newton é usar o desenvolvimento até segunda ordem da série de Taylor da função em cada ponto iterado. Isto é, se o iterado é , então:


Então a condição de Newton é que em cada iteração a Hessiana deve ser definida positiva.

Calculando o gradiente da função , segue:

Se é o (único) minimizador de , então

donde

Sendo definida positiva, tal matriz é também inversível. Portanto:

Assim, pode-se usar a seguinte iteração:

Algoritmo de Newton (puro)

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Início: Tome 
  Se , pare:  é ponto crítico.
  Senão, Calcule , solução de
    
    Faça  e 
Iteração: Se , pare:  é ponto crítico.
  Senão, calcular , solução de
    
    Faça  e 

Voltando ao problema original, de mínimos quadrados, se tinha:

Calculando o gradiente desta função, resulta:

Considera-se definida por

Deste modo, a Jacobiana de verifica:

pois o produto de uma matriz por um vetor tem como resultado um vetor que é a combinação linear das colunas da matriz, com coeficientes que são as coordenadas do vetor.

Além disso, tem-se

Seja

Sabe-se que uma matriz é definida positiva se para qualquer . Fazendo , tem-se:

Para que seja definida positiva, é necessário que ( deve gerar todo o espaço), neste caso, se diz que é de posto máximo.

Algoritmo de Gauss-Newton

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Início: Tome 
  Se , pare:  é ponto crítico.
  Senão, Calcule , solução de
    , onde 
    Faça  e 
Iteração: Se , pare:  é ponto crítico.
  Senão, calcular , solução de
    
    Faça  e 

Algoritmo de Levemberg-Marquardt

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A idéia de Levemberg-Marquardt foi perturbar a matriz , considerando , para algum pequeno.

Início: Tome 
  Se , pare:  é ponto crítico.
  Senão, Calcule , solução de
    , onde 
    Faça  e 
Iteração: Se , pare:  é ponto crítico.
  Senão, calcular , solução de
    
    Faça  e 
Exercício

Enumere as diferenças que existem nos seguintes algoritmos:

  • Newton
  • Gauss-Newton
  • Levenberg-Marquardt

Resolução
Newton

Desenvolvendo em série de Taylor e exigindo que a matriz hessiana de seja definida positiva o método de Newton usa .

Gauss-Newton

Em alguns casos a matriz hessiana de pode ser bem complicada. Nesses casos então a idéia do método de Gauss-Newton é usar uma boa aproximação para essa matriz. Podemos escrever

.

Usando Taylor em temos:

onde é a jacobiana de .

Substituindo na temos


Calculando o gradiente e depois a segunda derivada temos:

e

Denotando , então o método de Gauss-Newton escolhe tal que

.


Levenberg-Marquardt

A idéia do método de Levenberg-Marquardt é pertubar a matriz um pouco, considerando com pequeno.

Portanto o método de Levenberg-Marquardt escolhe tal que

.


Neste capítulo o objetivo é desenvolver algumas ideias e provar o teorema de Karush–Kuhn–Tucker (também chamado simplesmente de teorema KKT) que será utilizado no capítulo seguinte para explorar os métodos duais. O teorema KKT é bem útil para resolver problemas do tipo

Definição

Um conjunto é um cone quando

Exemplo de um cone no .

Em outras palavras, a propriedade que caracteriza um cone é que este tipo de conjunto contém todos os múltiplos não nulos de qualquer de seus elementos.

Definição

Dado um subconjunto , o cone polar de é o conjunto definido por

.

Observações:

  • é um cone: Se tem-se que . Logo, para qualquer , vale . Disto segue que , mostrando que é um cone.
  • Sempre se tem que (Verifique).

Na segunda propriedade a igualdade pode não ocorrer (exemplo?). Para o objetivo deste texto, o ideal seria que a igualdade valesse. Mas será que isso ocorre para algum conjunto? A resposta é sim e, conforme o próximo lema, basta que seja um cone convexo fechado.


Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Incluir a definição de projeção antes deste ponto, pois ela será usada durante a demonstração
Lema  (Farkas)

Se um cone convexo fechado, então .

Demonstração
Seja e . Sabendo que a projeção de um ponto sobre um conjunto convexo é única, será mostrado que e então ficará provada a inclusão . Disto seguirá a igualdade entre os dois conjuntos, já que é sempre um subconjunto de .

Pelo teorema da projeção (ver Izmailov & Solodov (2007)), tem-se que . Usando o fato de que é cone, segue que e e substituindo isto na equação acima obtem-se

e .

Dessas desigualdades, conclui-se que .

De , tem-se que .

Usando a definição de cone polar, isso implica que .

Uma vez que , significa que .

Desses fatos acima se conclui que

Isso mostra que .


Definição

Dado , se diz que é uma direção viável em , com respeito a , quando existe tal que

.
O conjunto de todas as direções viáveis em , com respeito ao conjunto , será denotado por .

Esse conjunto é o cone das direções viáveis em , com respeito a .

Definição

Uma direção é uma direção de descida da função em , se existe tal que

.
O conjunto das direções de descida será denotado por .

Caracterização das direções de descida

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Lema

Seja uma função diferenciável em . Então

  1. .
  2. satisfaz .


Demonstração
1) Seja . Então, tem-se .

Usando a série de Taylor, tem-se

Sendo ,

.

Passando o limite com tem-se que .

2) Novamente aplicando Taylor em tem-se

.

Como , tem-se

.

Pela hipótese , com isto

.

Pelo teorema da conservação do sinal, existe tal que .

Portanto,

.

Conclui-se então que .

O cone viável linearizado

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Definição

Dado , a desigualdade é uma restrição ativa em se .

Observações
  • O conjunto formado pelos índices das restrições de desigualdade ativas é denotado por . Assim,
Definição

Dado um ponto e o conjunto , se define o cone viável linearizado de a partir de como

.

é um cone não-vazio convexo e fechado pois, . E se , tem-se

e
.

Portanto mostrando que é convexo.

Para mostrar que é fechado, pode-se pegar uma sequência convergente e mostrar que o ponto de acumulação dela esta em .

Tem-se que .

Passando o limite com , obtem-se

e
.

