Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F2

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Enunciado

Obter grupos adimensionais Π necessários para a determinação experimental da perda de carga em um escoamento de um líquido incompressível através de um tubo horizontal de diâmetro D, comprimento L e rugosidade e. Levar em conta a velocidade do fluxo, a viscosidade e a densidade do fluido.

Dados do problema

As variáveis originais serão:

1. o diâmetro do tubo (D) - dimensão [L];
2. o comprimento do tubo (L) - dimensão [L];
3. a velocidade do fluxo (v) - dimensão [Lt^-1];
4. a viscosidade do fluido (μ) - dimensão [ML^-1t^-1];
5. a densidade do fluido (ρ) - dimensão [ML^-3];
6. a rugosidade (e) - dimensão [L];
7. a perda de carga (h) - dimensão [L];

Solução

As k = 3 dimensões envolvidas, como se vê, são [M], [L] e [t].

Selecionemos os 3 parâmetros ρ, v e D; h, de acordo com o teorema, h não deve ser utilizado. Além disso, também de acordo com o teorema, três grupos adimensionais serão: a razão entre D e e, a razão entre D e L e a razão entre D e h. Falta apenas um, e a equação dimensional será:

$\pi _{1}\;=\;\rho ^{a}v^{b}D^{c}\mu$

Usando o resultado obtido no exemplo já estudado anteriormente, podemos escrever

$\pi _{1}\;=\;{\frac {\mu }{\rho vD}}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {D}{e}}\qquad \pi _{3}\;=\;{\frac {D}{L}}\qquad \pi _{4}\;=\;{\frac {D}{h}}$

Vê-se, assim, que o problema não apresenta maiores dificuldades, do ponto de vista teórico, apesar do elevado número de variáveis envolvidas. Do ponto de vista experimental, exige-se um número razoável de experiências, devido ao fato de serem quatro os grupos adimensionais; além disso, pode ser difícil obter um número adequado de objetos com diferentes rugosidades (grupo Π₂). Além disso, requer-se raciocínio físico, que aponta para o uso de D, e não de L, como parâmetro repetido; intuitivamente, a relação da rugosidade e com o diâmetro do tubo é mais significativa que a relação de e com o comprimento L.