Logística/Localização/Localização em redes/Localização em redes cíclicas/Localização mediana

A mediana consiste em qualquer nó $\ x$ de uma rede ter a menor distância total possível deste mesmo nó $\ x$ a todos os outros nós, então, uma mediana é qualquer nó $\ x$ tal que (Francis, 1992, p. 426-431):

$\ SVV(x)=\min {\big \{}SVV(i){\big \}}$

onde

$SVV(i)=\sum \ d(i,j)$

A soma das distâncias do nó $\ i$ a todos os outros nós é igual a soma dos valores da linha $\ i$ da matriz D, sendo que esta matriz é composta pelas distâncias mais curtas entre todos os pares de nós.

Figura 9.12.2.2.1 Exemplo de rede cíclica

A considerar a Figura 9.12.2.2.1 como exemplo, a matriz D será a seguinte:

$D={\begin{bmatrix}0&3&5&4\\6&0&2&2\\7&2&0&3\\4&5&3&0\end{bmatrix}}$

Dada a matriz D pode-se concluir que:

$\ SVV(1)=0+3+5+4=12$

$\ SVV(2)=6+0+2+2=10$

$\ SVV(3)=7+2+0+3=12$

$\ SVV(4)=4+5+3+0=12$

Desta forma, $\ \min {\big \{}12,10,12,12{\big \}}=7=SVV(2)$. Podendo-se então concluir que a mediana desta rede é o nó 2.

Distância Nó-Arco

Para algum ponto do arco $\ (r,s)$, existe uma distância mais curta do nó $\ j$, onde esta tem o seu valor máximo, esta distância máxima chama-se distância nó-arco e é representada por $\ d'(j,(r,s))$. Caso o arco $\ (r,s)$ não tenha direcção existem dois percursos para ir do nó $\ j$ ao ponto $\ f$ em $\ (r,s)$, sendo que um deles é seguir pelo nó $\ r$ e o outro seguir pelo nó $\ s$, devendo-se escolher o percurso com a distância mais curta. Existe também a possibilidade do arco $\ (r,s)$ ser direccionado, então, um ponto no arco $\ (r,s)$ só pode ser alcançado via nó $\ r$. Para o primeiro caso, onde o arco $\ (r,s)$ não é direccionado considera-se que:

$\ d'(j,(r,s))=[d(j,r)+d(j,s)+a(r,s)]/2$

Já para o segundo caso, onde o arco $\ (r,s)$ é direccionado considera-se que:

$\ d'(j,(r,s)=d(j,r)+a(r,s)$

Ao numerar os arcos de uma rede de $\ 1$ a $\ m$ uma matriz, D', $\ n\times m$ cujo elemento $\ j,k$ é a distância do nó-arco do nó $\ j$ ao arco $\ k$ pode ser construída utilizando as duas equações descritas acima.

Localização Mediana Geral

Quando considerado qualquer nó $\ x$ com a menor distância total a cada arco, onde a distância de um nó a um arco é a distância máxima do nó aos pontos do arco, este nó $\ x$ é uma mediana geral, tal que:

$\ SVA(x)=\min {\big \{}SVA(i){\big \}}$

onde

$\ SVA(i)=\sum d'(i,(r,s))$

Uma mediana geral corresponde a qualquer linha de uma matriz D' com menor soma, onde as linhas $\ i$ desta matriz são compostas pelas distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos).

Ao utilizar a Figura 9.12.2.1 como exemplo e ordenando os arcos da seguinte forma:

1. $\ (1,2)$

2. $\ (1,3)$

3. $\ (1,4)$

4. $\ (2,4)$

5. $\ (2,3)$

6. $\ (3,4)$

A matriz D' das distâncias mais curtas entre todos os pares (nós, arcos) é a seguinte:

$D'={\begin{bmatrix}3&5&4&5&5&6\\9&12&6&2&2&3,5\\10&12&7&4&2&3\\7&7&4&9&5&3\end{bmatrix}}$

Portanto,

$\ SVA(1)=3+5+4+5+5+6=28$

$\ SVA(2)=9+12+6+2+2+3,5=34,5$

$\ SVA(3)=10+12+7+4+2+3=38$

$\ SVA(4)=7+7+4+9+5+3=35$

$\ \min {\big \{}SVA(i){\big \}}=\min {\big \{}28;34,5;38;35{\big \}}=SVA(1)$

Pode-se então concluir que o nó 1 é a mediana geral desta rede.

Localização Mediana absoluta

Qualquer ponto com a menor distância total possível a todos os nós é uma mediana absoluta, sendo que esta é qualquer ponto $\ (f-(r,s))$ tal que:

$\ SPV(f-(r,s))=\min SPV(f-(t,u))$

com

$\ f-(t,u)\in P$, $\ P$ é o conjunto de todos os pares da rede

onde

$\ SPV(f-(t,u))=\sum d(f-(t,u),j)$

Considerando que $\ SPV(f-(r,s))$ é uma função côncava de $\ f$, então esta é minimizada quando $\ f=0$ ou $\ f=1$

Sendo assim, quando considerado um arco $\ (r,s)$ um de seus nós terminais será o mais indicado para ser mediana absoluta. Desta forma, só é necessário considerar os nós quando se pretende encontrar uma mediana absoluta.

Distância Ponto-Arco

Considerando um ponto $\ f$ do arco $\ (t,u)$ a sua distância ponto-arco é representada por:

$\ d'(f-(r,s),(t,u))$

Existem quatro casos distintos para determinação da distância ponto-arco, são eles:

1. Arco $\ (r,s)$ não direccionado e diferente de $\ (t,u)$, então:

$\ d'(f-(r,s)),(t,u))=\min {\big \{}fa(r,s)+d'(r,(t,u)),(1-f)a(r,s)+d'(s,(t,u)){\big \}}$

2. Arco $\ (r,s)$ direccionado e diferente de $\ (t,u)$, então:

$\ d'(f-(r,s)),(t,u))=(1-f)a(r,s)+d'(s,(t,u))$

3. Arco $\ (r,s)$ direccionado e igual a $\ (t,u)$, então:

$\ d'(f-(r,s)),(r,s))=(1-f)a(r,s)+d(r,s)$

4. Arco $\ (r,s)$ não direccionado e igual a $\ (t,u)$, então:

$\ A=\min {\big \{}fa(r,s),[a(r,s)+d(s,r)]/2{\big \}}$

e

$\ B=\min {\big \{}(1-f)a(r,s),[a(r,s)+d(s,r)]/2{\big \}}$

consequentemente,

$\ d'(f-(r,s),(r,s))=\max {\big \{}A,B{\big \}}$

Localização Mediana Absoluta Geral

Quando a distância total do ponto a todos os arcos é a menor possível estamos perante uma mediana absoluta geral, sendo que esta é qualquer ponto $\ f-(r,s)$ tal que:

$\ SPA(f-(r,s))=\min SPA(f-(t,u)$ com $\ f-(t,u)\in P$

onde

$SPA(f-(t,u))=\sum d'(f-(t,u),(v,w))$