Isso mostra que é fechado.


Lema  (Caratheodory)

Sejam . Seja com e escalares tais que e

.
Então existem subconjuntos e escalares com e tais que
e os vetores são linearmente independentes.

Demonstração
Sem perda de generalidade, suponha que e . Considere que sejam linearmente dependentes.

Portanto existem escalares com e com não todos nulos tais que

Multiplicando a igualdade acima por e subtraindo de

tem-se

Para certamente nenhum dos coeficientes acima se anula.

Seja o de menor módulo que anula pelo menos um dos coeficientes ou . Então

Assim, se escreve como combinação linear de no máximo vetores já que .

Repetindo esse processo obtem-se uma combinação linearmente independente.


Definição

Dado um ponto , se define o cone por

.

A seguir, serão mostradas algumas propriedades deste cone.

Lema

Para qualquer , é um cone convexo e fechado.

Demonstração
Primeiro será mostrado que é de fato um cone. Seja e . Então tem-se
.

Como tem-se que .

Agora, será provado que é convexo. Para isso seja , isto é,

e
e .

Logo tem-se,

.

Como visto que e . Com isso concluímos que mostrando que é convexo.

Para mostrar que é fechado, toma-se uma sequência convergente em e se mostra que o ponto de acumulação dela pertence a .

Para isso seja com . Será mostrado que .

Escrevendo em forma matricial tem-se .

Pelo Lema de Caratheodory podemos assumir que tem colunas linearmente independentes, e portanto é não singular.

Uma vez que , existem com tais que .

Uma vez que é não singular, .

Passando o limite obtem-se,

com .

Isso mostra que .

Agora passando o limite em obtém-se , mostrando que .


Lema

Para qualquer , .

Demonstração
Como e são convexos e fechados, tem-se que e . Será mostrado então que .

Seja . Assim, dado tem-se

Mas e e .

Conclui-se então que . Como é arbitrário, .

Agora a volta, seja , isto é, .

Em particular, uma vez que e , tem-se que .

Além disso, uma vez que , tem-se que .

Logo .

O cone tangente

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Definição

Um vetor é chamado direção tangente em a partir de quando ou ou tal que

e .

Observações
  • O conjunto de todas as direções tangentes no ponto , é denominado cone tangente, e denotado por .
  • Se , então também pode ser descrito como
Exercício

Verifique que é de fato um cone (e portanto merece ser chamado de "cone tangente").

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

Exemplo de cone tangente

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Determinar o cone tangente ao ponto do quadrado unitário com vértices , , e .

Resolução
Cone tangente a um quadrado unitário com vértice na origem.

Dado qualquer ponto do 2º quadrante (formado pelos pontos tais que e ), pode-se definir:

Com essas escolhas, tem-se:

Logo, .


Propriedades do cone tangente

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Wikipedia
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A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Cone tangente

O cone tangente definido anteriormente tem as seguintes propriedades:

  1. é fechado e
  2. Se então
  3. Se é uma vizinhança de , então
Observação

A terceira propriedade indica que o cone tangente só depende do que ocorre bem perto de , no conjunto .


Lema

Para qualquer , é fechado.

Demonstração
Seja com . Será mostrado que .

Caso , . Então, suponha-se que .

Neste caso, sem perda de generalidade pode-se considerar que , pois .

Fixando tem-se que . Portanto, existe tal que e quando .

Assim para existe tal que para , tal que e .

Em particular, tomando tem-se

e .

Tomando o limite quando , obtem-se que e

.

Logo .

Isso mostra que .



Exercício

Verificar que:

  1. .
  2. Se e , então .

Demonstração
1) Seja , . Logo tal que , e .

Usando Taylor em torno de tem-se

.

Já que , então logo pode-se dividir e obtem-se

.

Passando o limite quando , tem-se .

Novamente usando Taylor em torno de para tem-se

Passando o limite quando tem-se .

Donde se conclui que .

2)

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Colocar figura
Lema

Se é um mínimo local do problema (P), então .

Demonstração
Por Taylor tem-se

Passando o limite quando obtem-se

Donde .


Teorema (Condições de KKT)

Seja e considere um minimizador local do problema

Se , então existem e tais que:
  1. .

Demonstração
Considere um minimizador local do problema (P). Então . Pela definição de cone polar isso significa que .

Pela hipotése tem-se . Como obtem-se que .

Como foi visto acima é um cone convexo e fechado. Portanto usando o Lema de Farkas obtem-se que .

Pela definição de , existem escalares com e com tais que

com .

Como , define-se e

Como obtem-se .

Com isso fica provado o Teorema de KKT.



O conceito de lagrangiana está sempre relacionado ao seguinte problema:

Definição

A função lagrangiana associada ao problema é

definida por
.

Wikipedia
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A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Multiplicadores de Lagrange

Em alguns livros é usada a seguinte notação:

definida por

e

definida por

Deste modo, a lagrangiana fica expressa por

que é uma representação bem mais compacta.

Condições de otimalidade

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Para permitir a compreensão da importância da função lagrangiana em otimização, é preciso ter em mente os principais resultados que garantem a otimalidade de uma solução para o problema . Nas próximas seções será apresentado um breve resumo das condições de otimalidade, dividindo-as em dois casos:

  • Caso particular: quando é convexo e fechado.
  • Caso geral: quando é arbitrário.

Caso particular

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Proposição

Seja função de classe no conjunto . Se é um minimizador local de no conjunto convexo e fechado , então:

Demonstração
Seja uma solução de , e fixe um ponto arbitrário . Denote por a restrição da função sobre o segmento de reta que passa por e por , ou seja,
, com .

Note que .

Como é um minimizador de em , tem-se:

, para todo

Logo,

, ou seja,

Mas pela regra da cadeia,

, então .

Como era arbitrário, o resultado está demonstrado.

Observação

A condição significa que os vetores e formam um ângulo reto ou agudo (menor ou igual a 90 graus), conforme indicado na figura a seguir:

Em um ponto de mínimo, sempre forma ângulo menor ou igual a 90 graus com os vetores do tipo , onde é um ponto de mínimo da função no conjunto viável e é um ponto qualquer deste conjunto.

