Logística/Localização/Localização em redes/Localização em redes cíclicas/Localização central

Quando o nó mais distante do nó $\ x$ está tão perto quanto possível é chamado de centro. Um nó $\ x$ central é uma localização com o menor valor possível de $\ MVV$, onde (Francis, 1992, p. 431-440):

$\ MVV(x)=\min {\big \{}MVV(i){\big \}}$

sendo que

$\ MVV(i)=\max {\big \{}d(i,j){\big \}}$

A matriz das distâncias mais curtas entre todos os pares de nós da Figura 9.12.2.3.1 é:

Figura 9.12.2.3.1 Exemplo de rede cíclica

$D={\begin{bmatrix}0&3&5&4\\6&0&2&2\\7&2&0&3\\4&5&3&0\end{bmatrix}}$

Então,

$\ MVV(1)=\max {\big \{}0,3,5,4{\big \}}=5$

$\ MVV(2)=\max {\big \{}6,0,2,2{\big \}}=6$

$\ MVV(3)=\max {\big \{}7,2,0,3{\big \}}=7$

$\ MVV(4)=\max {\big \{}4,5,3,0{\big \}}=5$

onde

$\ \min MVV(i)=\min {\big \{}5,6,7,5{\big \}}=5$, então o nó 1 e o nó 4 são nós centrais da rede representada na Figura 9.12.2.3.1.

Localização Central Geral

Qualquer nó $\ x$ com o menor valor possível de $\ MVA(x)$ é um centro geral tal que:

$\ MVA(x(=\min {\big \{}MAV(i){\big \}}$

onde

$\ MVA(i)=\max d'(i,(r,s))$

Para determinar o centro geral da Figura 9.12.2.2.1 utiliza-se a matriz $\ D'$

$D'={\begin{bmatrix}3&5&4&5&5&6\\9&12&6&2&2&3,5\\10&12&7&4&2&3\\7&7&4&9&5&3\end{bmatrix}}$

Portamto,

$\ MVA(1)=\max {\big \{}3;5;4;5;5;6{\big \}}=6$

$\ MVA(2)=\max {\big \{}9;12;6;2;2;3,5{\big \}}=12$

$\ MVA(3)=\max {\big \{}10;12;7;4;2;3{\big \}}=12$

$\ MVA(4)=\max {\big \{}7;7;4;9;5;3{\big \}}=9$

Então,

$\ \min MVA(i)=\min {\big \{}6;12;12;9{\big \}}=6=MVA(1)$

Sendo assim, pode-se dizer que o nó 1 é um centro geral da rede.

Distância Ponto-Nó

O caminho mais curto do ponto $\ f$ do arco $\ (r,s)$ ao nó $\ j$ é representado por $\ d(f-(r,s),j)$.

Quando o arco $\ (r,s)$ não tem direcção $\ d(f-(r,s),j)$ é dado por:

$\ d(f-(r,s),j)=\min {\big \{}fa(r,j)+d(r,j),(1-f)a(r,s)+d(s,j){\big \}}$

Se $\ (r,s)$ é um arco direccionado então:

$\ d(f-(r,s)),j)=(1-f)a(r,s)+d(s,j)$

Localização Central Absoluta

Um ponto qualquer cujo nó mais distante está o mais próximo possível é um centro absoluto, ou seja, o centro absoluto é o ponto $\ d(f-(r,s)$ tal que:

$\ MPV(f-(r,s))=\min MPV(f-(t,u))$, com $\ f-(t,u)\in P$

onde

$\ MPV(f-(t,u))=\max {\big \{}f(f-(t,u),j{\big \}}$

Localização Central Absoluta Geral

Qualquer ponto $\ x$ onde o ponto mais afastado está o mais próximo possível é um centro absoluto geral.

Um centro absoluto geral é um ponto $\ f-(r,s)$ onde:

$\ MPA(f-(r,s))=\min {\big \{}MPA(f-(t,u)){\big \}}$ com $\ f-(t,u)\in P$

onde

$\ MPA(f-(t,u))=\max {\big \{}d'(f-(t,u),(v,w)){\big \}}$

Existe a possibilidade de haver mais de um centro absoluto geral, sendo que estes centros absolutos gerias devem ser nós ou pontos interiores de arcos sem direcção ou com dois sentidos, assim sendo, não é necessário considerar pontos interiores de arcos com direcção ou sentido único quando se pretende encontrar o centro absoluto geral.