Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E17

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Enunciado

Calcular a vazão de saída de água de um reservatório com altura de 10 m, descarregando livremente na atmosfera, considerando

1. uma saída com embocadura de 15 cm de diâmetro;
2. que a embocadura seja em ângulo reto e seja instalado um difusor com aumento da abertura para 30 cm;
3. que a embocadura seja suave e seja instalado o mesmo difusor.

Calcular também a pressão na abertura e a velocidade de descarga na atmosfera, após a instalação do difusor. Considerar o valor do coeficiente de recuperação de pressão como 0.3 (um valor baixo).

Solução

Sem difusor

Independentemente do formato da embocadura,

$\Delta h\;=\;{\frac {1}{2g}}\;\alpha {\bar {v}}^{2}\;\;\;\Rightarrow {\bar {v}}\;=\;{\sqrt {\frac {2g\;\Delta h}{\alpha }}}$

Considerando α = 1,

${\bar {v}}\;=\;{\sqrt {\frac {2\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 10\;m}{1}}}\;=\;14\;m/s$

O Número de Reynolds será

$N_{Re}\;=\;{\frac {\rho {\bar {v}}D}{\mu }}\;=\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 14\;m/s\cdot 0.15\;m}{0.0010\;kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}}\;=\;2100000$

o que faz com que a aproximação α = 1 seja bastante razoável. Assim, a vazão será

$\Phi \;=\;{\frac {\pi D^{2}}{4}}\;{\bar {v}}\;=\;{\frac {3.1\cdot (0.15\;m)^{2}}{4}}\cdot 14\;m/s\;=\;0.24\;m^{3}/s$

Com difusor (embocadura em ângulo reto)

${\bar {v}}_{1}\;=\;{\sqrt {\frac {\alpha }{N_{l1}\;+\;\left(1\;-\;{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\;-\;N_{c}\right)\alpha _{1}\;+\;\left({\frac {A_{1}}{A_{2}}}\right)^{2}\alpha _{2}}}}\cdot {\bar {v}}$

${\bar {v}}_{1}\;=\;{\sqrt {\frac {\alpha }{N_{l1}\;+\;\left(1\;-\;\left({\frac {D_{1}}{D_{2}}}\right)^{2}\;-\;N_{c}\right)\alpha _{1}\;+\;\left({\frac {D_{1}}{D_{2}}}\right)^{4}\alpha _{2}}}}\cdot {\bar {v}}$

${\bar {v}}_{1}\;=\;{\sqrt {\frac {1}{0.5\;+\;\left(1\;-\;\left({\frac {15\;cm}{30\;cm}}\right)^{2}\;-\;0.3\right)\;+\;\left({\frac {15\;cm}{30\;cm}}\right)^{4}}}}\cdot 14\;m/s\;=\;14\;m/s$

O difusor foi ineficaz, devido à grande perda introduzida pela abertura em ângulo reto.

Com difusor (embocadura suave

${\bar {v}}_{1}\;=\;{\sqrt {\frac {1}{0.04\;+\;\left(1\;-\;\left({\frac {15\;cm}{30\;cm}}\right)^{2}\;-\;0.3\right)\;+\;\left({\frac {15\;cm}{30\;cm}}\right)^{4}}}}\cdot 14\;m/s\;=\;19\;m/s$

$\Phi \;=\;{\frac {\pi D^{2}}{4}}\;{\bar {v}}\;=\;{\frac {3.1\cdot (0.15\;m)^{2}}{4}}\cdot 19\;m/s\;=\;0.33\;m^{3}/s$

A vazão aumentou em quase 30%. A pressão na abertura é calculada da seguinte maneira:

$N_{c}\;=\;{\frac {\Delta p}{\rho {\frac {{\bar {v}}_{1}^{2}}{2}}}}\Rightarrow \Delta p\;=\;p_{2}\;-\;p_{1}\;=\;{\frac {\rho N_{c}{\bar {v}}_{1}^{2}}{2}}$

$0\;-\;p_{1}\;=\;{\frac {\rho N_{c}{\bar {v}}_{1}^{2}}{2}}\Rightarrow p_{1}\;=\;-\;{\frac {1000\;kg/m^{3}\cdot 0.3\cdot (19\;m/s)^{2}}{2}}\;=\;-\;53k\;Pa$

A pressão na abertura cai bem abaixo da pressão atmosférica. Já a velocidade de saída será

${\bar {v}}_{2}\;=\;{\frac {A_{1}}{A_{2}}}{\bar {v}}_{1}\;=\;\left({\frac {D_{1}}{D_{2}}}\right)^{2}{\bar {v}}_{1}\;=\;\left({\frac {15\;cm}{30\;cm}}\right)^{2}19\;m/s\;=\;4.7\;m/s$

Uma queda muito grande. O exemplo mostra que, mesmo um difusor com um valor baixo de N_c pode ser bastante eficaz. Um difusor pode ter um N_c de 0.7 ou ainda maior.