No caso específico, com e , é a derivada direcional de na direção . Quando tal número é não negativo, intuitivamente a função cresce naquela direção.


Quando é um conjunto convexo e fechado, a existência de uma solução para o problema é garantida pela seguinte proposição:

Proposição

Se , é convexa e

então é um minimizador global de no conjunto (isto é, é solução de ).

Demonstração
Pela convexidade de , tem-se que:

Logo,

Portanto, , ou seja, é um minimizador de em .

Até aqui, não é exigido que qualquer das funções ou sejam diferenciáveis. Isto será utilizado mais adiante, nos algoritmos.

A próxima proposição fornece uma caracterização dos minimizadores, em termos do conceito de projeção.

Lembre-se que a projeção de um ponto sobre o conjunto , denotada por , satisfaz . Na verdade, vale:

O vetor forma ângulo menor que 90 graus com o vetor , pois é a projeção de sobre o conjunto .
Proposição

Seja um número real fixado.

  1. Se é um minimizador local de em , então
  2. Se é convexa e , então é um minimizador global de em .

Demonstração
(1)

Como é um minimizador local de em , então

Observe que essa desigualdade equivale à

ou ainda

Tomando e , tem-se a equivalência com:

que equivale a dizer que , ou seja:

(2)

Reciprocamente, supor que , conforme a argumentação anterior, equivale a dizer que

Usando a hipótese de que é convexa, segue da proposição anterior que é um minimizador global de em .

Para tratar este caso, é preciso utilizar o conceito de cone tangente. O conjunto contínua o mesmo, ou seja, , embora não seja mais suposto que ele é convexo. Mesmo assim, ainda será fechado, pois as funções e que o definem são contínuas.

Teorema

  1. Se é um minimizador local de em , então .
  2. Se é convexo, é convexa e , então é minimizador global de em .

Este teorema pode ser demonstrado de forma análoga a que foi feita anteriormente.

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

Seja definido como:

.

Pela segunda propriedade do cone tangente, tem-se:

. Logo,

Em outras palavras, se é dado um conjunto e depois se restringe tal conjunto para , através do acréscimo de restrições inativas em um ponto , os cones tangentes aos dois conjuntos (no ponto ) coincidem.

Definição

Toda condição que implica que é chamada de condição de qualificação das restrições.

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Observação: Também se pode dizer condições de regularidade das restrições (do inglês, Regularity conditions).

Exemplos de condições de qualificação das restrições

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(1) Se e são funções afim-lineares, então para qualquer , tem-se . Prova-se isso trivialmente

Prova
Esta prova é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

(2) Condições de Slater: Se as funções são convexas e as são afim lineares e, além disso, existe tal que para todo , , então para qualquer , tem-se .

Prova
Esta prova é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

(3) Condições de Mangasarian-Fromowitz: Se é linearmente independente e existe tal que para tpdp e .

Prova
Esta prova é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.
Teorema  (Karush–Kuhn–Tucker)

Suponha que , e são funções de classe em uma vizinhança do ponto e que . Se é um minimizador local de em , então existem e tais que:

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A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Condições de Karush-Kuhn-Tucker

Note que aqui aparece a lagrangiana, pois a primeira condição é equivalente a:

O essencial para a existência de é que .

Teorema

Suponha-se que , e são funções de classe em uma vizinhança de , que e são convexas e que são afim-lineares. são funções de classe . Se existem e tais que:

A partir deste teorema são construídos alguns algoritmos.


Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Confrontar as informações presentes nestes últimos teoremas com algum livro. Parece estar precisando de pequenas correções.

Considere o seguinte problema:

Sabe-se que dada por

.

Agora, tem-se as KKT:

Teorema

Supondo que e são de classe em uma vizinhança de e que , se é um minimizador local de em , então tal que de modo que:

Uma inequação sobre ínfimos e supremos

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Teorema

Sejam e dois subconjuntos arbitrários e considere uma aplicação . Então


Demonstração
Sabe-se que
,

quaisquer que sejam . Então, calculando o ínfimo em ambos os membros (com relação aos valores de ), e considerando que pode ser ilimitado inferiormente, tem-se para qualquer :

Assim, calculando o supremo (com relação aos valores de ), segue das desigualdades anteriores:

Exercício

Verifique que:

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

Defina-se a função:

, dada por

e também

, dada por

Conforme o exercício anterior, tem-se então

Observando a relação entre essas funções, é natural considerar dois problemas de otimização:

e

Comentários
  1. As funções e são conhecidas na literatura como funções em dualidade (ou mais frequentemente, funções duais);
  2. O problema é conhecido como problema primal, enquanto é chamado de problema dual;
  3. Fazendo e , segue-se do exercício anterior que ;
  4. A diferença é chamada de brecha de dualidade, ou salto de dualidade (do inglês, skip duality);


Exercício

Verifique que:

Resolução
Se tem-se que e .

Substituindo na lagrangeana tem-se que e tomando , se vê que o supremo dos valores é atingido, tendo como valor.

Por outro lado, se existe um índice tal que e/ou . No primeiro caso, seja e

, onde .

Com esta escolha, a lagrangiana será

.

Tomando o limite quando tem-se que .

Para o outro caso a prova é análoga.

Exercício

Verifique que consiste de maximizar uma função côncava em um poliedro. Lembre-se:

  1. Uma função é côncava quando for convexa.
  2. Um poliedro é qualquer intersecção finita de semiespaços fechados.

Resolução
Primeiro será mostrado que :, dada por é uma função côncava. Para isso, basta mostrar que para cada vale
.

Chamando e tem-se:

Quanto ao conjunto ser um poliedro, isso segue do fato de e serem interseções finitas de semiespaços fechados.


Exemplo numérico: problema primal e seu dual

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Considere o problema

Resolução

O problema é ilustrado na imagem a direita.

Primeiramente, é preciso identificar quais são as funções e envolvidas:

  • A função objetivo é aquela que se pretende minimizar, ou seja, ;
  • Como aparecem apenas restrições de desigualdade, não há qualquer função ;
  • Reescrevendo as desigualdades como e , conclúi-se que as funções são:
e .

