Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F5

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Enunciado

Para estimar a força de arrasto a que um transdutor de sonar estará sujeito, foi construído um modelo de forma esférica de 10 cm de diâmetro para ensaios em um túnel de vento. Considerando que o transdutor tem 50 cm de diâmetro e será mergulhado em água do mar a 5 °C, fluindo à velocidade média de 8 km/h, determine a velocidade necessária do vento. Calcule a força de arrasto sobre o transdutor, considerando que a força exercida pelo vento sobre o modelo foi de 30 N.

Dados do problema

	Original	Modelo
Fluido	Água a 5° C	Ar a 0° C (atmosfera padrão)
Densidade do fluido	1000 kg/m3	1.2 kg/m3
Viscosidade do fluido	1.5 x 10-3 kg·m-1·s-1	1.8 x 10-5 kg·m-1·s-1
Diâmetro	50 cm	10 cm
Velocidade	8 km/h	?
Fo	?	30 N

Dados adicionais:

Velocidade do som no ar = 330 m/s

Solução

Para usar um gás como meio físico, é preciso que duas condições sejam cumpridas:

1. no original, o efeito de cavitação seja desprezível;
2. no protótipo, os efeitos de compressibilidade sejam desprezíveis;

Como a velocidade de arrasto é relativamente baixa e a pressão esperada é relativamente elevada, porque o transdutor trabalhará a grandes profundidades, o número de cavitação no original

$N_{Ca}\;=\;{\frac {2\;(p_{o}\;-\;p_{v})}{\rho v_{o}^{2}}}$

será alto e a probabilidade de ocorrência de cavitação, por conseguinte, será pequena.

Para que os efeitos de compressibilidade sejam desprezíveis, é preciso que o número de Mach no modelo

$N_{Ma}\;=\;{\frac {v_{m}}{v_{r}}}$

(onde v_r é a velocidade do som no ar) não seja maior que 0.3.

Similitude dinâmica, neste caso, é exigida, porque o problema envolve predição de magnitudes de forças. Assim, os grupos adimensionais importantes devem possuir o mesmo valor no original e no modelo. Como visto, os grupos Π obtidos a partir do teorema de Buckingham são os seguintes:

$\pi _{1}\;=\;{\frac {F}{\rho v^{2}L^{2}}}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {\mu }{\rho vL}}\qquad \pi _{3}\;=\;{\frac {L}{e}}$

Além disso, é preciso que o escoamento em ambos os casos tenha as mesmas características, por isso o número de Reynolds deve ter o mesmo valor em ambos os casos. Mas pode-se ver que o número de Reynolds é justamente o inverso do segundo grupo Π. Assim, as equações que devem ser atendidas são as seguintes:

(1)

${\frac {F_{o}}{\rho _{o}v_{o}^{2}L_{o}^{2}}}\;=\;{\frac {F_{m}}{\rho _{m}v_{m}^{2}L_{m}^{2}}}$

(2)

${\frac {\mu _{o}}{\rho _{o}v_{o}L_{o}}}\;=\;{\frac {\mu _{m}}{\rho _{m}v_{m}L_{m}}}$

(3)

${\frac {L_{o}}{e_{o}}}\;=\;{\frac {L_{m}}{e_{m}}}$

(4)

${\frac {v_{m}}{v_{r}}}\;\leq \;0.3$

A condição (3) siginifa que as superfícies do modelo e do original devem apresentar a mesma rugosidade relativa, ou seja, a altura das rugas deve ser proporcional ao diâmetro. Essa condição implica que o modelo não pode ser construído com o mesmo material que o original, e sim com outro 5 vezes mais liso. Sendo o transdutor de aço, é preciso que o modelo seja de aço polido, por exemplo.

De (2), temos que

$v_{m}\;=\;{\frac {\rho _{o}v_{o}L_{o}\mu _{m}}{\mu _{o}\rho _{m}L_{m}}}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 8\;km/h\cdot 50\;cm\cdot 1.8\times 10^{-5}kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}{1.5\times 10^{-3}kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 1.2\;kg/m^{3}\cdot 10\;cm}}$

$\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 8.0\cdot {\frac {1000}{3600}}\;m/s\cdot 0.50m\cdot 1.8\times 10^{-5}kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}{1.5\times 10^{-3}kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 1.2\;kg/m^{3}\cdot 0.10\;m}}\;=\;110\;m/s$

A condição (4)

${\frac {v_{m}}{v_{r}}}\;=\;{\frac {110\;m/s}{330\;m/s}}\;=\;0.3$

é, portanto, satisfeita. No limite, devido ao fato de a razão densidade/viscosidade ser cerca de 10 vezes maior para a água do que para o ar. Se a velocidade do fluido no original fosse maior, seria necessário usar um fator de escalamento menor, ou seja, construir um modelo um pouco maior.

Tomando agora a equação (1), calculamos a força de arrasto sobre o transdutor

$F_{o}\;=\;F_{m}\;{\frac {\rho _{o}v_{o}^{2}L_{o}^{2}}{\rho _{m}v_{m}^{2}L_{m}^{2}}}\;=\;30\;N\cdot {\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot (8\;km/h)^{2}\cdot (50\;cm)^{2}}{1.2\;kg/m^{3}\cdot (110\;m/s)^{2}\cdot (10\;cm)^{2}}}$

$30\;N\cdot {\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot (8\;{\frac {1000}{3600}}\;m/s)^{2}\cdot (0.50cm)^{2}}{1.2\;kg/m^{3}\cdot (110\;m/s)^{2}\cdot (0.10m)^{2}}}\;=\;250\;N$