Logística/Localização/Localização em redes/Localização em redes cíclicas/Localização mediana

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A mediana consiste em qualquer nó de uma rede ter a menor distância total possível deste mesmo nó a todos os outros nós, então, uma mediana é qualquer nó tal que (Francis, 1992, p. 426-431):



onde



A soma das distâncias do nó a todos os outros nós é igual a soma dos valores da linha da matriz D, sendo que esta matriz é composta pelas distâncias mais curtas entre todos os pares de nós.


Rede32c.png
Figura 9.12.2.2.1 Exemplo de rede cíclica


A considerar a Figura 9.12.2.2.1 como exemplo, a matriz D será a seguinte:



Dada a matriz D pode-se concluir que:






Desta forma, . Podendo-se então concluir que a mediana desta rede é o nó 2.


Distância Nó-Arco


Para algum ponto do arco , existe uma distância mais curta do nó , onde esta tem o seu valor máximo, esta distância máxima chama-se distância nó-arco e é representada por . Caso o arco não tenha direcção existem dois percursos para ir do nó ao ponto em , sendo que um deles é seguir pelo nó e o outro seguir pelo nó , devendo-se escolher o percurso com a distância mais curta. Existe também a possibilidade do arco ser direccionado, então, um ponto no arco só pode ser alcançado via nó . Para o primeiro caso, onde o arco não é direccionado considera-se que:



Já para o segundo caso, onde o arco é direccionado considera-se que:



Ao numerar os arcos de uma rede de a uma matriz, D', cujo elemento é a distância do nó-arco do nó ao arco pode ser construída utilizando as duas equações descritas acima.


Localização Mediana Geral[editar | editar código-fonte]

Quando considerado qualquer nó com a menor distância total a cada arco, onde a distância de um nó a um arco é a distância máxima do nó aos pontos do arco, este nó é uma mediana geral, tal que:



onde



Uma mediana geral corresponde a qualquer linha de uma matriz D' com menor soma, onde as linhas desta matriz são compostas pelas distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos).

Ao utilizar a Figura 9.12.2.1 como exemplo e ordenando os arcos da seguinte forma:


1.


2.


3.


4.


5.


6.


A matriz D' das distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos) é a seguinte:



Portanto,







Pode-se então concluir que o nó 1 é a mediana geral desta rede.


Localização Mediana absoluta[editar | editar código-fonte]

Qualquer ponto com a menor distância total possível a todos os nós é uma mediana absoluta, sendo que esta é qualquer ponto tal que:



com


, é o conjunto de todos os pares da rede


onde



Considerando que é uma função côncava de , então esta é minimizada quando ou


Sendo assim, quando considerado um arco um de seus nós terminais será o mais indicado para ser mediana absoluta. Desta forma, só é necessário considerar os nós quando se pretende encontrar uma mediana absoluta.


Distância Ponto-Arco


Considerando um ponto do arco a sua distância ponto-arco é representada por:



Existem quatro casos distintos para determinação da distância ponto-arco, são eles:


1. Arco não direccionado e diferente de , então:



2. Arco direccionado e diferente de , então:



3. Arco direccionado e igual a , então:



4. Arco não direccionado e igual a , então:



e



consequentemente,



Localização Mediana Absoluta Geral[editar | editar código-fonte]

Quando a distância total do ponto a todos os arcos é a menor possível estamos perante uma mediana absoluta geral, sendo que esta é qualquer ponto tal que:


com


onde