Neste caso, a lagrangiana é:

, dado por

Em seguida, é preciso calcular e :

, é dada por

E, conforme um dos exercícios anteriores (ou através de uma breve análise dos supremos envolvidos na expressão anterior), tem-se:

Analogamente, tem-se:

, dada por

Observe que em relação a , tem-se uma função fortemente convexa, que portanto possui um único minimizador. Além disso, é diferenciável, donde o seu único minimizador é dado pela equação:

ou seja,

donde

Portanto,

Assim, os problemas em dualidade são:

e

Pelo primeiro item do exercício, tem-se que a minimização do problema é equivalente à minimização do problema original.

Por outro lado, através da lagrangiana, obtem-se além do problema primal , um problema dual , cuja estrutura é muito melhor que a do original (pois pelo outro exercício, consiste da maximização de uma função côncava em um poliedro), e que servirá para encontrar o mínimo do problema primal (e consequentemente, do original).

Ponto de sela

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Este é um conceito muito importante relacionado à lagrangiana.

Definição

Dado o problema e a lagrangiana associada a esse problema, se diz que é um ponto de sela de se e:

.

Teorema

O ponto é um ponto de sela de se, e somente se:

  1. é solução de ;
  2. é solução de ;
  3. .

Demonstração
Se é um ponto de sela de , então e se tem:
.

Em particular, como

.

segue da segunda desigualdade que

e calculando o ínfimo sobre todos os tem-se:

Por outro lado, da inequação sobre ínfimos e supremos, tem-se , então .

Logo, todos os membros das desigualdades acima coincidem, ou seja,

Mas da definição de tem-se:

.

Portanto, é solução do problema enquanto significa que é solução de


Reciprocamente, supondo que é solução do problema , tem-se:

e admitindo que é solução do problema , segue:

Além disso, usando como hipótese que , segue da definição que:

, quaisquer que sejam .

Em particular, tomando , e , resulta:

, ou seja,

Logo, pela definição de tem-se:

, quaisquer que sejam .

Portanto, é um ponto de sela da lagrangiana .


Wikipedia
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A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Ponto de sela

Considere novamente o problema de otimização dado por:

Verificar se a lagrangiana associada à tem ponto de sela.


Resolução

O problema é ilustrado na imagem a direita, e conforme foi deduzido anteriormente, tem-se:

Além disso, como foi mostrado anteriormente, vale

e também

ou seja,

Agora, consideram-se os seguintes problemas em dualidade:

e

Donde é solução do problema primal, e .

Intuitivamente, nos pontos em que assumir seu valor máximo, deve-se ter , pois conforme aumenta, decresce.

Mas pela desigualdade a respeito de supremos e ínfimos, tem-se , quaisquer que sejam , .

Como , e ao tomar e tem-se , segue-se que é uma solução do problema dual .

Finalmente, como , e , segue que . Portanto, pelo teorema anterior, o ponto é ponto de sela da lagrangiana .


Análise do problema

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Considerando , , e , se é uma solução do problema dual, considere o seguinte problema:

que no caso do exemplo reduz-se a

A solução deste problema é obtida resolvendo , sendo portanto . Note que esta é a solução do problema primal (e consequentemente do problema original ).

Será apenas uma coincidência? Ou ainda, em que situações a solução deste último problema será também solução do problema original?

A resposta será dada pelo próximo teorema. Acompanhe.

Teorema  (dualidade lagrangiana convexa)

Suponha-se que são de classe e convexas, e que as funções são afim lineares e . Nestas condições:

  1. Se o problema tem solução, então e os problemas e têm solução.
  2. Se tem solução, e é solução de , então as soluções de são as soluções de , onde
que também são as soluções de .

Antes da demonstração, vale a pena imaginar a seguinte aplicação da segunda parte do teorema: Se por alguma razão não se sabe resolver o problema original , pode-se optar por resolver (um problema concavo em um poliedro), e depois resolver (que é um problema convexo sem restrições). Em outras palavras, é possível trocar um problema difícil por dois problemas mais fáceis, e .

Agora a demonstração do teorema:

Demonstração
(1) Como tem solução, seja uma solução de . Pelo teorema de KKT (que se aplica pois as funções são de classe e se tem a qualificação das restrições), segue a existência de e , tais que:

Como são funções convexas e afim lineares, então a função lagrangiana é convexa em (pela forma de ). Isto significa que:

.

Usando (1), conclúi-se uma das duas desigualdades que definem um ponto de sela em :

.

Considerando que é solução de , tal ponto satisfaz as restrições e . Então, usando , segue que:

pois e .

Mas, por KKT, . Além disso, .

Logo:

Assim,

quaisquer que sejam , e . Mas isso implica, por definição, que é um ponto de sela de .

Logo, , é solução do problema primal e é solução do problema dual

(2)Seja solução de (que existe, pelo item 1). Sabe-se pelo item anterior que o problema primal tem solução e que .

Seja solução de . Então, é ponto de sela de , logo valem as desigualdades:

.

Uma vez que está fixo e a segunda desigualdade vale para qualquer , conclui-se que é solução do problema

As soluções deste problema são soluções de e, consequentemente, do problema original.

Exercício

Verificar se existe salto de dualidade nos problemas em dualidade para o seguinte problema de minimização:

Exercício

Juntamente com o problema do exercício anterior, considere o seguinte problema:

Os problemas são equivalentes? (no sentido de que têm as mesmas funções objetivo e o mesmo conjunto de restrições) O que acontece com relação às condições de KKT? Apesar de não ser convexa, é válido o resultado do teorema? Para que serve KKT? É possível resolver o problema dual e usar a resposta para resolver o primal?

Exercício

Experimente escolher e uma transformação linear, e um poliedro (intersecção finita de semi-espaços). É difícil de resolver o problema primal. Tente resolver o dual, usando os métodos conhecidos.

A seguir será apresentada uma proposição que responde a uma pergunta deixada anteriormente:

Proposição

Considere o problema a lagrangiana e os problemas em dualidade e e soluções de . Se é solução do problema

(o conjunto dos pontos que satisfazem as restrições) e , então é também uma solução do problema .

