Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F6

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Enunciado

Uma bomba centrífuga, cuja eficiência é de 80%, possui rotor de diâmetro 20 cm e bombeia água a 1170 rpm e a uma vazão de 1500 litros por minuto. A velocidade específica da bomba é igual a 4.5.

1. Determine a vazão resultante quando ela funcionar a 1750 rpm;
2. Determine a elevação de carga obtida a 1170 e a 1750 rpm;
3. Determine a potência de alimentação necessária a 1170 e a 1750 rpm;

Dados do problema

	1	2
ω	1170 rpm	1750 rpm
Φ	1500 l/min	?
h	?	?
Pa	?	?

Dados adicionais:

Eficiência da bomba (η) = 80 %

Diâmetro do rotor (D) = 20 cm

Densidade da água (ρ) = 1000 kg/m³

Velocidade específica (ω_e) = 4.5

Solução

Pelas leis de bombas

${\frac {\Phi _{m}}{\omega _{m}D_{m}^{3}}}\;=\;{\frac {\Phi _{o}}{\omega _{o}D_{o}^{3}}}\;\;\;\Rightarrow \Phi _{2}\;=\;\Phi _{1}{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\left({\frac {D_{2}}{D_{1}}}\right)^{3}\;=\;\Phi _{1}{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$

$\;=\;1500\;l/min\;{\frac {1750\;rpm}{1170\;rpm}}\;=\;2200\;l/min$

Da definição de velocidade específica

$\omega _{e1}\;=\;\omega _{1}{\sqrt {\frac {\Phi _{1}}{\sqrt {h_{1}^{3}}}}}\;\;\;\Rightarrow h_{1}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {\omega _{1}{\sqrt {\Phi _{1}}}}{\omega _{e1}}}\right)^{4}}}$

$h_{1}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {1170\;rpm\;{\sqrt {1500\;l/min}}}{4.5}}\right)^{4}}}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {1170\cdot {\frac {2\cdot 3.1}{60}}\;rd/s\;{\sqrt {1500\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}}}{4.5}}\right)^{4}}}\;=\;6.9\;m$

$h_{2}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {1750\;rpm\;{\sqrt {2200\;l/min}}}{4.5}}\right)^{4}}}\;=\;{\sqrt[{3}]{\left({\frac {1750\cdot {\frac {2\cdot 3.1}{60}}\;rd/s\;{\sqrt {2200\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}}}{4.5}}\right)^{4}}}\;=\;15\;m$

A elevação de carga também poderia ter sido calculada por meio das leis de bombas

${\frac {h_{o}}{\omega _{o}^{2}D_{o}^{2}}}\;=\;{\frac {h_{m}}{\omega _{m}^{2}D_{m}^{2}}}\;\;\;\Rightarrow h_{2}\;=\;h_{1}\left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)^{2}\;\left({\frac {D_{2}}{D_{1}}}\right)^{2}\;=\;h_{1}\left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)^{2}$

$h_{2}\;=\;6.9\;m\;\left({\frac {1750\;rpm}{1170\;rpm}}\right)^{2}\;=\;15\;m$

A potência mecânica entregue pela bomba é dada por

$P\;=\;{\frac {\Delta E}{\Delta t}}\;=\;{\frac {\Delta (mgh)}{\Delta t}}\;=\;gh{\frac {\Delta m}{\Delta t}}\;=\;gh\Phi _{m}\;=\;gh\rho \Phi$

onde Φ_m é a vazão mássica do fluido. Assim

$P_{a1}\;=\;{\frac {P_{1}}{\eta _{1}}}\;=\;{\frac {\rho gh_{1}\Phi _{1}}{\eta _{1}}}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 6.9\;m\cdot 1500\;l/min}{0.8}}$

$P_{a1}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 6.9\;m\cdot 1500\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}{0.8}}\;=\;2100\;W$

Novamente pelas leis de bombas

${\frac {P_{m}}{\rho _{m}\omega _{m}^{3}D_{m}^{5}}}\;=\;{\frac {P_{o}}{\rho _{o}\omega _{o}^{3}D_{o}^{5}}}\;\;\;\Rightarrow P_{2}\;=\;P_{1}\;{\frac {\rho _{2}\omega _{2}^{3}D_{2}^{5}}{\rho _{1}\omega _{1}^{3}D_{1}^{5}}}$

$P_{a2}\;=\;{\frac {P_{2}}{\eta }}\;=\;{\frac {\rho _{1}gh_{1}\Phi _{1}}{\eta }}\;\left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)^{3}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 6.9\;m\cdot 1500\;l/min}{0.8}}\;\left({\frac {1750\;rpm}{1170\;rpm}}\right)^{3}$

$\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 6.9\;m\cdot 1500\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}{0.8}}\;\left({\frac {1750\;rpm}{1170\;rpm}}\right)^{3}\;=\;7000\;W$

A potência também poderia ter sido calculada pela expressão alternativa

$P_{2}\;=\;\rho _{2}gh_{2}\Phi _{2}\;\;\;\Rightarrow P_{a2}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 15\;m\cdot 2200\;l/min}{0.8}}$

$\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 15\;m\cdot 2200\cdot {\frac {0.001}{60}}\;m^{3}/s}{0.8}}\;=\;7000\;W$