Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F4

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Enunciado[editar | editar código-fonte]

Obter grupos adimensionais Π necessários para a determinação experimental da ascensão capilar h que ocorre quando um tubo de diâmetro D é inserido em um líquido de densidade ρ e tensão superficial γ.

Dados do problema[editar | editar código-fonte]

As variáveis originais serão:

  1. o diâmetro do tubo (D) - dimensão [L];
  2. a densidade do fluido (ρ) - dimensão [ML-3];
  3. a tensão superficial (γ) - dimensão [Mt-2];
  4. a ascensão capilar (h) - dimensão [L];

Solução[editar | editar código-fonte]

As k = 3 dimensões envolvidas, como se vê, são [M], [L] e [t].

Como são 4 as variáveis originais, apenas um grupo adimensional será necessário. A equação dimensional será:







O que leva a



que claramente não atende às necessidades do problema. Isso podia ser verificado logo de início, porque o teorema de Buckingham indica que h e D, possuindo a mesma dimensão, precisam formar um grupo Π; como são apenas 4 variáveis, esse grupo é o único. Ora, isso impede que as demais dimensões básicas, M e t, sejam adequadamente tratadas.

O que aconteceu, neste caso, é que faltaram uma ou mais variáveis na lista. Vamos tentar novamente, acrescentando a aceleração da gravidade, g (dimensão [Lt-2]. Escolhendo ρ, D e g como variáveis repetidas, teremos










O que resulta em



Esse problema mostra que a aceleração da gravidade, g, mesmo sendo uma constante, precisa ser levada em conta, para garantir a homogeneidade dimensional da solução.