Tal proposição fornece um roteiro para quem precisa resolver o problema relativamente difícil:

  1. Primeiramente, resolve-se ;
  2. Depois, constrói-se o problema e encontra-se uma solução para o mesmo;
  3. Finalmente, se satisfaz as últimas condições da proposição, ele é também uma solução de .
Demonstração
Se é uma solução de , . Então, pela definição de , tem-se:

Como é solução de , então:

ou seja,

Portanto,

Por outro lado, como , tem-se e .

Por hipótese, , então

Logo,

.

Então para tem-se que e . Consequentemente,

quaisquer que sejam , ou seja,

,

quaisquer que sejam .

Portanto, é ponto de sela de , e assim, é solução primal (solução de ), e em consequência, solução de .


Resumo do esquema de dualidade

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Neste ponto, pode-se sintetizar a estratégia geral para a resolução de problemas de otimização utilizando esquemas de dualidade.

Considere o problema

onde são funções de classe , e seja a lagrangiana definido por

.

Convenciona-se que:

  • é a variável primal;
  • é a variável dual;

Nesse sentido, "o é o dual de " (não confundir com o significado que essa expressão teria na análise funcional. Ver nota sobre a terminologia), ou seja:

  • é onde "mora" a variável primal ;
  • é onde "mora" a variável dual ;

Definem-se então as funções e da seguinte maneira:

, dada por

e

, dada por

A partir destas duas funções, formulam-se os seguintes problemas duais:

e

É possível verificar que equivale ao problema original e que consiste da maximização de uma função côncava em um poliedro (convexo).

Logo, o dual de é .

Dado qualquer problema , seu dual é um problema côncavo (isto é, a função objetivo é côncava), tal que os pontos satisfazendo o conjunto de restrições formam um poliedro convexo.

Apesar da controvérsia filosófica existente acerca do nome destes conceitos (coisa que poderia muito bem vir a ser alterada no futuro), a moral da história é que "transforma-se um problema geralmente difícil (sem estrutura) em um problema mais fácil (cheio de estrutura)".

Uma nota sobre a terminologia

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Na subárea da matemática denominada Análise Funcional, quando se tem um espaço topológico , costuma-se chamar de dual topológico ao conjunto .

Aparentemente, os conceitos de dual da otimização e da análise funcional não tem relação um com o outro.

Um dos primeiros a falar de dualidade (espaços duais) foi o francês Fenchel, mas foi fortemente criticado por Urruty e Lemaréchal, pois os dois conceitos de dualidade não estão relacionados. Também o francês Brezis concordou que há um problema a ser resolvido com a nomenclatura, e um dos conceitos deveria deixar de ser chamado assim.

Wikipedia
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Análise funcional

Aplicação à programação linear

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Considere um problema típico da programação linear como:

onde são dados , , , , , , e . Por simplicidade, pode-se ainda adotar a seguinte notação:

Nesta seção será mostrado como a "bonita teoria dos métodos duais" se aplica a esse tipo de problema.

Primeiramente, calcula-se a lagrangiana:

Note que:

  • As variáveis primais são e ;
  • As variáveis duais são , e ;

Agora é preciso identificar as funções e correspondentes a este problema. Conforme anteriormente, tem-se:

, dada por

e

, dada por

Logo, considerando que , o problema dual consiste no seguinte:

Exercício

Verificar que é uma solução de

se, e somente se, é uma solução de

Resolução
Seja uma solução de . Então, por definição, tem-se para todo que

mas isto equivale a

ou seja, é uma solução de .

Exercício

Verificar que:

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

Exemplificando com um problema de programação linear

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O seguinte problema é chamado de problema standard (padrão) de programação linear:

onde são dados , e .

Calculando o dual de (PL)

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Primeiramente,

A função não precisa ser calculada, pois já se mostrou que

Por outro lado, quanto à função tem-se:

Logo, o problema dual é:

ou ainda

Calculando o dual do dual de (PL)

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Considere o seguinte problema:

que, conforme já foi mostrado em um exercício anteriormente, equivale a

A lagrangiana é dado por:

Logo,

Logo, o dual de é:

ou seja,

que equivale a

Um exemplo numérico contextualizado

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Considere a seguinte situação:

Um empresário que produz cerveja dispões de 240 kg de milho, 5 kg de lúpulo e 596 kg de Malta. Para produzir um barril de cerveja preta requer 2,5 kg de milho, 0,125 kg de lúpulo e 17,5 kg de malta. Enquanto que para produzir um barril de cerveja branca, se precisa de 7,5 kg de milho, 0,125 kg de lúpulo e 10 kg de malta. Por barril de cerveja branca vendido, o empresário recebe 130 reais, enquanto por um barril de cerveja preta, recebe 230 reais. Achar o modelo matemático para otimizar o ganho do empresário.
Resolução
Primeiramente, é preciso identificar quais são as variáveis do problema, e quais são os dados. Pode-se adotar a seguinte notação para as quantidades dos dois tipos de cerveja:
  • : Indica a quantidade (em litros) de cerveja preta;
  • : Indica a quantidade (em litros) de cerveja branca;

O ganho do empresário, que é o que se pretende maximizar, pode ser obtido pela fórmula:

Por hora, considere que são aceitáveis os valores de e serem reais (não apenas inteiros positivos, mas também "números quebrados" como , , etc).

Como o estoque de cada ingrediente é limitado, tem-se restrições que devem ser consideradas. Matematicamente tais restrições podem ser expressas assim:

Pode-se simplificar a escrita das restrições e também da função objetivo utilizando a seguinte notação:

Nesses termos, o problema de otimização a ser resolvido é:

ou apenas,

onde é o conjunto definido pelo conjunto de restrições:

Tal problema tem solução pois a função objetivo é linear (contínua) e o conjunto de restrições forma um conjunto compacto.

