A mediana consiste em qualquer nó
de uma rede ter a menor distância total possível deste mesmo nó
a todos os outros nós, então, uma mediana é qualquer nó
tal que (Francis, 1992, p. 426-431):
onde
A soma das distâncias do nó
a todos os outros nós é igual a soma dos valores da linha
da matriz D, sendo que esta matriz é composta pelas distâncias mais curtas entre todos os pares de nós.
Figura 9.12.2.2.1 Exemplo de rede cíclica
A considerar a Figura 9.12.2.2.1 como exemplo, a matriz D será a seguinte:
Dada a matriz D pode-se concluir que:
Desta forma,
. Podendo-se então concluir que a mediana desta rede é o nó 2.
- Distância Nó-Arco
Para algum ponto do arco
, existe uma distância mais curta do nó
, onde esta tem o seu valor máximo, esta distância máxima chama-se distância nó-arco e é representada por
.
Caso o arco
não tenha direcção existem dois percursos para ir do nó
ao ponto
em
, sendo que um deles é seguir pelo nó
e o outro seguir pelo nó
, devendo-se escolher o percurso com a distância mais curta.
Existe também a possibilidade do arco
ser direccionado, então, um ponto no arco
só pode ser alcançado via nó
.
Para o primeiro caso, onde o arco
não é direccionado considera-se que:
Já para o segundo caso, onde o arco
é direccionado considera-se que:
Ao numerar os arcos de uma rede de
a
uma matriz, D',
cujo elemento
é a distância do nó-arco do nó
ao arco
pode ser construída utilizando as duas equações descritas acima.
Quando considerado qualquer nó
com a menor distância total a cada arco, onde a distância de um nó a um arco é a distância máxima do nó aos pontos do arco, este nó
é uma mediana geral, tal que:
onde
Uma mediana geral corresponde a qualquer linha de uma matriz D' com menor soma, onde as linhas
desta matriz são compostas pelas distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos).
Ao utilizar a Figura 9.12.2.1 como exemplo e ordenando os arcos da seguinte forma:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A matriz D' das distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos) é a seguinte:
Portanto,
Pode-se então concluir que o nó 1 é a mediana geral desta rede.
Qualquer ponto com a menor distância total possível a todos os nós é uma mediana absoluta, sendo que esta é qualquer ponto
tal que:
com
,
é o conjunto de todos os pares da rede
onde
Considerando que
é uma função côncava de
, então esta é minimizada quando
ou
Sendo assim, quando considerado um arco
um de seus nós terminais será o mais indicado para ser mediana absoluta.
Desta forma, só é necessário considerar os nós quando se pretende encontrar uma mediana absoluta.
- Distância Ponto-Arco
Considerando um ponto
do arco
a sua distância ponto-arco é representada por:
Existem quatro casos distintos para determinação da distância ponto-arco, são eles:
1. Arco
não direccionado e diferente de
, então:
2. Arco
direccionado e diferente de
, então:
3. Arco
direccionado e igual a
, então:
4. Arco
não direccionado e igual a
, então:
e
consequentemente,
Quando a distância total do ponto a todos os arcos é a menor possível estamos perante uma mediana absoluta geral, sendo que esta é qualquer ponto
tal que:
com
onde