Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F1

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Enunciado

Obter grupos adimensionais Π necessários para a determinação experimental da força de arrasto de um objeto esférico em um líquido, levando em conta também a rugosidade e do objeto. A dimensão de e é [L]: pode-se entender e dessa forma como uma medida da altura média das rugas presentes na superfície.

Dados do problema

As variáveis originais serão:

1. o diâmetro da esfera (L) - dimensão [L];
2. a velocidade do fluxo (v) - dimensão [Lt^-1];
3. a viscosidade do fluido (μ) - dimensão [ML^-1t-¹];
4. a densidade do fluido (ρ) - dimensão [ML^-3];
5. a força de arrasto (F) - dimensão [MLt^-2];
6. a rugosidade (e) - dimensão [L];

Solução

As k = 3 dimensões envolvidas, como se vê, são [M], [L] e [t].

Selecionemos os 3 parâmetros ρ, v e L; F, de acordo com o teorema, não deve ser utilizado. Além disso, também de acordo com o teorema, um grupo adimensional será a razão entre L e e. As equações dimensionais resultantes serão:

$\pi _{1}\;=\;\rho ^{a}v^{b}L^{c}F\qquad \pi _{2}\;=\;\rho ^{d}v^{e}L^{f}\mu \qquad \pi _{3}\;=\;{\frac {L}{e}}$

O problema, assim, difere pouco do exemplo já estudado anteriormente, e podemos escrever

$\pi _{1}\;=\;{\frac {F}{\rho v^{2}L^{2}}}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {\mu }{\rho vL}}\qquad \pi _{3}\;=\;{\frac {L}{e}}$