Para este problema, a lagrangiana é dado por

Donde

Então, o problema dual é dado por

que é equivalente a

ou, escrevendo novamente em termos dos valores numéricos,


Na década de 30, 40 e 50 havia diversos livros que tratavam cada problema de programação linear individualmente, deduzindo vez após vez os seus duais, e disso extraindo certas "regras" que eram então sugeridas ao leitor na forma "se o problema for desse tipo, use tal regra, se for daquele tipo, use esta outra, e se for deste outro tipo, use esta regra". Um dos primeiros autores que começou a trabalhar os problemas sob um novo ponto de vista, mais generalizado, foi Werner Oettio (grafia?) . Seguindo-se por George Dantzig (conhecido como inventor do método simplex), Eugen Blumb (grafia?) e Jean-Pierre Crouzeix.

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Identificar e corrigir a grafia correta dos nomes dos pesquisadores mostrados acima; Encontrar fontes para comprovar a informação deste parágrafo.

Aplicação à programação quadrática

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Agora, o problema a considerar passa a ser

onde é um poliedro (interseção finita de semi-espaços), , e é uma matriz simétrica positiva definida.

Note que este problema tem solução, uma vez que o problema irrestrito correspondente tem solução (já que é uma matriz simétrica positiva definida, a função é limitada inferiormente, e como é fechado, a função objetivo assume seu valor mínimo em , por Wolfe).

Mesmo para , os problemas de programação linear já são difíceis de resolver "à mão". É preciso utilizar alguma técnica mais sofisticada.

Para dar continuidade ao exemplo, considere que o poliedro é dado por

com e .

Agora será aplicado o esquema de dualidade. A lagrangiana é

além disso,

e a última igualdade vale pois a função é fortemente convexa.

Considerando , se deduz que

.

Logo,

Observe que, sendo os autovalores de positivos, o mesmo vale obrigatoriamente para . Assim, como a expressão de envolve , tal função é fortemente côncava (conforme já era esperado para tal função).

Baseado nestas deduções, o problema dual é

ou seja,

Usualmente este tipo de problema é resolvido por meio do método do gradiente projetado.

Revisão do método do gradiente projetado

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O método baseia-se na seguinte proposição:

Proposição

Seja uma função convexa em , um conjunto convexo e fechado. Se o ponto é tal que , então .

Prova
Esta prova é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

Um algoritmo para o método do gradiente projetado

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Este algoritmo é bastante simples.

Primeiro passo:
  Escolha  e fixe .  
Passo iterativo : Enquanto 
  

Agora, é interessante observar como se faz para projetar um ponto em .

Exercício

Dado , mostre que

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

Exemplificando a projeção

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Seja . Então a projeção de sobre é :

Devido a essa simplicidade ao se fazer a projeção de um ponto, o método do gradiente projetado é muito eficiente para resolver o problema .

Exemplo concreto

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Seja .

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Incluir uma ilustração deste conjunto.

Como calcular a projeção do ponto sobre o conjunto , ?

Resolução
Seja a projeção de sobre . Então:

Então:

Nota: O leitor deve observar que a inclusão de é válida, e foi feita apenas para simplificar as contas.

Logo o modelo matemático para resolver este problema é

A lagrangiana é dada por

Logo,

Fazendo tem-se:

Donde

Logo,

Logo, o problema dual é

ou seja,

Agora, para a resolução deste problema dual, pode-se usar o método do gradiente projetado.

Para isso, note que o gradiente de é:

Passo 0

Seja e escolha .

Passo 1

Passo 2

Logo, a solução dual é

Agora, substituindo tal solução na lagrangiana, obtem-se o problema:

que é um problema quadrático sem restrições. Neste caso, basta igualar o gradiente a zero para determinar uma solução:

Donde e . De acordo com a teoria desenvolvida, a solução do problema é também solução do problema original, pois o produto é igual a zero (ver condições da proposição).

Exercícios resolvidos

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Exercício

Encontrar a solução do seguinte problema de programação linear:

sendo

Resolução
Primeiramente observe que , então não é possível obter uma interpretação geométrica do problema. Será usado o esquema de dualidade lagrangiana:
Identificar a lagrangiana
Identificar a função
Identificar o problema dual

que equivale a

ou simplesmente

Agora, se tem um problema em , e portanto, pode-se ter uma interpretação geométrica para o mesmo:

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Incluir ilustração do conjunto dos pontos que verificam as restrições do problema dual, bem como algumas curvas de nível da função objetivo (as mais relevantes).

As inequações que definem o conjunto viável são:

Tal conjunto é um pentágono (irregular, mas convexo), logo o valor máximo de é assumido quando for um dos cinco vértices. Através de simples verificação, comprova-se que o ponto de máximo é . Conforme a teoria, este ponto é uma solução do problema dual .

Como é um problema diferenciável e convexo (as condições de KKT são necessárias e suficientes), o dual terá solução e as duas juntas compõe um ponto de sela de .

Considere as condições de KKT:

  1. , ou seja,
  2. , ou seja,
  3. , ou seja,

Note que, a partir de 2 e 3, conclui-se que 4 só é possível quando .

Para se obter , basta lembrar que em se tem:

(comprovando 1)

Logo,

comprovando a propriedade (2).

Como valem as propriedades (3) e (5), tem-se:

Donde . Resta usar a informação da propriedade (4) para obter e . O sistema pode ser escrito como:

Logo, e .

Se , e satisfazem todas as propriedades, então é solução do problema , pois todas as condições de KKT são necessárias e suficientes.

Ao resolver o problema , poderia ter sido escolhido em vez de . Será que isso influenciaria o resultado final?

Acompanhe como ficaria a resolução desta maneira:

Resolução
;Identificar a lagrangiana
Identificar a função
Identificar o problema dual

que equivale a

ou simplesmente

Novamente, chega-se até um problema em , que pode ser interpretado de forma geométrica.

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Incluir ilustração do conjunto dos pontos que verificam as restrições deste problema dual, bem como algumas curvas de nível da função objetivo (as mais relevantes).

As inequações que definem o conjunto viável são:

Este conjunto também é um pentágono, de modo que o valor mínimo de é assumido quando for um dos cinco vértices. Através de simples verificação, comprova-se que o ponto de mínimo, ou seja uma solução do problema dual , é .

Nas condições de KKT, a única mudança é na propriedade (1), que se torna:

Resta ainda saber quem é e quem é :

como antes.

Como ao obter e chegou-se ao mesmo resultado de antes, o ponto continuará sendo o mesmo.

Exercício

Formule como um problema de minimização com restrições o problema de projetar ortogonalmente o ponto sobre o conjunto . Depois, calcule explicitamente a função lagrangiana e o problema dual.

Resolução
Matematicamente resolver esse problema é resolver

Definimos a lagrangeana como

Como a função é quadrática , podemos calcular o gradiente e igualar a zero:

Donde, e

Substituindo na função temos:

O problema dual fica então:

Que é equivalente a:


Exercício

No exercício anterior, se é a variável dual relacionada a variável primal e é a variável dual relacionada a variável primal , então verifique se é solução dual e se a lagrangiana tem pontos de sela. Em caso afirmativo, calcule um ponto de sela, caso contrário, argumente porque a lagrangiana não tem pontos de sela.

Resolução
Olhando o problema

observamos que é um problema com restrições.

Podemos usar as equações de KKT para resolve-lo.

Definimos a lagrangeana como

Agora usando o teorema de KKT devemos ter:

Calculando o gradiente temos

E portanto e .

Olhando nas equações acima obtemos , , e .

Portanto é a solução dual.

Voltando na lagrangiana do problema original e substituindo os multiplicadores de Lagrange obtemos um problema sem restrições:

Calculando o gradiente temos:

Portanto é a solução primal.

Logo é um candidato a ponto de sela.

Para verificar que ele é ponto de sela, basta ver se não há salto de dualidade. Mas isso não ocorre já que o valor ótimo do primal é e o valor ótimo do dual também é .


O problema a ser resolvido é:

Sabe-se que se for aplicado o método da lagrangiana, será considerada a função:

dada por
.

e também

, dada por

A grande dificuldade seria saber quando o valor de é finito. Uma idéia seria modificar um pouco a lagrangiana (aumentando-a, com um termo extra), da seguinte maneira:

Com isso, seria necessário garantir que a idéia de fato resolve o problema. Por este motivo, é preciso desenvolver alguns resultados teóricos. Para fazer a análise deste método, um primeiro resultado importante é o seguinte:

Lema  (Finsler-Debreu)

Seja uma matriz simétrica e . As seguintes afirmações são equivalentes:

  1. Se , com , então ;
  2. Existe tal que a matriz é definida positiva;
  3. Existe tal que a matriz é definida positiva para todo .

Demonstração
Primeiramente, será mostrado que a afirmação (2) é equivalente à afirmação (3).

Obviamente, (3) implica em (2).

Por outro lado, supondo que se tem (2), existe algum , tal que a matriz é definida positiva. Logo, para concluir a outra implicação, basta notar que para qualquer vale:

Assim, (2) também implica (3).

Agora, será mostrado que de (2) se conclui (1). De fato, se , para algum , então:

Finalmente, será garantido que se vale (1) então vale (3) (ver também página 25, de Izmailov & Solodov (2007)). Isso será mostrado por contradição, ou seja, supondo que vale (1) e que mesmo assim, não seja válido (3). Se disso seguir uma contradição, a implicação desejada é verdadeira.

Supondo que para todo tal que , tem-se , e que fosse falsa a afirmação (3), existiria para cada algum e algum de modo que

Neste caso, dividindo por , e denotando , segue que para cada , existe algum e algum , com , tais que

Como todos os estão na esfera unitária, que é compacta, a sequência tem algum ponto de acumulação, por exemplo . Passando o limite em , e considerando apenas a subsequência de que converge para , tem-se

  • (pois )
  • e

Neste caso,

só é possível se , ou seja, se . Logo,

contradizendo a hipótese (1).


Exercício

Prove a seguinte variante do lema anterior:

Seja uma matriz simétrica e semi-definida positiva, e . As seguintes afirmações são equivalentes:
  1. Se , com , então ;
  2. Existe tal que a matriz é definida positiva;
  3. Para todo , a matriz é definida positiva.

A partir de agora, o problema será:

onde se supõe que são funções de classe e que para todo , o conjunto é compacto (em inglês costuma-se usar a expressão inf-compact para descrever tais funções).

Sabe-se que a lagrangiana associada ao problema é:

dada por
.

e ainda, em uma notação mais sintética, considerando a função dada por:

definida por

tem-se a lagrangiana expressa da seguinte maneira:

Para o método da lagrangiana aumentada serão assumidas as seguintes hipóteses:

  1. Se é solução, então existe tal que ;
  2. Para todo , o jacobiano de satizfaz:

Note que a segunda hipótese tem exatamente a mesma forma de uma das condições que aparece no lema de Finsler-Debreu.

Definição

Dado , se define a lagrangiana aumentada para o problema como:

dada por

Observe que é justamente a aparição do termo sendo somado à lagrangiana que justifica o nome lagrangiana aumentada.

Esse conceito possui algumas interpretações:

Exercício

Verifique que a lagrangiana aumentada é justamente a lagrangiana do problema penalizado, ou seja, de

Demonstração
Basta notar que dentro do conjunto viável as funções objetivos são iguais.
Exercício

Verifique que a função dual (o ínfimo da lagrangiana aumentada em relação à primeira componente), dada por

, com
para satisfaz
onde é solução de

Demonstração

E a segunda desigualdade

.


Exercício

Verifique que é compacto, qualquer que seja e .

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.
Proposição

Se é solução de , então existe algum , algum e alguma vizinhança de tais que é fortemente convexa com parâmetro .

Demonstração
Conforme o lema de Finsler-Debreu, a hipótese (2), segundo a qual para todo , o jacobiano de satizfaz:

equivale a dizer que existe algum tal que é definida positiva.

Mas a Hessiana de é dada por . Logo, a hipótese equivale a dizer que é definida positiva.

Considere agora a função definida por

Logo, para qualquer , tomando , tem-se

Pela continuidade da função , existe uma vizinhança de tal que para todo ponto , e qualquer que seja . Além disso, tal vizinhança pode ser tomada aberta, convexa e suficientemente pequena para que .

Assim, tomando o ínfimo, pode-se definir como

Então

quaisquer que sejam e .

Portanto,

ou seja, os auto-valores de são todos positivos.

Para concluir que é fortemente convexa, basta recordar-se de dois fatos:

  1. Uma função de classe é convexa se, e somente se, é semidefinida positiva;
  2. Uma função é fortemente convexa se, e somente se, existe uma constante tal que é convexa, ou seja, .

Com isso, é fortemente convexa pois

Isso significa que há um único mínimo local para tal função, e que consequentemente ele é um mínimo global. Das hipóteses 1 e 2 colocadas no início da discussão sobre a lagrangiana aumentada, segue que é fortemente convexa em .

Com essas condições, mostrou-se que em um ponto que seja solução, a lagrangiana aumentada é fortemente convexa.

Antes de apresentar o algoritmo, será fixada mais uma notação:

Algoritmo da lagrangiana aumentada

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Dados e .

Início: Tome  e .

Iteração: Calcule , solução de .
     Se , pare: .
     Senão, faça
           
           


Este é um dos algoritmos mais usados e mais eficientes para problemas de programação não linear. A garantia de convergência segue dos próximos teoremas.

Teorema

Sejam , e como na proposição anterior. Se é uma vizinhança de , existe algum tal que:

  1. e

Observações:

  • denota as soluções do problema;
  • A igualdade significa que não há salto de dualidade.
  • Já foi mostrado que a função é fortemente convexa em uma vizinhança. Logo, os minimizadores devem estar em tal vizinhança.
  • A prova é um pouco técnica, e usa as condições de KKT, mostrando que o cone linearizado é igual ao cone tangente.
Prova
Esta prova é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

O segundo teorema é:

Teorema

Se é suficientemente grande e suficientemente pequeno, então:

  1. é limitada

Observações:

  • A propriedade 2 praticamente segue do fato de não haver salto de dualidade.
Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa na versão online deste material.

Com esses resultados, tem-se a garantia de que o algoritmo realmente converge para uma solução, desde que os parâmetros sejam tomados adequadamente. A questão que ainda permanece é como identificar os valores adequados de e de para que tal convergência ocorra.

Exercício

Argumente porque as hipóteses 1, 2 e 3 garantem que a iteração do algoritmo da Lagrangiana aumentada para problemas de minimização com restrições de igualdade tem uma única solução, sendo:

  1. Todas as funções são de classe e a função objetivo tem todos os seus subníveis compactos.
  2. Se é solução do problema, então existe tal que o gradiente da Lagrangiana não aumentada com respeito a variável primal se anula em .
  3. A hessiana da Lagrangiana não aumentada com respeito a variável primal é definida positiva sob a variedade ortogonal de todos os gradientes no ponto das restrições.


Nesta página estarão indicadas as convenções adotadas neste wikilivro sobre otimização, no que diz respeito a sua formatação. Recomenda-se a leitura do mesmo, por todos que pretendem contribuir com a melhoria desde texto.

Definição

As definições aparecem em caixas com essa aparência.

Observações
  • Geralmente um termo importante aparece pela primeira vez em uma definição.
  • Devido à sua importância, é bom destacar a definição do restante do texto.
  • No momento, a forma de destacar uma definição neste wikilivro é a inclusão de bordas duplas em torno do texto da definição, como no exemplo acima. Para facilitar essa tarefa, utiliza-se a predefinição {{Definição}}.
  • O conceito que está sendo definido costuma ser colocado em negrito, sendo que o texto da explicação tem sido alinhado a esquerda.
Teorema

Sempre que uma propriedade importante dos objetos tratados no texto precisa ser destacada, isto deve ser feito em uma caixa como essa.

Observações
  • Os principais tipos de propriedades a ser destacados são: teoremas, proposições, corolários e pequenos lemas.
  • Para conseguir a formatação acima, utiliza-se a predefinição {{Teorema}}.
Exercício

Aqui vai o enunciado de um exercício.

  1. Pode-se colocar vários itens;
  2. Cada um com a numeração adequada;

Demonstrações e resolução de exercícios

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Resolução
É interessante destacar a resolução de um exercício, ou a demonstração de alguma propriedade em um espaço como este.


Tarefas pendentes

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Um dos autores deste material sugeriu que as tarefas pendentes, como a inclusão de figuras, sejam indicadas em caixas como esta.



Faltam capítulos neste índice.
Ampliando-o você ajudará a melhorar o Wikilivros.

Nesta página estão listados os conceitos abordados neste livro em ordem alfabética.

O nome de cada conceito possui um link para a página onde o mesmo é definido. Outras ocorrências importantes do conceito são indicadas pelos links numerados, logo após o link principal.


  • Brecha de dualidade
  • Busca linear
  • Condição
suficiente de segunda ordem
  • Condições de otimalidade
  • Condições de otimalidade
de Karush-Kuhn-Tucker
necessárias
de primeira ordem
de segunda ordem
suficientes
de segunda ordem
  • Condições de qualificação das restrições
de independência linear dos gradientes das restrições ativas
de linearidade
de Mangasarian-Fromovitz
de Slater
  • Cone
tangente
tangente linearizado
  • Conjunto
convexo
de nível
viável
  • Convexidade
  • Direção
de descida
viável
  • Direções
conjugadas
  • Dualidade
  • Função
coerciva
côncava
convexa
de barreira
de penalidade
exterior
interior
fortemente
côncava
convexa
objetivo
  • Funções em dualidade
  • Hessiana
  • Lagrangiana
aumentada
  • Lema
de Finsler-Debreu
  • Método
dos gradientes conjugados
da Lagrangiana aumentada
de barreira
de descida
de direções conjugadas
de Newton
de penalidade
interior
exterior
das regiões de confiança
do gradiente
conjugado
projetado
  • Minimizador
global
local
  • Multiplicadores de Lagrange
  • Penalidade
exterior
interior
  • Ponto
crítico
de mínimo
  • Problema
de minimização
de programação
linear
quadrática
dual
irrestrito
primal
  • Projeção
  • Região de confiança
  • Regra
de Armijo
  • Restrições ativas
  • Sistema
de Lagrange
  • Solução
  • Teorema
de Wolfe
  • Wolfe, teorema

Livros e artigos

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Páginas da internet

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Material complementar

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